Homologia (matemàtica)

En matemàtica (especialment en topología algebraica i en àlgebra homológica), la homologia (en Grec homos = idèntic) és un procediment general per a associar un objecte matemàtic donat (per eixemple un espai topològic o un grup) en una successió de grups abelianos (o en contexts més generals mòduls o qualsevol element sobre una categoria abeliana), és dir una acció functorial.

Per a un espai topològic, els grups d'homologia són generalment molt més fàcils de computar que els grups de homotopía, i conseqüentment, un habitualment tindrà un treball més simple en homologia per a ajudar en la classificació d'espais.

Una observació que motiva esta teoria és que a voltes podem distinguir parelles d'espais topològics, per mig de l'estudi dels seus forats. Per eixemple:

• Un círcul no és equivalent a un disc perque el círcul té un forat en mig d'ell.
• Una esfera no és equivalent a un círcul, ya que l'esfera tanca un forat 2-dimensional, mentres que el círcul tanca un forat 1-dimensional.

En general, no és immediat ni definir lo que és un forat, ni distinguir distints tipos de forats. És per això que la motivació original d'homologia va ser definir i classificar els forats d'un espai topològic, per eixemple en una varietat.

La definició dels grups d'homologia es fonamenta en els conceptes de cicles, - que són subvariedades tancades - fronteres, -que són cicles i al mateix temps fronteres d'una subvariedad-, i classes d'homologia -que són les classes d'equivalència que obtenim al cocientar els cicles mòdul les fronteres. Llavors, cada classe d'homologia està representada per un cicle que no és frontera de cap subvariedad, i indica l'absència d'una varietat la frontera de la qual seria dit cicle. Aixina mateix, cada generador indica l'existència d'un forat i les propietats del grup indiquen l'estructura de l'espai topològic, aixina com ho fan les nocions de dimensió i orientabilidad.

Existixen diferents teories d'homologia. Depenent de l'objecte matemàtic que estigam estudiant - per eixemple, un espai topològic o un grup-, podrem associar-li algunes d'estes teories. Quan podem descriure geomètricament a dit objecte, el n-avo grup d'homologia descriu el comportament de l'objecte en la n-ava dimensió.

Antecedents

Orígens

Pot dir-se que la teoria de l'homologia comença en la fòrmula del poliedre de Euler, o característica de Euler. Açò va ser seguit per la definició de Riemann de invariantes numèrics de gènero i conexió de 'n' voltes en 1857 i la prova de Betti en 1871 de l'independència dels "números d'homologia" de l'elecció de la base.

La pròpia homologia es va desenrollar com una forma d'analisar i classificar varietats segons els seus cicles - bucles tancats (o més generalment submanifolds) que es poden dibuixar en una determinada n manifold dimensional pero que no es deformen contínuament entre sí. Estos cicles també es consideren a voltes com a corts que es poden tornar a pegar, o com a cremalleres que es poden abotonar i descordar. Els cicles es classifiquen per dimensions. Per eixemple, una llínea traçada sobre una superfície representa un 1-cicle, un bucle tancat o $S^1$ (1-varietat), mentres que una superfície tallada a través d'una varietat tridimensional és un 2-cicle.

Superfícies

En l'esfera ordinària $S^2$, el cicle b del diagrama pot reduir-se fins al pol, i inclús el gran círcul equatorial a pot reduir-se de la mateixa manera. El teorema de la curva de Jordan mostra que qualsevol cicle arbitrari com a c pot reduir-se de forma similar fins a un punt. Per tant, tots els cicles de l'esfera poden transformar-se contínuament uns en uns atres i pertanyen a la mateixa classe homológica. Es diu que són homòlecs a zero. Tallar una varietat a lo llarc d'un cicle homòlec a zero separa la varietat en dos o més components. Per eixemple, tallar l'esfera a lo llarc de a produïx dos hemisferis.

Açò no sol ocórrer en els cicles d'atres superfícies. El toroide $T^2$ té cicles que no poden deformar-se contínuament uns en uns atres, per eixemple en el diagrama cap dels cicles a, b o c pot deformar-se un en un atre. En particular, els cicles a i b no poden reduir-se a un punt, mentres que el cicle c sí pot, lo que ho fa homòlec a zero.

