Àlgebra homológica

El àlgebra homológica és un camp de les matemàtiques que estudia la homologia en un marc algebraic general. És una disciplina relativament jove, els orígens de la qual poden remontar-se a investigacions en topología combinatòria (un precursor de la topología algebraica) i en àlgebra abstracta (teoria de mòduls i sizigia) de fins de el XIX, liderades per Henri Poincaré i David Hilbert.

En general es fa coincidir la fundació d'esta disciplina en l'aparició de Homological Algebra d'Henri Cartan i Samuel Eilenberg (1956),^[1] hui convertida en una obra clàssica. Més vesprada, Alexander Grothendieck va realisar un aporte rellevant que generalisa el plantejament de Cartan i Eilenberg aplicant-ho a les categories abelianas.^[2] D'esta manera, el desenroll ulterior de l'àlgebra homológica està estretament relacionat en l'emergència de la teoria de categories.

Complexos de cadena i homologia

Artícul principal → Cadena complexa.

La noció de cadena complexa és central en l'àlgebra homológica. Un complex en cadena abstracte és una successió $(C_{∙}, d_{∙})$ de grup abelianos i homomorfisme de grups, en la propietat de que la composició de dos mapas consecutius és zero:

C_{∙} : \dots ⟶ C_{n + 1} \overset{d_{n + 1}}{⟶} C_{n} \overset{d_{n}}{⟶} C_{n - 1} \overset{d_{n - 1}}{⟶} \dots, d_{n} \circ d_{n + 1} = 0.

Els elements de C_n es denominen n-cadenes i els homomorfismes d_n es denominen mapes de llímits o diferencials. Els grups en cadena C_n poden estar dotats d'estructura adicional; per eixemple, poden ser espai vectorials o mòduls sobre un anell R fix. Els diferencials deuen preservar l'estructura extra si existix; per eixemple, deuen ser mapa llineals o homomorfismes de mòduls R. Per conveniència notacional, restringixca l'atenció als grups abelianos (més correctament, a la categoria Ab dels grups abelianos); un célebre teorema de incrustación de Mitchell implica que els resultats es generalisaran a qualsevol categoria abeliana. Cada cadena complexa definix atres dos sucesións de grups abelianos, els cicles Z_n = Ker d_n i els llímits B_n = Im d_{' 'n+1}, a on Ker d i Im d denoten el kernel i l'image de d. Ya que la composició de dos mapes de llímits consecutius és zero, estos grups estan incrustats entre sí com

B_{n} \subseteq Z_{n} \subseteq C_{n} .

Els Subgrups dels grups abelianos són automàticament normals; per lo tant, podem definir el nth 'grup d'homologia H_n(C) com el grup de factors dels cicles n pels llímits n,

H_{n} (C) = Z_{n} / B_{n} = Ker d_{n} / Im d_{n + 1} .

Un complex de cadenes es denomina acíclic o successió exacta si tots els seus grups d'homologia són zero.

Els complexos de cadenes sorgixen en abundància en àlgebra (àlgebra abstracta) i topología algebraica (topología algebraica). Per eixemple, si X és un espai topològic llavors la cadena singular és C_n(X) són combinacions llinealss formals de mapa continus de l'estàndar n-simplex a X; si K és un complex simplicial llavors la cadena simplicial és C_n(K ) són combinacions llineals formals dels n-simples de K; si A = F/R és una presentació d'un grup abeliano A per generadors i relacions, a on F és un grup abeliano lliure generat pels generadors i R és el subgrup de relacions, llavors deixant que C₁(A ) = R, C₀(A) = F, i C_n(A) = 0 per a tots els demés n definix una successió de grups abelianos. En tots estos casos, existixen diferencials naturals d_n que fan de C_n una cadena complexa, que la seua l'homologia reflectix l'estructura de l'espai topològic X, el complex simplicial K o el grup abeliano A. En el cas d'espais topològics, apleguem a la noció d'homologia singular, que juga un paper fonamental en l'investigació de les propietats de tals espais, per eixemple, varietatés.

A nivell filosòfic, l'àlgebra homológica nos ensenya que certs complexos en cadena associats en objectes algebraics o geomètrics (espais topològics, complexos simpliciales, mòduls R) contenen molta informació algebraica valiosa sobre ells, sent l'homologia solament la part més fàcilment disponible. A nivell tècnic, l'àlgebra homológica proporciona les ferramentes per a manipular complexos i extraure esta informació. Ací hi ha dos ilustracions generals. Dos objectes X i I estan conectats per un mapa f entre ells. L'àlgebra homológica estudia la relació, induïda pel mapa f, entre cadenes complexes associades a X i I i la seua homologia. Açò es generalisa al cas de varis objectes i mapes que els conecten. Expressat en el llenguage de la teoria de categories, l'àlgebra homológica estudia les propietats funcionals de vàries construccions de cadenes complexes i de l'homologia d'estos complexos.

