Diagrama conmutativo

En matemàtica, i especialment en teoria de categories, un diagrama conmutativo és un diagrama d'objectes (també coneguts com a vèrtiços), morfismes (també coneguts com a fleches o arestes) i rutes o camins, tals que totes les rutes directes en el diagrama en els mateixos punts finals i mateix començ conduïxen al mateix resultat per composició.^[1] Els diagrames conmutativos eixerciten un paper fonamental en teoria de categories de la mateixa manera que les equacions ho fan en àlgebra.

Note's que un diagrama pot ser no conmutativo, per eixemple la composició de diferents rutes en el diagrama pot no donar el mateix resultat. Per a clarificar, es poden usar frases com «este diagrama conmutativo» o «el diagrama commuta».

Història

L'història del desenroll dels diagrames conmutativos està íntimament vinculada a l'alvanç de les matemàtiques i, més específicament, al camp de la teoria de categories. Els diagrames conmutativos són representacions gràfiques que mostren les relacions entre diferents objectes matemàtics, com a grups, anells o espais topològics, i les funcions o morfismos que els vinculen, assegurant que certes composicions de funcions siguen iguals. Esta idea va sorgir gradualment a mida que les matemàtiques varen escomençar a formalisar les seues estructures abstractes i buscar representacions visuals que facilitaren la comprensió de les propietats i relacions complexes.

La noció de diagrama conmutativo es va originar en el XIX dins del context de la teoria de grups, quan matemàtics com Évariste Galois i Augustin-Louis Cauchy varen escomençar a representar relacions algebraiques de manera més estructurada. No obstant, el terme "diagrama conmutativo" com tal no es va falcar fins a mediats del XX, quan la teoria de categories es va consolidar com una disciplina formal. La teoria de categories va ser desenrollada per matemàtics com Samuel Eilenberg i Saunders Mac Lane, els qui varen formalisar el concepte de categoria en la seua obra "General Theory of Natural Equivalences" (1945). En este marc, els diagrames conmutativos varen ser introduïts com a ferramentes visuals per a descriure les propietats dels morfismos i les estructures matemàtiques d'una manera més accessible.

Els diagrames conmutativos permeten representar de manera clara cóm les composicions de funcions o morfismos complixen en certes igualtats, lo que és essencial en molts camps de les matemàtiques, com a àlgebra, topología i geometria algebraica. En el temps, estos diagrames s'han tornat una ferramenta central en el treball matemàtic, facilitant tant la demostració de teoremes com la visualisació de conceptes abstractes.

Eixemples

En el següent diagrama s'expressa el primera teorema de isomorfía, conmutativamente significa que $f = \tilde{f} \circ π$ :

A continuació es mostra un quadrat conmutativo genèric, en el qual $h \circ f = k \circ g$

Símbols

En els texts d'àlgebra, el tipo de morfismes pot ser denotat per mig de l'us de diferents fleches: monomorfismes en una $↪$ ,^[2] epimorfismes en una $↠$ , i isomorfismes en una $\tilde{\to}$ . La flecha a traços típicament representa l'afirmació de que el morfismo indica que existix cada volta que el restant de l'esquema es complix. Açò és prou comú que els texts a sovint no expliquen el significat dels diferents tipos de fleches.

Verificació de conmutatividad

La conmutatividad és comprensible fàcilment per mig d'un polígon de qualsevol número finit de cares (inclús únicament 1 o 2). Un diagrama és conmutativo si tots els subdiagramas poligonales possibles són conmutativos.

Persecució de diagrames

Diagrama conmutativo que ilustra el lema dels cinc, resultat rellevant en àlgebra homollògica i teoria de categories.

La persecució, cacera o busca de diagrames és un método de demostració matemàtica usat sobretot en àlgebra homollògica. Donat un diagrama conmutativo, una demostració per mig de persecució de diagrames implica l'us formal de les propietats del diagrama, tals com els mapes inyectivos o suprayectivos, o successions exactes. Es construïx un silogisme, per al qual s'usa la representació gràfica del diagrama només com a ajuda visual. D'ací es deduïx que un termina per "caçar" o "atrapar" elements entorn al diagrama, fins que l'element o resultat desijat es verifica o es demostra constructivament. El diagrama servix simplement com a ferramenta per a visualisar una prova que és formalment vàlida inclús sense ell.