Si la superfície del bou es talla a lo llarc de a i b, pot obrir-se i aplanarse en un rectàngul o, més convenientment, en un quadrat. Un parell de costats oposts representa el tall a lo llarc de a, i l'atre parell opost representa el tall a lo llarc de b.

A continuació, les vores del quadrat es poden pegar de diferents maneres. El quadrat es pot girar per a que les vores es junten en la direcció oposta, com mostren les fleches del diagrama. Fins a la simetria, hi ha quatre formes distintes de pegar els costats, cada una de les quals crea una superfície diferent:

Archiu:Flatsurfaces.svg

Les quatre formes de pegar un quadrat per a fer una superfície tancada: pegar fleches senzilles i pegar fleches dobles de manera que les puntes de les fleches apunten en la mateixa direcció

.

$K^2$ és la botella de Klein, que és un bou en una torsió en ell (La torsió es pot vore en el diagrama quadrat com l'inversió de la flecha inferior). És una teorema que la superfície re-encolada deu auto-intersecarse (quan se sumergix en l' espai euclidiano tridimensional). De la mateixa manera que el toroide, els cicles a i b no poden encollir-se, mentres que c sí. Pero, a diferència del bou, si se seguix b cap a davant i cap a arrere, s'invertix a esquerra i dreta, perque b creua el gir donat a una de les unions. Si es fa un tall equidistant a un costat de b, torna per l'atre costat i recorre la superfície una segona volta abans de tornar al seu punt de partida, tallant una banda de Möbius retortillada. Ya que l'esquerra i la dreta locals poden reorientarse arbitrariamente d'esta manera, es diu que la superfície en el seu conjunt no és orientable.

El pla proyectivo $P^2$ té abdós unions torçudes. La forma sense tallar, generalment representada com la superfície de Boy, és visualment complexa, per lo que en el diagrama es mostra una incrustación semiesfèrica, en la que punts antípodes al voltant de la vora com A i A′ s'identifiquen com el mateix punt. De nou, a i b no són encogibles, mentres que c sí ho és. Pero esta volta, tant a com a b s'invertixen a esquerra i dreta.

Els cicles poden unir-se o sumar-se, com va ocórrer en a i b en el toroide quan es va obrir i aplanó. En el diagrama de la botella de Klein, a gira en un sentit i −a gira en sentit contrari. Si a es considera un tall, llavors -a pot considerar-se una operació de encolado. Fer un tall i després tornar-ho a pegar no canvia la superfície, aixina que a + (-a) = 0.

Pero considerem ara dos cicles a. Com la botella de Klein no és orientable, podem transportar un d'ells al voltant de la botella (a lo llarc del cicle b), i tornarà com -a. Açò es deu a que la botella de Klein està feta d'un cilindre, els extrems del qual del cicle a estan pegats en orientacions opostes. Per lo tant 2a = a + a = a + (-a) = 0. Este fenomen es diu torsió. Análogament, en el pla proyectivo, seguir dos voltes el cicle no reducible b crea notablement un cicle trivial que pot ser reduït a un punt; és dir, b + b = 0. Ya que b deu seguir-se dos voltes per a conseguir un cicle zero, es diu que la superfície té un coeficient de torsió de 2. No obstant, seguir un cicle b dos voltes en la botella de Klein dona simplement b + b = 2b, ya que este cicle viu en una classe homológica lliure de torsió. Açò correspon al fet de que en el polígon fonamental de la botella de Klein, només un parell de costats està pegat en una torsió, mentres que en el pla proyectivo abdós costats estan torçuts.

Un quadrat és un espai topològic contràctil, lo que implica que té homologia trivial. En conseqüència, els corts adicionals ho desconecten. El quadrat no és l'única forma del pla que pot pegar-se en una superfície. Pegant costats oposts d'un octógono, per eixemple, s'obté una superfície en dos forats. De fet, totes les superfícies tancades poden produir-se pegant els costats d'algun polígon i tots els polígons de costats pares (2n-gonos) poden pegar-se per a formar diferents colectors. A l'inversa, una superfície tancada en n classes distintes de zero pot tallar-se en un 2n-gono. També són possibles variacions, per eixemple, un hexàgon també pot pegar-se per a formar un toroide.

