Poliedre
Un poliedre és, en el sentit donat per la geometria clàssica al terme, un cos geomètric que les seues cares són planes i tanquen un volum finito. La paraula poliedre ve del grec antic πολύεδρον (polyedron), de la raïl πολύς (polys), «moltes» i de ἕδρα (hedra), «base», «assent», «cara».
Els poliedres es conceben com a cossos tridimensionalés, pero hi ha semblants topològics del concepte en qualsevol dimensió. Aixina, el punt o vèrtiç és el semblant topològic del poliedre en zero dimensions, una aresta o segment ho és en 1 dimensió, el polígon per a 2 dimensions; i el polícoro és el de quatre dimensions. Totes estes formes són conegudes com politopos, per lo que es pot definir un poliedre com un politopo tridimensional.
Definició
[editar | editar còdic]La definició més comuna de poliedre és la d'una regió acotada de l'espai, delimitada solament per polígons plans.
No obstant, la definició pot canviar depenent de si s'interpreta un poliedre com un volum, com els polígons que ho delimiten, o com únicament els segments que conformen l'esquelet del poliedre.
Esta i atres variacions en la definició permeten l'inclusió d'atres térmens, tals com les estelaciones, teselaciones, cares oblicuas, geometria no euclidiana, etc.
Denominació dels poliedres
[editar | editar còdic]El nom donat a un poliedre depén de les propietats del poliedre que siguen rellevants en el context en que s'estiga mencionant.
Normalment el nom inclou:
- Alguna qualitat sobre les cares del poliedre, com el seu número (tetraedre (4), pentaedro (5), etc.); la seua forma (deltaedro (triangular), romboedro (ròmbica), etc.); o una atra qualitat
- Propietats que posseïxca el poliedre (si és regular, toroidal, ròmbic, etc.)
- Transformacions que han segut fetes en el poliedre (truncat, romo, estrelat, etc.)
Criteris de classificació dels poliedres
[editar | editar còdic]Els poliedres poden classificar-se segons varis criteris:
- Els poliedres convexos contenen en el seu interior tots els segments que unixen dos punts també continguts en el poliedre. En el cas de que dit segment s'ixca del cos es diu que són poliedres cóncaus, com és el cas dels poliedres toroidales i els sòlits de Kepler-Poinsot.
- Els poliedres de cares regulars tenen solament polígons regulars com a cares.
- Els poliedres isoedrales o transitivos de cares posseïxen baix les simetria del poliedre una equivalència entre qualsevol parell de cares.
- Els poliedres isotoxales o transitivos d'arestes posseïxen baix les simetria del poliedre una equivalència entre qualsevol parell d'arestes.
- Els poliedres isogonales o transitivos de vèrtiços posseïxen baix les simetria del poliedre una equivalència entre qualsevol parell de vèrtiços.
Estos en conjunt definixen algunes de les principals famílies de poliedres:
(Les propietats en groc solament es troben en alguns (pero no tots) els poliedres de la família.)
| Convexos | De cares regulars | Isoedrales | Isotoxales | Isogonales | Família |
|---|---|---|---|---|---|
| Si | Si | No | No | No | Sòlits de Johnson |
| No nec. | Si | No | Si | Si | Poliedres cuasirregulares |
| No nec. | Si | No nec. | No nec. | Si | Poliedres uniformes |
| No nec. | No nec. | Si | No nec. | Si | Poliedres nobles |
| No nec. | Si | Si | Si | Si | Poliedres regulars |
| No | Si | Si | Si | Si | Sòlits de Kepler-Poinsot |
| Si | Si | Si | Si | Si | Sòlits platònics |
Classificació segons el número de cares
[editar | editar còdic]El nom que se li assigna a un poliedre segons el seu número de cares es compon d'un prefixe numeral més el sufix &#;edro. La següent llistamostra varis eixemples:
| Nom | Número de cares |
|---|---|
| Henaedro o monoedro | 1 |
| Diedro | 2 |
| Triedro | 3 |
| Tetraedre | 4 |
| Pentaedro | 5 |
| Hexaedro | 6 |
| Heptaedro | 7 |
| Octaedre o octoedro | 8 |
| Eneaedro o nonaedro | 9 |
| Decaedro | 10 |
| Endecaedro o undecaedro | 11 |
| Dodecaedre | 12 |
| Tridecaedro | 13 |
| Tetradecaedro | 14 |
| Pentadecaedro | 15 |
| Hexadecaedro | 16 |
| Heptadecaedro | 17 |
| Octadecaedro o octodecaedro | 18 |
| Eneadecaedro o nonadecaedro | 19 |
| Icosaedre o isodecaedro | 20 |
| Triacontaedro o tricontaedro | 30 |
| Tetracontaedro | 40 |
| Pentacontaedro o pentecontaedro | 50 |
| Hectaedro o hecatontaedro | 100 |
| Chiliaedro | 1.000 |
| Miriaedro | 10.000 |
| Decamiriaedro | 100.000 |
| Hectamiriaedro o megaedro | 1.000.000 |
| Gigaedro | 1.000.000.000 |
| Quettaedro | 1030 |
| Googoledro | 10100 |
| Apeiroedro | infinits |
| n-edro[lower-alpha 1] | n |
Regles de denominació
[editar | editar còdic]El prefix numeral que forma part d'estos noms es pot dividir segons el dígit en el número de cares que és descrit per cada part del prefix.
