CW-complex

En topología i geometria, un complex celular o CW-Complex és un tipo d'espai topològic que en certa manera s'assembla a una varietat topològica. Són espais molt utilisats en topología (especialment en topología algebraica) i en geometria diferencial. Les lletres CW signifiquen Closure finite-Weak topology , topología dèbil de clausura finita.

Definició

Cèlula

En topología es denomina cèlula a un espai topològic $e$ que és homeomorfo a algun espai euclídeo real. És dir, existirà algun sancer no negatiu $n\ge 0$ de manera que $e\sim {ℝ}^n$ (a on $\sim$ representa la relació “ser homeomorfo a”). En eixe cas es dirà que $e$ és una $n$-cèlula, i que la dimensió de $e$ és $n$ (denotat per $|e|:=dim(e)=n$).

Descomposició celular

Siga $X$ un espai topològic. Es diu que el parell $(X,ℰ)$ és una descomposició celular de $X$ si $ℰ$ és una partició de $X$ en cèlules, és dir, cada element de $ℰ$ és una cèlula, $X$ és l'unió de tots els elements de $ℰ$ i dos elements distints de $ℰ$ són disjuntos (si $e_1,e_2\in ℰ$ i $e_1\ne e_2$, llavors $e_1\cap e_2=\varnothing$).

Tot espai topològic admet alguna descomposició celular.

Donats un número entero positiu $n$ una descomposició celular $(X,ℰ)$ de $X$, es denomina conjunt de $n$-cèlules a l'unió de totes les cèlules de dimensió $n$ (és dir, a $\bigcup _{e\in ℰ:|e|=n}e$). Es denomina aixina mateix $n$-esquelet al conjunt $X^n:=\bigcup _{e\in ℰ:|e|\le n}e$, és dir, a l'unió dels conjunts de $m$-cèlules, quan $m\le n$.

Si existira algun $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ de manera que $X=X^n$, direm que $X$ té dimensió finita. En eixe cas, al menor $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ de manera que $X=X^n$ se li denomina dimensió de $X$ ($n=dim(X)$). En cas contrari (és dir, si $X$ no és de dimensió finita) es diu que la dimensió de $X$ és infinita ($dim(X)=\mathrm{\infty }$). Com abans, en principi esta definició de dimensió no té cap relació en la definició algebraica de dimensió per a espais vectorials. No obstant, es complix que si $X$ és un espai euclídeo real o un espai normado, abdós definicions són equivalents.

Complexos celulars

Siga $(X,ℰ)$ una descomposició celular. Es diu que $(X,ℰ)$ és un complex celular (o un CW-complex, o un CW-espai, o un espai CW, o que $(X,ℰ)$ és una CW-descomposició de $X$, o que $(X,ℰ)$ és una descomposició de tipo CW de $X$) si es complix les següents condicions:

• Axioma M, o condició de l'aplicació característica: Per a cada cèlula $e\in ℰ$ existix una aplicació contínua (denominada aplicació característica per a la cèlula $e$) ${\Phi }_e:\stackrel{n}{\stackrel{‾}{B}}⟶X$ de tal forma que ${\Phi }_e|B^n$ és un homeomorfisme entre $B^n$ i $e$, i ${\Phi }_e(S^{n-1})\subseteq X^{n-1}$ (a on ací $n=dim(e)$, $\stackrel{n}{\stackrel{‾}{B}}:=\{x\in {ℝ}^n:||x||\le 1\}$, és dir, $\stackrel{n}{\stackrel{‾}{B}}$ representa a la bola tancada de ${ℝ}^n$ centrada en li orige i de radi 1, $B^n:=\{x\in {ℝ}^n:||x||<1\}$, és dir, $B^n$ representa a la bola oberta de ${ℝ}^n$ centrada en l'orige i de radi 1 i $S^{n-1}:=\{x\in {ℝ}^n:||x||=1\}$ és l'esfera de ${ℝ}^n$ centrada en l'orige i de radi 1). A la restricció de ${\Phi }_e$ a $S^{n-1}$ (açò és a ${\varphi }_e:={\Phi }_e{|}_{S^{n-1}}$) li la denomina aplicació subjecció per a la cèlula $e$.

• Axioma C, o condició de clausura finita: Donada una cèlula $e\in ℰ$, la seua clausura $\bar{e}$ està continguda en l'unió d'un número finit de cèlules. Açò és, $\bar{e}$ té intersecció no buida només en una cantitat finita de cèlules.
• Axioma W, o condició de topología dèbil: un conjunt $F\subset X$ és tancat quan i només quan $F\cap \bar{e}$ lo és (tancat) en $\bar{e}$, qualsevol que siga la cèlula $e\in ℰ$.