.

Alguns eixemples de demostració per mig de cacera de diagrames són aquelles que usen el lema dels cinc, el lema de la serp, el lema zig-zag,^{[nota 1]} i el lema dels nou.^{[nota 2]}

Es deu tindre en conte que una prova per mig de busca de diagrames és directament vàlida només en categories els objectes de les quals són conjunts (en estructura adicional ) i que els seus morfismes són certes assignació entre estos conjunts, que estan vinculats com de costum per mig d'eixecucions successives, etc. Per a categories més generals es pot utilisar el teorema de incrustació de Mitchell,^{[nota 3]} que permet que cada (menuda) categoria abeliana s'entenga com una categoria concreta de mòduls, o en lloc d'utilisar elements, utilisar classes d'equivalència de morfismos en l'objectiu corresponent; les regles de càlcul són les mateixes que per als elements.

Si utilisa la busca de diagrames per a construir ilustracions, estes són generalment “ naturals ”: té dos eixemples del diagrama, pero en diferents objectes i homomorfismes, aixina com un homomorfisme entre estos diagrames (és dir, homomorfismes de tots els objectes en un diagrama als demés). objecte corresponent en el diagrama) segon diagrama tal que totes les malles resultants siguen conmutativas), llavors els dos mapes construïts també commutaran en estos homomorfismes.

En teoria de categories superiors

En matemàtiques, la teoria de categories superiors és la part de la teoria de categories d'un orde superior, lo que significa que algunes igualtats se substituïxen per fleches explícites per a poder estudiar explícitament l'estructura que hi ha darrere d'eixes igualtats. La teoria de categories superiors s'aplica a sovint en topología algebraica (especialment en teoria de la homotopía), a on s'estudien invariantes algebraics d'espais, com el seu grupoide fonamental dèbil grupoide-∞ (cuasi categoria). En la teoria de categories superiors, el concepte d'estructures categòriques superiors, com (∞-categories), permet un tractament més robust de la teoria de homotopía, permetent captar distincions homotópicas més fines, com diferenciar dos espais topològics que tenen el mateix grup fonamental, pero diferixen en els seus grups homotópicos superiors. Este enfocament és especialment valiós quan es tracta d'espais en característiques topològiques intrincadas,^[3] com l'espai Eilenberg-MacLane.

En la teoria de categories superiors , no només es consideren objectes i fleches, sino fleches entre les fleches, fleches entre fleches entre fleches, i aixina ad infinitum. Per eixemple, la categoria de categories menudes, Cat és naturalment una categoria 2, en funtores com les seues fleches i transformacions naturals com les fleches entre funtores. En este entorn, els diagrames conmutativos poden incloure estes fleches superiors també, que a sovint es representen en el següent estil: $\Rightarrow$ .

Per eixemple, el següent diagrama (alguna cosa trivial) representa dos categories C i D, junt en dos functores F, G : C → D i una transformació natural α : F ⇒ G:

Hi ha dos tipos de composició en una categoria 2 (cridades composició vertical i composició horisontal), i també poden representar-se per mig de diagrames de pegat.

Diagrames com funtores

Un diagrama conmutativo en una categoria C pot ser interpretat com un funtor o functor d'una categoria indexada J en C; es diu a eixe functor diagrama. En teoria de categories es diu diagrama a l'anàlec categòric d'una família de conjunts en la teoria de conjunts. La principal diferència és que en l'entorn categòric hi ha morfismos que també necessiten indexación. Una família de conjunts és una colecció de conjunts, indexats per un conjunt fix; de manera equivalent, una funció d'un conjunt d'índex fix a la classe de conjunts. Un diagrama és una colecció d'objectes i morfismos, indexats per una categoria fixa; equivalentement, un functor d'una categoria d'índex fix a alguna categoria.

Més formalment, un diagrama conmutativo és una visualisació d'un diagrama indexat per un conjunt parcialment ordenat (cridat en anglés categoria poset: partially ordered set):

Es dibuixa un nodo per a cada objecte en la categoria indexada,
Una flecha per a la generació del conjunt de morfismos,
ometent l'identitat de mapes i morfismos que pot ser expressats per mig de composicions,
i la conmutatividad del diagrama (l'igualtat de diferents composicions de mapes entre dos objectes) correspon a l'unicitat d'un mapa entre dos objectes en una categoria poset.