Cada una d'estes pugues a la seua volta dividir-se en dos parts: la primera (prefix de dígit) indica el dígit al que es referix (1, 2, 3, ..., fins a 9), i la segona (prefix de posició) indica la posició que du el dígit en el número de cares al que es referix (decenes, centenes, etc.)
Ademés, es té que:
- Els 0s, la posició dels 1s i la del dígit en les unitats no es mencionen en el nom
- Si el dígit en les decenes és un 1 o el número de cares termina en 12, les unitats es mencionen abans que les decenes
- El prefix isodeca- pot reemplaçar-se per icosa-
La següent taula mostra els distints prefixos de dígit i de posició. Depenent de la posició del dígit corresponent, els prefixos que s'usen varien.
| Prefix de dígit | Prefix de posició | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Dígit | Posició del dígit corresponent | Posició | Prefix | |||
| Qualsevol | Unitats | Decenes | Centenes | |||
| 1 | en-, hena-, mona- o un-[lower-alpha 2] | 10 | conta- o deca-[lower-alpha 3] | |||
| 2 | vaig donar-[lower-alpha 4] | do-[lower-alpha 5] | iso- | dia-[lower-alpha 6] | 100 | cosi-, hecatonta- o hecta-[lower-alpha 7] |
| 3 | tri- | tria- | tria-[lower-alpha 8] | 1.000 | chilia- | |
| 4 | tetra- | 10.000 | miria- | |||
| 5 | penta- | pente- | 100.000 | decamiria- | ||
| 6 | hexa- | hexe- | 1.000.000 | hectamiria- o mega- | ||
| 7 | hepta- | 10.000.000 | decamega- | |||
| 8 | octa- | octo- | 100.000.000 | hectamega- | ||
| 9 | enea- o nona- | ...[lower-alpha 9] | ||||
Famílies de poliedres
[editar | editar còdic]Poliedres regulars
[editar | editar còdic]Un poliedre regular és isoedral, isotoxal, isogonal, i totes les seues cares són regulars. En total existixen cinc poliedres regulars convexos, que corresponen als sòlits platònics; més 4 no convexos, que corresponen als sòlits de Kepler-Poinsot i són estelaciones de sòlits platònics; sumant 9 en total.
Sòlits platònics
[editar | editar còdic]Els sòlits platònics o sòlits de Platón són poliedres regulars i convexos. Solament existixen cinc sòlits platònics.
| Nom | Image | Símbol de Schläfli | Configuració de vèrtiços |
|---|---|---|---|
| Tetraedre | 
|
{3,3} | 3.3.3 |
| Gaveta o hexaedro regular | 
|
{4,3} | 4.4.4 |
| Octaedre | 
|
{3,4} | 3.3.3.3 |
| Dodecaedre | 
|
{5,3} | 5.5.5 |
| Icosaedre | Erro al crear miniatura: | {3,5} | 3.3.3.3.3 |
Sòlits de Kepler-Poinsot
[editar | editar còdic]Els sòlits de Kepler-Poinsot o sòlits de Kepler són poliedres regulars i que, a diferència dels sòlits platònics, no són convexos. Solament hi ha quatre d'ells i s'obtenen com estelaciones del dodecaedre o de l'icosaedre.
| Nom | Image | Símbol de Schläfli | Configuració de vèrtiços |
|---|---|---|---|
| Gran dodecaedre | Gran dodecaedre | {5,Plantilla:Frac} | (55)/2 |
| Menut dodecaedre estrelat | Menut dodecaedre estrelat | {Plantilla:Frac,5} | (Plantilla:Frac)5 |
| Gran icosaedre | Gran icosaedre | {3,Plantilla:Frac} | (35)/2 |
| Gran dodecaedre estrelat | Gran dodecaedre estrelat | {Plantilla:Frac,3} | (Plantilla:Frac)3 |
Poliedres irregulars
[editar | editar còdic]Els poliedres irregulars són aquells que tenen desigualtats entre les seues cares, arestes i/o vèrtiços.
