Producte (teoria de categories)

En teoria de categories, el producte de dos (o més) objectes és una noció que captura l'essència darrere d'atres construccions en atres àrees de les matemàtiques tals com producte cartesiano de conjunts, el producte directe de grups, producte directe d'anells, el producte d'espais topològics entre uns atres. Essencialment el producte d'una família d'objectes és el "més general" dels objectes que admet morfismos a cada u dels objectes donats.

Definició

Siga $C$ una categoria, $X_{1}$ i $X_{2}$ objectes de $C$ . Un objecte $X$ és el producte de $X_{1}$ i $X_{2}$ , denotat $X_{1} \times X_{2}$ si i solament si satisfà la següent propietat universal

Existix morfismos

π_{1} : X \to X_{1}, π_{2} : X \to X_{2}

, cridades proyeccions canòniques o proyeccions tal que per a qualsevol atre objecte

Y

i un parell de morfismos

f_{1} : Y \to X_{1}, f_{2} : Y \to X_{2}

existix un únic morfismo

f : Y \to X

tal que el següent diagrama commuta:

L'únic morfismo $f$ rep el nom de morfismo producte de $f_{1}$ i $f_{2}$ i es denota per $⟨ f_{1}, f_{2} ⟩$ .

S'acaba de definir el producte binario. En lloc de dos objectes considere una família arbitrària d'objectes indicada per algun conjunt $I$ . Llavors obtenim la definició d'un producte.

Un objecte $X$ és el producte d'una família ${X_{i}}_{i \in I}$ d'objectes si i solament si existixen morfismos $π_{i} : X \to X_{i}$ , tal que per a qualsevol atre objecte $Y$ i una família de morfismos $f_{i} : Y \to X_{i}$ indizados per $I$ existix un únic morfismo $f : Y \to X$ tal que el següent diagrama commuta per a qualsevol $i \in I$

El producte es denota com $\prod_{i \in I} X_{i}$ ; si $I = {1, \dots, n}$ , llavors es denota com $X_{1} \times \dots \times X_{n}$ i el morfismo producte com $⟨ f_{1}, \dots, f_{n} ⟩$ .

De forma alterna, el producte pot ser definit totalment per mig d'equacions, ací esta un eixemple per al producte binario:

L'existència de $f$ es garantisada per l'operació $⟨ -, - ⟩$ .
La conmutatividad dels respectius diagrames està garantisada per l'igualtat $\forall f_{1}, \forall f_{2}, \forall i \in {1, 2}, π_{i} \circ ⟨ f_{1}, f_{2} ⟩ = f_{i}$ .
L'Unicitat de $f$ és garantisada per l'igualtat $\forall f, ⟨ π_{1} \circ f, π_{2} \circ f ⟩ = f$ .

També el producte pot ser obtingut a partir del llímit. Una família d'objectes és un diagrama sense morfismos. Si considerem el nostre diagrama com un funtor, llavors és un funtor des de $I$ considerada com una categoria discreta. Llavors la definició de producte coincidix en la definició de con llímit per a este funtor.

Eixemples

En la categoria Set (la categoria de conjunts) el producte per a la categoria és el producte cartesiano. Donada una família de conjunts X_i el producte és definit com

\prod_{i \in I} X_{i} : = {(x_{i})_{i \in I} | x_{i} \in X_{i} \forall i \in I}

en les proyeccions

π_{j} : \prod_{i \in I} X_{i} \to X_{j}, π_{j} ((x_{i})_{i \in I}) : = x_{j}

Dau qualsevol atre conjunt I en una família de funcions : $f_{i} : Y \to X_{i}$ la flecha universal f es definix com

f : Y \to \prod_{i \in I} X_{i}, f (y) : = (f_{i} (y))_{i \in I}

En la categoria d'espais topològics el producte categòric és l'espai topològic el conjunt subjacent del qual és el producte cartesiano en la topología producte.

En la categoria de mòduls sobre algun anell R, el producte categòric està donat pel producte directe de mòduls.

En la categoria de grups el producte categòric està donat pel producte cartesiano en la multiplicació definida component a component.

En la categoria de varietats algebraiques el producte està donat pel encaix de Segre

Un conjunt parcialment ordenat pot ser considerat com una categoria, usant la relació d'orde com els morfismos. En este cas els productes i coproductos són els ínfims i suprems del conjunt respectivament

Un producte buit (i.i. $I$ és el conjunt buit) és un objecte terminal o final)

Vore també

Referències

Adámek, Jiří (1990). Abstract and Concrete Categories, John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6.
Barr, Michael (1999). Category Theory for Computing Science, Els Publications CRM Montreal (publication PM023). Chapter 5.
Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician, 2nd ed. edició, Springer. ISBN 0-387-98403-8.

Este artícul conté una traducció derivada de «Producto (teoría de categorías)» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.