Un objecte X admet múltiples descripcions (per eixemple, com un espai topològic i com un complex simplicial) o el complex $C_{∙} (X)$ es construïx usant alguna 'presentació' de X, que implica eleccions no canòniques. És important conéixer l'efecte del canvi en la descripció de X en els complexos de cadena associats en X. Típicament, el complex i la seua homologia $H_{∙} (C)$ són funcionals sobre la presentació; i l'homologia (encara que no el complex en sí) és en realitat independent de la presentació elegida, per lo que és un invariante de X.

Ferramentes estàndar

Successions exactes

En el context de la teoria de grups, una successió

G_{0} \overset{f_{1}}{\to} G_{1} \overset{f_{2}}{\to} G_{2} \overset{f_{3}}{\to} \dots \overset{f_{n}}{\to} G_{n}

de grups i homomorfismes de grups es denomina exacta si l'image de cada homomorfisme és igual al kernel de lo següent:

i m (f_{k}) = k e r (f_{k + 1}) .

És de notar que la successió de grups i homomorfismes pot ser finita o infinita.

Es pot realisar una definició similar per a algunes atres tipos d'estructures algebraiques. Per eixemple, un podria tindre una successió exacta d'espais vectorials i aplicacions llineals, o de mòduls i homomorfismes de mòduls. De manera més general, la noció d'una successió exacta té sentit en qualsevol categoria en kernels i cokernels.

Successió exacta curta

El tipo més comú de successió exacta és la successió exacta curta. Esta és una successió exacta del tipo

A \overset{f}{↪} B \overset{g}{↠} C

a on ƒ és un monomorfismo i g és un epimorfisme. En este cas, A és un subobjeto de B, i el cocient corresponent és isomorfo a C:

C ≅ B / f (A) .

(a on f(A) = im(f)).

Una successió exacta curta de grups abelianos pot ser escrita com una successió exacta en cinc térmens:

0 \overset{}{\to} A \overset{f}{\to} B \overset{g}{\to} C \overset{}{\to} 0

a on 0 representa l'objecte nul, com per eixemple el grup trivial o un espai vectorial de dimensió zero. L'ubicació dels 0's força a que ƒ siga un monomorfismo i g siga un epimorfisme.

Successió exacta llarga

Una successió exacta llarga és una successió exacta indexada pels número natural.

El lema dels cinc

Artícul principal → Lema dels cinc.

Considere's el següent diagrama conmutativo en qualsevol categoria abeliana (com per eixemple la categoria dels grups abelianos o la categoria dels espais vectorials en un cos) dau o en una categoria de grups.

El lema dels cinc establix que, si les files són exactes, m i p són isomorfismes, l és un epimorfisme, i q és un monomorfismo, llavors n també és un isomorfisme.

El lema de la serp

Artícul principal → Lema de la serp.

Siga una categoria abeliana (com per eixemple la categoria dels grups abelianos o la categoria dels espais vectorials en un determinat cos), i es considera un diagrama conmutativo:

a on les files són successions exactes i 0 és l'objecte zero. Llavors existix una successió exacta que relaciona els kernels i cokernels de a, b, i c:

\ker a \to \ker b \to \ker c \overset{d}{\to} coker a \to coker b \to coker c

Més encara, si el morfismo f és un monomorfismo, llavors també ho és el morfismo ker a → ker b, i si g' és un epimorfisme, llavors també ho és coker b → coker c.

Categories abelianas

En matemàtiques, una categoria abeliana és una categoria en la que es poden afegir morfismos i objectes i en la que kernels i cokernels existixen i tenen propietats desijables. L'eixemple prototip motivador d'una categoria abeliana és la categoria de grups abelianos, Ab. La teoria es va originar en un intent d'unificar vàries teories de cohomología (teoria de cohomología) per Alexander Grothendieck. Les categories abelianas són categories molt estables, per eixemple són regulars i satisfan el lema serp. La classe de categories abelianas es tanca baix vàries construccions categòriques, per eixemple, la categoria de cadena complexa és d'una categoria abeliana, o la categoria de funtorés d'una menuda categoria a una categoria abeliana també és abeliana. Estes propietats d'estabilitat les fan inevitables en àlgebra homológica i més allà; la teoria té aplicacions importants en geometria algebraica, cohomología i teoria de categories pura. Les categories abelianas duen el nom de Niels Henrik Abel.

En formes més concreta, una categoria és abeliana si té un objecte nul, té tots els productes binarios i coproductos binarios, i té tots els kernels i cokernels. tots els monomorfismos i epimorfismes són normals.

El functor Ext

Siga R un anell i siga Mod_R la categoria de mòduls en R. Siga B un Mod_R i si es definix T(B) = Hom_R(A,B), per a un A en Mod_R. Est és el functor exacte esquerre i llavors té functores derivats per dreta RⁿT. El functor Ext es definix com

{Ext}_{R}^{n} (A, B) = (R^{n} T) (B) .

La qual cosa pot ser calculat prenent qualsevol resolució injectiva

0 \to B \to I^{0} \to I^{1} \to \dots,

i calculant

0 \to {Hom}_{R} (A, I^{0}) \to {Hom}_{R} (A, I^{1}) \to \dots .