La primera teoria reconeixible de l'homologia va ser publicada per Henri Poincaré en el seu treball seminal "Analysis situs", J. Ecole polytech. (2) 1. 1-121 (1895). L'artícul introduïx les classes i relacions homológicas. Les possibles configuracions dels cicles orientables es classifiquen pels números de Betti del colector (els números de Betti són un refinament de la característica de Euler). La classificació dels cicles no orientables requerix informació adicional sobre els coeficients de torsió.

La classificació completa d'1- i 2-manifolds es dona en la taula.

Característiques topològiques d'1- i 2-manifolds tancats i no acotats

Manifold		Euler no., χ	Orientabilidad	Número de Betti			Coeficient de torsió (1-dimensional)
Símbol	Nom			b0	b1	b2
$S^1$	Círcul (1-manifold)	0	Orientable	1	1	Plantilla:Cela	Plantilla:Cela
$S^2$	Esfera	2	Orientable	1	0	1	No
$T^2$	Bou	0	Orientable	1	2	1	No
$P^2$	Pla proyectivo	1	Senar-orientable	1	0	0	2
$K^2$	Botella de Klein	0	Senar-orientable	1	1	0	2
	toroide de 2 forats	−2	Orientable	1	4	1	No
	toroide en g forats (g és el gènero)	2 − 2g	Orientable	1	2g	1	No
	Esfera en c cross-caps	2 − c	No-orientable	1	c − 1	0	2
	2-Manifold en g forats i cPlantilla:Nbsptapes creuades (cPlantilla:Nbsp>Plantilla:Nbsp0)	2Plantilla:Nbsp−Plantilla:Nbsp(2gPlantilla:Nbsp+Plantilla:Nbspc)	No-orientable	1	(2gPlantilla:Nbsp+Plantilla:Nbspc)Plantilla:Nbsp−Plantilla:Nbsp1	0	2

Notes

1. Per a una superfície no orientable, un forat equival a dos tapes creuades.

1. Tot 2-manifold és la suma conexa de bous g i plans proyectivos c. Per a l'esfera $S^2$, g = c = 0.

Generalisació

Un colector en llímit o colector obert és topológicamente distint d'un colector tancat i pot crear-se fent un tall en qualsevol colector tancat adequat. Per eixemple, el disc o 2-ball $B^2$ està llimitat per un círcul $S^1$.Plantilla:Cn Pot crear-se tallant un cicle trivial en qualsevol 2-manifold i mantenint el tros eliminat, perforant l'esfera i estirant la punción a lo ample, o tallant el pla proyectivo. També pot vore's com la farcidura del círcul en el pla.

Quan dos cicles poden deformar-se contínuament l'un en l'atre, llavors el tall a lo llarc d'un produïx la mateixa forma que el tall a lo llarc de l'atre, fins a certa flexión i estiramiento. En este cas es diu que els dos cicles són

• homòlecs

o que pertanyen a la

• mateixa classe d'homologia.

Ademés, si un cicle es pot deformar contínuament en una combinació d'atres cicles, llavors el tall a lo llarc del cicle inicial és el mateix que el tall a lo llarc de la combinació d'atres cicles. Per eixemple, tallar a lo llarc d'una figura 8 és equivalent a tallar a lo llarc dels seus dos lòbuls. En este cas, es diu que la figura 8 és homòloga a la suma dels seus lòbuls.

Dos colectors oberts en llímits similars (fins a cert grau de flexión i estiramiento) poden pegar-se per a formar un nou colector que és la seua suma conexa.

Este anàlisis geomètric dels manifolds no és rigorós. En una busca de major rigor, Poincaré va passar a desenrollar l'homologia simplicial d'una varietat triangulada i a crear lo que ara es denomina un complex en cadena. Estos complexos en cadena (des de llavors molt generalisats) formen la base de la majoria dels tractaments moderns de l'homologia.

En estos tractaments, un cicle no té per qué ser continu: un cicle 0 és un conjunt de punts, i tallar a lo llarc d'este cicle correspon a perforar la varietat. Un cicle 1 correspon a un conjunt de bucles tancats (una image del manifold 1 $S^1$). En una superfície, el tall a lo llarc d'un 1-cicle produïx peces desconectades o una forma més simple. Un 2-cicle correspon a una colecció de superfícies incrustades, com una esfera o un toroide, i aixina successivament.