Sòlits arquimedianos
[editar | editar còdic]Els sòlits arquimedianos o sòlits d'Arquímedes són poliedres convexos i uniformes pero no transitivos de cares, i no inclouen a la família infinita dels poliedres prismàtics. Varen ser àmpliament estudiats per Arquímedes. Alguns s'obtenen truncant els sòlits platònics. Solament hi ha tretze sòlits arquimedianos.
| Nom | Image | Configuració de vèrtiços |
|---|---|---|
| Tetraedre truncat | Tetraedre truncat | 3.6.6 |
| Cuboctaedro | Cuboctaedro | 3.4.3.4 |
| Gaveta truncada | Gaveta truncada | 3.8.8 |
| Octaedre truncat | Octaedre truncat | 4.6.6 |
| Rombicuboctaedro | Rombicuboctaedro | 3.4.4.4 |
| Cuboctaedro truncat | Cuboctaedro truncat | 4.6.8 |
| Gaveta romo | Gaveta romo | 3.3.3.3.4 |
| Icosidodecaedro | Icosidodecaedro | 3.5.3.5 |
| Dodecaedre truncat | Dodecaedre truncat | 3.10.10 |
| Icosaedre truncat | Icosaedre truncat | 5.6.6 |
| Rombicosidodecaedro | Rombicosidodecaedro | 3.4.5.4 |
| Icosidodecaedro truncat | Icosidodecaedro truncat | 4.6.10 |
| Dodecaedre romo | Dodecaedre romo | 3.3.3.3.5 |
Prismes i antiprismas
[editar | editar còdic]El restant de poliedres convexos i uniformes consistix de prismes i antiprismas, els quals en conjunt duen el nom de poliedres prismàtics. Les famílies dels prismes i antiprismas són abdós infinites.
Tots els prismes uniformes es construïxen en dos cares paraleles cridades bases, directrius o cares directrius, i una série de quadrats, tants com a costats tinga la cara directriu. Per eixemple, el prisma les cares directrius del qual són triangulars es diu prisma triangular i es compon de dos triànguls i tres quadrats.
Els antiprismas uniformes també contenen dos directrius, pero en este cas van unides per triànguls, a on la base de cada triàngul va unida a una aresta d'una de les bases del antiprisma, i el vèrtiç del mateix triàngul va unit a un vèrtiç de l'atra base.
Sòlits de Johnson
[editar | editar còdic]El restant dels poliedres convexos de cares regulars està conformat pels sòlits de Johnson. Est és un grup extens de poliedres convexos de cares regulars i no uniformes. Solament un d'estos, el pseudorrombicuboctaedro, té la mateixa configuració en tots els seus vèrtiços (pero no és transitivo de vèrtiços). Els sòlits de Johnson varen ser classificats i àmpliament estudiats pel matemàtic Norman Johnson. Solament hi ha 92 sòlits de Johnson.
Poliedres estrelats uniformes
[editar | editar còdic]Els poliedres estrelats uniformes són una família de poliedres no convexos, isogonales i de cares regulars. Conté dos famílies infinites, els prismes estrelats i els antiprismas estrelats, més atres 57 poliedres, 4 dels quals són els sòlits de Kepler-Poinsot.
Atres famílies de poliedres
[editar | editar còdic]Sòlits de Catalan
[editar | editar còdic]Corresponen als duals dels sòlits de Arquímedes (el dual és bàsicament la tongada de les cares per vèrtiços i viceversa, de manera que les unions entre els vèrtiços del dual coincidixquen en les unions entre les cares del poliedre original). Per eixemple, el dual del icosaedre (de 20 cares i 12 vèrtiços) és el dodecaedre (de 12 cares i 20 vèrtiços), i viceversa. Els sòlits de Catalan són isoedrales, pero no de cares regulars.
