Categoria d'espais topològics

En teoria de categories, una branca abstracta de les matemàtiques, la categoria dels espais topològics, usualment denotada com $𝖳𝗈𝗉$, és una forma d'organisar i estudiar tots els espais topològics i les relacions contínues entre ells. Pense en un espai topològic com un conjunt de punts a on s'ha definit una noció de "rodalia" (sense necessitat d'una distància, com en els espais mètrics). Les relacions entre estos espais, que preserven esta noció de rodalia, són les funcions contínues.

Més formalment, $𝖳𝗈𝗉$ és la categoria que té com objectes als espais topològics i com morfismos a les funcions contínues entre ells. La composició de dos funcions contínues és contínua, i la funció identitat (la que deixa cada punt en el seu lloc) és contínua, per lo que se satisfan els axioma de categoria. En térmens senzills, açò significa que podem "pegar" funcions contínues, i sempre obtindrem una atra funció contínua.

Els monomorfismos en $𝖳𝗈𝗉$ són les funcions contínues inyectivas (és dir, aquelles a on punts diferents de l'espai de partida van a parar a punts diferents en l'espai d'arribada). Els epimorfismes són les funcions contínues sobreyectivas (aquelles a on tots els punts de l'espai d'arribada són "alcançats" per algun punt de l'espai de partida). Els isomorfismes són els homeomorfismes (funcions contínues que tenen una inversa contínua, essencialment "deformacions" que no trenquen ni peguen l'espai). El conjunt buit (considerat com un espai topològic) és l'objecte inicial de $𝖳𝗈𝗉$ (és com el "espai més chicotet possible"). Qualsevol espai topològic sobre un conjunt d'un sol element (singletons, en l'única topología possible) és un objecte terminal de $𝖳𝗈𝗉$ (és com un espai "bàsic" al com qualsevol atre espai pot "mapearse").

És important destacar que alguns autors utilisen el nom $𝖳𝗈𝗉$ per a referir-se a la categoria en les varietats topològiques (espais que localment es "semblen" a un espai euclidiano) com a objectes i funcions contínues com morfismos. Est és un us distint del que es descriu en este artícul, que considera "tots" els espais topològics.

Estructura

La categoria $𝖳𝗈𝗉$ té una rica estructura i vàries propietats importants, que nos diuen cóm podem construir i manipular espais topològics dins d'este marc:

• Producte: El producte en $𝖳𝗈𝗉$ ve dau per la topología producte. Imagina que tens dos espais topològics; el seu producte cartesiano és simplement el conjunt de tots els parells ordenats de punts, un de cada espai. La topología producte definix la "rodalia" en este nou espai de parells de manera natural, considerant que dos parells estan "prop" si els seus components respectius estan "prop" en els espais originals.
• Coproducto: El coproducto és donat per l'unió disjunta d'espais topològics. Açò és simplement "juntar" els espais sense identificar-los ni mesclar-los; cada espai conserva la seua pròpia topología.
• Llímits i Colímites: Usant la topología subespacio (que definix la "rodalia" en un subconjunt d'un espai topològic) i la topología cocient (que definix la "rodalia" quan "peguem" punts d'un espai), es pot demostrar que $𝖳𝗈𝗉$ és una categoria completa i cocompleta. Açò significa que podem realisar una gran varietat de construccions en espais topològics dins d'esta categoria, com a interseccions, unions, i atres operacions més complexes que involucren llímits i colímites.

• Categoria concreta: Existix un funtor de "oblit" $U:𝖳𝗈𝗉\to 𝖲𝖾𝗍$ que assigna a cada espai topològic el seu conjunt subjacent (és dir, oblida l'estructura de "rodalia" i solament considera els punts), i a cada funció contínua l'aplicació entre conjunts subjacent (oblida que la funció preserva la rodalia). Este funtor és fidel, lo que significa que preserva l'informació essencial sobre els morfismos. Açò fa que $𝖳𝗈𝗉$ siga una categoria concreta, lo que intuitivamente significa que els seus objectes són "conjunts en estructura adicional".
• Funtores adjunts: El funtor d'oblit $U$ té un adjunt esquerre $D:\mathrm{Set}\to \mathrm{Top}$ (que equipa un conjunt donat en la topología discreta, a on cada punt està "aïllat" dels demés) i un adjunt dret $I:\mathrm{Set}\to \mathrm{Top}$ (que equipa un conjunt donat en la topología trivial, a on tots els punts estan "infinitament prop"). Estos funtores adjunts nos donen formes de "convertir" conjunts en espais topològics de maneres extremes.
• No és cartesianamente tancada: $𝖳𝗈𝗉$ no és cartesianamente tancada (i per lo tant tampoc és un talps), una propietat tècnica que està relacionada en l'existència de certs tipos de "espais de funcions". Açò significa que, en general, no té objectes exponencials. Encara que existixen, per a espais localment compactes, una classe important d'espais topològics.

Referències

• Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Abstract and Concrete Categories. Originalment publicat per John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6.
• Archivat el 21 de abril de 2015 archivat en Wayback Machine..