Emmy Noether i, independentment, Leopold Vietoris i Walther Mayer varen seguir desenrollant la teoria dels grups algebraics d'homologia en el periodo 1925-28. La nova topología combinatòria va tractar formalment les classes topològiques com grup abelianos. Els grups homológicos són grups abelianos finitamente generats, i les classes homológicas són elements d'estos grups. Els números de Betti de la varietat són el ranc de la part lliure del grup homológico, i els cicles no orientables es descriuen per mig de la part de torsió.

La posterior difusió dels grups d'homologia va dur un canvi de terminologia i punt de vista de la "topología combinatòria" a la "topología algebraica". L'homologia algebraica seguix sent el método principal per a classificar les varietats.

Definició

Es definix el n-ésimo grup d'homologia associat a un complex de cadenes

$\dots \to A_{n+1}\stackrel{{\delta }_{n+1}}{\to }{A}_n\stackrel{{\delta }_n}{\to }{A}_{n-1}\to \dots$

a on ${\delta }_n\circ {\delta }_{n+1}=0$

com el grup abeliano

$H(A_n)=\frac{\ker ({\delta }_n)}{\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{(}{\mathrm{\delta }}_{\mathrm{n}\mathrm{+}\mathrm{1}}\mathrm{)}}.$

També s'utilisa la notació

$H_n(A)$, a on $A$ és el complex de cadenes respectiu.

Es diu $\ker ({\delta }_n)$ els cicles en $A_n$ i es diu $\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{(}{\mathrm{\delta }}_{\mathrm{n}\mathrm{+}\mathrm{1}}\mathrm{)}$ les fronteres de $A_n$.

Es diu que l'homologia medix la falta d'exactitut d'un complex de cadenes en cada u dels seus esclavons. Per eixemple si tenim un complex de cadenes curt

$0\to A_1\stackrel{a_1}{\to }{A}_2\stackrel{a_2}{\to }{A}_3\to 0$

llavors els seus corresponents grup(vos d'homologia són:

$H(A_1)=\ker a_1,H(A_2)=\frac{\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}{a}_2}{\mathrm{i}\mathrm{m}{a}_1},H(A_3)=\frac{A_3}{\mathrm{i}\mathrm{m}{a}_2}$

És obvi que si la successió fora exacta, llavors estos grups serien trivials (=0).

Homologia front a homotopía

Els grups de homotopía s'assemblen als grups d'homologia en que poden representar "forats" en un espai topològic. Existix una estreta relació entre el primer grup de homotopía ${\pi }_1(X)$ i el primer grup d'homologia $H_1(X)$: el segon és l'abelianización del primer. D'ahí que es diga que "l'homologia és una alternativa conmutativa a la homotopía". Els grups de homotopía superiors són abelianos i estan relacionats en els grups d'homologia pel teorema de Hurewicz, pero poden ser molt més complicats. Per eixemple, els grups de homotopía d'esferes no es comprenen be i no es coneixen en general, en contrast en la descripció directa donada anteriorment per als grups d'homologia.

Com a eixemple, siga X la figura en huit. El seu primer grup de homotopía ${\pi }_1(X)$ és el grup de bucles dirigits que escomencen i terminen en un punt predeterminat (per eixemple, el seu centre). És equivalent al grup lliure de ranc 2, que no és conmutativo: fer un bucle al voltant del cicle més a l'esquerra i després al voltant del cicle més a la dreta és diferent que fer un bucle al voltant del cicle més a la dreta i després fer un bucle al voltant del cicle més a l'esquerra. En canvi, el seu primer grup d'homologia $H_1(X)$ és el grup de corts realisats en una superfície. Este grup és conmutativo, ya que (informalmente) tallar el cicle més a l'esquerra i després el cicle més a la dreta conduïx al mateix resultat que tallar el cicle més a la dreta i després el cicle més a l'esquerra.

Vore també

• Àlgebra homológica
• Cohomología
• Número de Betti
• Cohomología de De Rham
• Teoria d'homologia extraordinària
• Àlgebra homológica
• Grup de homotopía
• Dualitat de Poincaré

Enllaços externs

• Hatcher, Allen (2002) Algebraic Topology Cambridge University Press
• Homology en MathWorld.