Gran círcul

Gran círcul

Un gran círcul dividix l'esfera en dos conyes esfèriques iguals cridats hemisferis.

El círcul màxim g (verda) es troba en un pla que passa pel centre de l'esfera O (negre). La llínea perpendicular a (violeta) que passa pel centre es diu eix de g, i les seues dos interseccions en l'esfera, P i P' (roig), són els pols de g. Qualsevol círcul màxim s (blava) que passe pels pols és secundari a g.

El gran círcul, denominat també círcul major o círcul màxim, és el círcul resultant d'una secció realisada a una esfera per mig d'un pla que passe pel seu centre i la dividixca en dos hemisferis; la secció circular obtinguda té el mateix diàmetro que l'esfera.

La distància més curta entre dos punts de la superfície d'una esfera sempre és l'arc de círcul màxim que els unix.

Tot arc de círcul màxim és una geodèsica de l'esfera, de modo que els círculs màxims de la geometria esfèrica són l'anàlec natural de les rectes de l'espai euclídeo. Per a qualsevol parell de punts distints no antropodales de l'esfera, existix un únic gran círcul que passa per abdós. (Tota gran circumferència que passa per qualsevol punt passa també pel seu punt antípoda, per lo que hi ha infinites grans circumferències que passen per dos punts antípodes). El més curt dels dos arcs ortodròmics entre dos punts distints de l'esfera es denomina arc menor, i és el camí superficial més curt entre ells. La seua llongitut d'arc és la distància ortodrómica entre els punts (la distància intrínseca en una esfera), i és proporcional a la mida de l'àngul central format pels dos punts i el centre de l'esfera.

Com a antònim en oposició al gran círcul, en una esfera un círcul menut és la seua intersecció en un pla que no conté el centre de l'esfera.

Aplicacions de círculs màxims

Geometria riemanniana

En la geometria riemanniana este concepte servix per a ilustrar cóm hi ha espais a on hi ha punts (els antipodales) que admeten més d'una geodèsica contrastant lo que succeïx en espais euclídeos, en els que per dos punts elegits arbitrariamente solament passa una única geodèsica.

Triànguls esfèrics

Aplicació de círculs màxims a un triàngul esfèric ABC.

Si tres punts de la superfície esfèrica són units per arcs de círcul màxim menors a 180°, la figura obtinguda es denomina triàngul esfèric. Els costats del polígon aixina format s'expressen per conveniència com a ànguls el vèrtiç dels quals és el centre de l'esfera i no per la seua llongitut. Este arc medit en radianes i multiplicat pel radi de l'esfera és la llongitut de l'arc. En un triàngul esfèric els ànguls complixen que: 180° < $\alpha$ + $\beta$ + $\gamma$ < 540°

Geografia i cartografia

En geografia i cartografia, els círculs màxims que passen pels pols determinen les llínees de llongitut (meridianos). En la latitut, en canvi, existix solament un círcul màxim: l'equador terrestre. Les demés latitut estan determinades per círculs menors paralels a l'equador (paralels).

La trayectòria del gran círcul d'una ruta aérea (llínea roja)
La trayectòria seguint una corrent en chorrada (llínea verda).

Els segments de grans círculs són utilisats per barcos i aeronaus com a rutes quan les corrents marines i els vents no tenen un efecte significatiu. La duració del vol a sovint es pot estimar per mig d'un gran círcul entre dos aeroports. Al mateix temps, per a les aeronaus que es mouen cap a l'oest entre continents en l'hemisferi nort , la ruta òptima es troba al nort del gran círcul, respectivament, per al moviment cap a l'est, les rutes òptimes seran llaugerament cap al sur.

Quan les rutes aérees o marítimes llargues es mostren en un mapa pla (per eixemple, en la proyecció de Mercator), a sovint es veuen torçudes. La ruta corresponent al segment recte en el mapa serà més llarga. El fet és que en tals proyeccions, els círculs grans no corresponen a llínees rectes. Les situacions del mapa es mostren millor en la proyecció gnomónica, a on les llínees rectes són proyeccions de grans círculs.

Cinc grans círculs, 2 en negre, 2 en groc i un en blau traç continu.

Determinació de les trayectòries més curtes

Per a demostrar que l'arc menor d'un círcul màxim és la trayectòria més curta que conecta dos punts en la superfície d'una esfera, es pot utilisar càlcul variacional a la mateixa.

Si es considera la classe de totes les trayectòries regulars des d'un punt $p$ fins a un atre punt $q$. S'utilisen coordenades esfèriques de forma tal que $p$ coincidix en el pol nort. Tota curva sobre l'esfera que no interseca algun dels pols, llevat possiblement els punts finals, es pot parametrizar per mig de

$\theta =\theta (t),\varphi =\varphi (t),a\le t\le b$

si se li permet a $\varphi$ que prenga valors reals arbitraris. La llongitut d'arc infinitesimal en estes coordenades és

$ds=r\sqrt{\theta {\text{'}}^2+\varphi {\text{'}}^2{\mathrm{sen}}^2\theta }dt.$

Per lo que la llongitut d'una curva $\gamma$ des de $p$ a $q$ és un funcional de la curva donat per

$S[\gamma ]=r\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{\theta {\text{'}}^2+\varphi {\text{'}}^2{\mathrm{sen}}^2\theta }dt.$

Segons l'equació de Euler–Lagrange, $S[\gamma ]$ és mínim si i solament si

$\frac{{\mathrm{sen}}^2\theta {\varphi }^{\prime }}{\sqrt{\theta {\text{'}}^2+\varphi {\text{'}}^2{\mathrm{sen}}^2\theta }}=C$,

a on $C$ és una constant independent de $t$, i

$\frac{\mathrm{sen}\theta \cos \theta \varphi {\text{'}}^2}{\sqrt{\theta {\text{'}}^2+\varphi {\text{'}}^2{\mathrm{sen}}^2\theta }}=\frac{d}{dt}\frac{{\theta }^{\prime }}{\sqrt{\theta {\text{'}}^2+\varphi {\text{'}}^2{\mathrm{sen}}^2\theta }}.$

De la primera d'estes dos equacions, s'obté que

${\varphi }^{\prime }=\frac{C{\theta }^{\prime }}{\mathrm{sen}\theta \sqrt{{\mathrm{sen}}^2\theta -C^2}}$.

Integrant abdós membres i considerant la condició de contorn, la solució real de $C$ és zero. Per lo tant, ${\varphi }^{\prime }=0$ i $\theta$ poden prendre qualsevol valor entre 0 i ${\theta }_0$, lo que indica que la curva deu trobar-se sobre un meridià de l'esfera. En coordenades cartesianas, s'expressa com

$x\mathrm{sen}{\varphi }_0-y\cos {\varphi }_0=0$

que és el pla que passa per l'orige, o siga el centre de l'esfera.

Vore també

• Trigonometria esfèrica
• Ortodrómica
• Loxodrómica
• Meridiano
• Paralel
• Trigonometria esfèrica
• Fibración de Hopf
• Curs (navegació)
• Esfera celest
• Gran elipse
• Llínea internacional de canvi de data

Bibliografia

• do Carmo (1993). Birkhäuser (ed.). Riemannian Geometry. ISBN 0-8176-3490-8.
• Shoshichi Kobayashi (1996). Wiley-Interscience (ed.). Foundations of Differential Geometry, Vol. 1. ISBN 0-471-15733-3.
• O'Neill, Barret (1983). Academic Press,London (ed.). Semi-Riemannian Geometry. ISBN 0-12-526740-1. Per al cas semiriemanniano.
• Arellano (1993). Geometry Differential.