Llavors (RⁿT)(B) és la homologia d'este complex. MNotar que Hom_R(A,B) és exclós del complex.

Una definició alternativa s'obté utilisant el functor G(A)=Hom_R(A,B). Per a un mòdul fix B, est és un contravariante functor exacte esquerra, i per lo tant es tenen functores derivats per dreta RⁿG, i es pot definir

{Ext}_{R}^{n} (A, B) = (R^{n} G) (A) .

Este es pot calcular elegint qualsevol resolució proyectiva

\dots \to P^{1} \to P^{0} \to A \to 0,

i procedu<iendo de manera dual per mig del càlcul de

0 \to {Hom}_{R} (P^{0}, B) \to {Hom}_{R} (P^{1}, B) \to \dots .

Llavors (RⁿG)(A) és l'homologia d'este complex. Novament observar que Hom_R(A,B) és exclós.

Estes dos construccions proveïxen resultats isomòrfics, per lo que abdós poden ser utilisades per a calcular el functor Ext.

Funtorialidad

Un mapa continu d'espais topològics dona lloc a un homomorfisme entre els seus grups d'homologia para tot n. Este fet bàsic de la topología algebraica troba una explicació natural a través de certes propietats dels complexos en cadena. Ya que és molt comú estudiar varis espais topològics simultàneament, en l'àlgebra homológica un es veu abocat la consideració simultànea de múltiples complexos en cadena.

Un morfismo entre dos complexos en cadena, $F : C_{∙} a D_{∙},$ és una família d'homomorfismes de grups abelianos $F_{n} : C_{n} \to D_{n}$ que commuten en les diferencials, en el sentit de que $F_{n - 1} \circ d_{n}^{C} = d_{n}^{D} \circ F_{n}$ per a tot n. Un morfismo de complexos en cadena induïx un morfismo $H_{∙} (F)$ dels seus grups d'homologia, consistent en els homomorfismes $H_{n} (F) : H_{n} (C) \to H_{n} (D)$ per a tot n. Un morfismo F es diu un cuasi-isomorfisme si induïx un isomorfisme en l'homologia n per a tot n.

Moltes construccions de complexos en cadena que sorgixen en àlgebra i geometria, incloent la homologia singular, tenen la següent propietat de functoridad: si dos objectes X i I estan conectats per un mapa f, llavors els complexos en cadena associats estan conectats per un morfismo $F = C (f) : C_{∙} (X) \to C_{∙} (Y),$ i ademés, la composició $g \circ f$ dels mapes f: X ↛ I i <nbsp;I ↛ Z induïx el morfismo $C (g \circ f) : C_{∙} (X) \to C_{∙} (Z)$ que coincidix en la composició $C (g) \circ C (f) .$ Es deduïx que els grups d'homologia $H_{∙} (C)$ són també functoriales, de modo que els morfismos entre objectes algebraics o topològics donen lloc a mapes compatibles entre la seua homologia.

La següent definició sorgix d'una situació típica en àlgebra i topología. Un triple format per tres complexos de cadena $L_{b} u l l e t, M_{∙}, N_{∙}$ i dos morfismos entre ells, $f : L_{∙} \to M_{∙}, g : M_{∙} \to N_{∙},$ es diu un triple exacte, o una seqüència exacta curta de complexos, i s'escriu com

0 ⟶ L_{∙} \overset{f}{⟶} M_{∙} \overset{g}{⟶} N_{∙} ⟶ 0,

si per a qualsevol n, la seqüència

0 ⟶ L_{n} \overset{f_{n}}{⟶} M_{n} \overset{g_{n}}{⟶} N_{n} ⟶ 0

Referències

↑ (1999) Homological algebra, Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. xvi+390. ISBN 0-691-04991-2.
↑ (1957).Tohoku Mathematical Journal.9
119–221.

Bibliografia

Saunders Mac Lane, Homology. Reimpreso de l'edició de 1975. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlín, 1995. x+422 pp. ISBN 3-540-58662-8
Peter Hilton; Stammbach, U. A course in homological algebra. Segona edició. Graduate Texts in Mathematics, 4. Springer-Verlag, Nova York, 1997. xii+364 pp. ISBN 0-387-94823-6
Gelfand, Sergei I.; Yuri Manin, Methods of homological algebra. Traduït a l'anglés de l'edició en rus de 1988. Segona edició. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlín, 2003. xx+372 pp. ISBN 3-540-43583-2
Gelfand, Sergei I.; Yuri Manin, Homological algebra. Springer-Verlag, Berlín, 1999. iv+222 pp. ISBN 3-540-65378-3
Weibel, Charles A. (1994), An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38, Cambridge University Press, MR1269324, ISBN 978-0-521-55987-4, OCLC 36131259.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Álgebra homológica» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] (1999) Homological algebra, Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. xvi+390. ISBN 0-691-04991-2.

[2] (1957).Tohoku Mathematical Journal.9
119–221.

[1]

[2]