Dimensió d'un espai vectorial

La dimensió d'un espai vectorial (també cridada dimensió de Hamel d'un espai vectorial, per a distinguir-la de la dimensió de Hilbert en el cas dels espais de Hilbert) és el número de vectores que formen una base [de Hamel] de l'espai vectorial.

Introducció

Donat un espai vectorial poden considerar-se conjunts de vectores $S$ d'un espai vectorial $V$ i es pot examinar si posseïxen algunes d'estes propietats:

1. Independència llineal es diu que un conjunt de vectores $S\subseteq V$ és linealmente independent si per a qualsevol número finito de vectores es complix que:

Note's que en un espai vectorial de dimensió finita $n$, el màxim número de vectores linealmente independents és $n$.

2. Conjunt generador, donat un subespacio llineal $L$ es diu que un conjunt $S$ és generador de $L$ si:

Note's que un conjunt finito de m elements pot generar com a molt un subespacio L de dimensió com a molt m.

Un conjunt que siga linealmente independent (1) i generador de l'espai vectorial (2) es diu que és una base vectorial. El teorema d'intercanvi de Steinitz permet demostrar que totes les bases d'un espai vectorial són conjunts en el mateix número d'elements (és dir, conjunts que tenen el mateix cardinal). I el número comú d'elements d'una base qualsevol és precisament la dimensió de l'espai vectorial.

Note's un fet important, si es canvia el cos dels escalares, de $ℝ$ a $ℂ$, llavors el mateix punt $M$ serà determinat pel complex $z_M=x+y\text{i}$, és dir per un sol paràmetro.

La dimensió del pla real $P$ és 1 sobre $ℂ$ i dos sobre $ℝ$:

Un pla real és per lo tant una recta complexa. L'apelació pla complex per a designar un pla real en escritura complexa de les coordenades ($x+y\text{i}$ en lloc de $(x,y)$) és errònea, pero molt comuna.

L'espai ambiente és tridimensional i es requerix per lo tant tres reals $(x,y,z)$ per a definir un punt. No se li pot considerar com un espai sobre $ℂ$.

En la teoria de la relativitat, s'afig una quarta variable: el temps, i un punt $(x,y,z,t)$ d'este espai cuadridimensional correspon a un event o acontenyiment (les coordenadas nos diuen a on i quan va ocórrer).

En algunes teories actuals, els físics treballen en un model de l'espai en onze dimensions, pero sobre el conjunt dels sancers, i no els reals. Com el conjunt $\mathbb{Z}$ dels sancers no és un cos sino un anell, l'espai no és vectorial (es diu que és un mòdul). No obstant, la definició de la dimensió és vàlida en tals espais. En este eixemple, la majoria de les dimensions són enrolladas sobre sí mateixes, com una serp que es mossega la coa. La seua curvatura és enorme, puix la seua ràdio és microscòpic, menor que el d'un núcleu. Els espais vectorials no tenen curvatura.

Definició formal

Més formalment la dimensió d'un espai vectorial es definix com el cardinal d'una base vectorial para dit espai. Pel axioma d'elecció tot espai té una base (inclús l'espai $\{0\}$, ya que el buit és una base), i lloc que el teorema d'intercanvi de Steinitz demostra que totes les bases vectorials finitas tenen el mateix cardinal i que es pot estendre açò a cardinals infinits per la teorema de Löwig, llavors resulta el concepte de dimensió està ben definit. Convé notar que existixen espais vectorials tant de dimensió finita com de dimensió infinita (l'espai vectorial dels polinomis d'una variable, per eixemple, té dimensió ${\mathrm{\aleph }}_0$).

La dimensió d'un espai coincidix ademés en els dos cardinals següents:

• El màxim número de vectores linealmente independents de dit espai.
• El mínim número de vectores que formen un conjunt generador per a tot l'espai.