Lema de la serp

El lema de serp és una ferramenta utilisada en matemàtiques, particularment en àlgebra homológica, per a construir seqüències exactes llargues. El lema de serp és vàlit en totes les categories abelianas i és una ferramenta crucial en l'àlgebra homológica i les seues aplicacions, per eixemple en la topología algebraica. Els homomorfismes construïts en la seua ajuda són generalment cridats homomorfismes conectors.

Enunciat

En una categoria abeliana (com la categoria dels grups abelianos o la categoria dels espais vectorials sobre un cos dau), es considera un diagrama conmutativo:

a on les files són seqüències exactes i 0 és l'objecte zero.

Entoncés hi ha una seqüència exacta relacionant els núcleus i conúcleos de a, b, i c:

$\ker a⟶\ker b⟶\ker c\stackrel{d}{⟶}\mathrm{coker}a⟶\mathrm{coker}b⟶\mathrm{coker}c$

donde d és un homomorfisme, conegut com el homomorfisme conector.

Ademés, si el morfismo f és un monomorfismo, entoncés també ho és el morfismo, ker a → ker b; i si g' és un epimorfisme, llavors també ho és coker b → coker c.

Explicació del nom

Per a vore d'on pren el seu nom el lema de la serp, basta expandir el diagrama anterior com seguix:

I llavors donar-se conte de que la seqüència exacta que sorgix com a conclusió del lema pot ser dibuixada en este esquema expandit en la forma de "S" invertida d'una serp.

En la cultura popular

• La demostració del lema de la serp és ensenyada pel personage de Jill Clayburgh al principi de la película de 1980 Ara em toca a mi.

Referències

• Serge Lang: Àlgebra. 3.ª edició, Salmer 2002, ISBN 978-0-387-95385-4, pp. 157–159 (online copy, p. 157, en Google Libros, p. 157, en Llibres de Google)
• M. F. Atiyah; Yo. G. Macdonald: Introduction to Commutative Algebra. Oxford 1969, Addison–Wesley Publishing Company, Inc. ISBN 0-201-00361-9.
• P. Hilton; U. Stammbach: A course in homological algebra. 2. Auflage, Springer Verlag, Graduate Texts in Mathematics, 1997, ISBN 0-387-94823-6, p. 99 (online copy, p. 99, at Google Books)