Al contrari, donat un diagrama conmutativo, este definix una categoria poset:

els objectes són els nodos,
hi ha un morfismo entre dos objectes qualssevol si i només si existix un camí (directe) entre els nodos,
en la relació de que este morfismo és únic (qualsevol composició de mapes es definix pel seu domini i destí: est és l'axioma de conmutatividad).

No obstant, no cada diagrama commuta (la noció de diagrama estrictament generalisa al diagrama conmutativo): més simplement, el diagrama d'un objecte simple en un endomorfisme ( $f : X \to X$ ), o en dos fleches paraleles ( $∙ ⇉ ∙$ ; $f, g : X \to Y$ ), com l'usat en la definició d'equalisador és necessari que no commute. Ademés, els diagrames poden ser un incómodos o impossibles de representar quan el número d'objectes i morfismos és gran (o inclús infinit).

Notes

↑ El lema del zigzag afirma l'existència d'una seqüència exacta i llarga particular en els grups d'homologia de certs complexos de cadenes. El resultat és vàlit en totes les categories abelianas.
↑ En matemàtiques, el lema dels nou (o lema 3×3) és un enunciat sobre els diagrames conmutativos i les successions exactes vàlit en la categoria de grups i en qualsevol categoria abeliana. Afirma que si el diagrama de la dreta és un diagrama conmutativo i totes les columnes, aixina com les dos files inferiors, són exactes, llavors la fila superior també és exacta. De la mateixa manera, si totes les columnes, aixina com les dos files superiors, són exactes, llavors la fila inferior també és exacta. De manera similar, degut a que el diagrama és simètric respecte de la seua diagonal, les files i les columnes també poden intercanviar-se en el diagrama anterior.
↑ La teorema de incrustació de Mitchell (Mitchell's embedding theorem), també conegut com a teorema de Freyd-Mitchell o teorema de incrustació complet, és un resultat sobre les categories abelianas; essencialment establix que estes categories, encara que definides de manera prou abstracta, són de fet categories concretes de mòduls. Açò permet utilisar proves de busca de diagrames element per element en estes categories. La teorema rep el seu nom de Barry Mitchell i Peter Freyd.

Referències

↑ Weisstein, Eric W.. «Commutative Diagram» (en en).
↑ «Maths - Category Theory - Arrow - Martin Baker».
↑ Higher Category Theory, MIT, p. 4.

Bibliografia

(1990).«Abstract and Concrete Categories».John Wiley & Sons. Now available as free on-line edition (4.2MB PDF).
(2002).«Toposes, Triples and Theories». Revised and corrected free online version of Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (278) Springer-Verlag, 1983).

Vore també

Enllaços externs

Diagram Chasing en MathWorld.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Diagrama conmutativo» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[3] El lema del zigzag afirma l'existència d'una seqüència exacta i llarga particular en els grups d'homologia de certs complexos de cadenes. El resultat és vàlit en totes les categories abelianas.

[4] En matemàtiques, el lema dels nou (o lema 3×3) és un enunciat sobre els diagrames conmutativos i les successions exactes vàlit en la categoria de grups i en qualsevol categoria abeliana. Afirma que si el diagrama de la dreta és un diagrama conmutativo i totes les columnes, aixina com les dos files inferiors, són exactes, llavors la fila superior també és exacta. De la mateixa manera, si totes les columnes, aixina com les dos files superiors, són exactes, llavors la fila inferior també és exacta. De manera similar, degut a que el diagrama és simètric respecte de la seua diagonal, les files i les columnes també poden intercanviar-se en el diagrama anterior.

[5] La teorema de incrustació de Mitchell (Mitchell's embedding theorem), també conegut com a teorema de Freyd-Mitchell o teorema de incrustació complet, és un resultat sobre les categories abelianas; essencialment establix que estes categories, encara que definides de manera prou abstracta, són de fet categories concretes de mòduls. Açò permet utilisar proves de busca de diagrames element per element en estes categories. La teorema rep el seu nom de Barry Mitchell i Peter Freyd.

[1] Weisstein, Eric W.. «Commutative Diagram» (en en).

[:0-2] «Maths - Category Theory - Arrow - Martin Baker».

[6] Higher Category Theory, MIT, p. 4.

[1]

[2]

[nota 1]

[nota 2]

[nota 3]

[3]