Número de Betti

En topología algebraica, els números de Betti distinguixen els espais topològics. Intuitivament, el primer número de Betti d'un espai, conta el número màxim de corts que es poden fer sense dividir a l'espai en dos peces.

Cada número de Betti és o be un número natural o be un element de la recta real estesa (+∞). Per als espais de dimensió finita més comunes (com les varietats compactes, un Complex simplicial o CW-complex) la seqüència de números de Betti és 0 per a alguns punts progressivament (s'anulen per a dimensions superiors a l'espai), i són tots finitos.

El terme «números de Betti» va ser falcat per Henri Poincaré en honor al matemàtic italià Enrico Betti.

Definició informal

A torus.

Un bou té un component conectat, dos forats circulares (un en el centre i un atre per dins del «tubo»), i un buit tridimensional (l'interior del «tubo») en números de Betti d'1,2,1.

Informalment, el k-ésimo número de Betti es referix al número k dimensional de superfícies no-conectades. Els següents números de Betti tenen les següents definicions intuïtives:

• b₀ és el número de components conectades.
• b₁ és el número de forats «circulares» bidimensionales.
• b₂ és el número de forats o «buits» tridimensionals.

Definició

Per a un sancer no negatiu k, el k-ésimo número de Betti b_k(X) de l'espai X es definix com el ranc del grup abeliano H_k(X), el k-ésimo grup d'homologia de X. Equivalentement, es pot definir la dimensió de l'espai vectorial H_k(X; Q), ya que el grup d'homologia és en este cas un espai vectorial sobre Q. El teorema del coeficient universal, en un cas molt simple, mostra que estes tres definicions són iguals.

Més generalment, donat un cos F es pot definir b_k(X, F), el késimo número de Betti en coeficients en F, com la dimensió del F-va espayar vectorial H_k(X, F).

Referències

• .
• .