Deltaedros
[editar | editar còdic]Es diu deltaedros als cossos que solament estan formats per triànguls equiláteros. Solament hi ha huit deltaedros convexos. Tres d'ells pertanyen als sòlits platònics: el tetraedre, l'octaedre i l'icosaedre; i els atres cinc als sòlits de Johnson: la bipirámide triangular, la bipirámide pentagonal, la bipirámide quadrada giroelongada, el biesfenoide romo i el prisma triangular triaumentado.
Trapezoedros
[editar | editar còdic]Els trapezoedros són els duals dels antiprismas.
Generalisacions de poliedres
[editar | editar còdic]Apeiroedros
[editar | editar còdic]Es pot incloure com a poliedres a aquells que tenen una cantitat infinita de cares, cridats apeiroedros, entre els que es troben:
- Els teselados o teselaciones, les quals són poliedres que omplin completament el pla en el que es troben. Tots els ànguls diedros en una teselación són plans.
- Els poliedres oblicuos infinits, els quals tenen cares oblicuas o figures de vèrtiç oblicuas
Poliedres en l'espai no euclídeo
[editar | editar còdic]També es pot estendre el concepte de poliedre cap a espais no euclídeos:
- Un poliedre esfèric és una teselación en la superfície de l'esfera, a on les arestes corresponen a geodèsicas.
- També és possible teselar un espai hiperbòlic.
Vore també
[editar | editar còdic]Bibliografia
[editar | editar còdic]- Quinze Sales, Ricardo. Propietats elementals dels poliedres regulars. Santander: [s.n.], 1974. 17 p. Comunicació presentada a les Reunions sobre Geometria aplicada a l'Arquitectura i a l'Ingenieria Civil.
- Quinze Sales, Ricardo. Àrees i volums de cossos geomètrics. Teoria i eixercicis. Santander: Escola Superior d'Ingeniers de Camins, Canals i Ports, [s.a.]. 202 p.
- Quinze Sales, Ricardo. Àrees i volums de cossos geomètrics. Tom 2: solucions. Santander: Escola Superior d'Ingeniers de Camins, Canals i Ports, [s.a.]. 124 p.
Enllaços externs
[editar | editar còdic]- Archiu:Commons-logo.svg Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Poliedre.
En espanyol
[editar | editar còdic]En atres idiomes
[editar | editar còdic]Teoria general
[editar | editar còdic]- Plantilla:Mathworld
- Polyhedra Pages (anglés)
- Uniform Solution for Uniform Polyhedra by Dr. Zvi Har'El [1] archivat en Wayback Machine. (anglés)
- Symmetry, Crystals and Polyhedra (anglés)
Llistes i bases de senyes de poliedres
[editar | editar còdic]- Virtual Reality Polyhedra – L'Enciclopèdia de poliedres.
- Electronic Geometry Models – Conté una revisada selecció de poliedres en característica inusuals.
- Polyhedron Models – Poliedres virtuals. (anglés)
- Models de paper de varis poliedres
- Polyhedra Viewer – Visor basat en web per a vore les relacions entre varis poliedres.
Software lliure
[editar | editar còdic]- A Plethora of Polyhedra (anglés) – Una colecció interactiva i gratuïta de poliedres en Java. Inclou rets, seccions planars, duals, truncació i estrellamientos de més de 300 poliedres.
- Hyperspace Star Polytope Slicer (anglés) – Una applet en java per a Explorer, inclou una varietat d'opcions de visors 3d.
- openSCAD – Programa lliure en multiplataforma per a programadors. Els poliedres són unes de les formes que es poden modeles en ells. Hi ha un manual (OpenSCAD User Manual).
- OpenVolumeMesh (anglés) – Una biblioteca en C++ en multiplataforma per a manejar rets polièdriques. Desenrollat pel Aachen Computer Graphics Group, RWTH Aachen University.
- Polyhedronisme [2] archivat en Wayback Machine. – Una utilitat basada en web per a generar models de poliedres que usa la Conway polyhedron notation. Els models es poden exportar com a image en 2D, o com a 3D OBJ o fichers VRML2. Els fichers en 3D es poden obrir en software CAD.
Recursos per a fer models físics
[editar | editar còdic]- Paper Models of Polyhedra. Rets gratuïtes de poliedres.
- Instruccions senzilles per a construir més de 30 poliedres de paper (anglés)
- Polyhedra plaited with paper strips. Models de poliedres construïts sense usar pegament.
- Adopt a Polyhedron (anglés) - Vista interactiva, rets i senyes per a iompresoras 3D per a totes els tipos de poliedres en fins a nou vèrtiços.
Referències
[editar | editar còdic]
- Este artícul conté una traducció derivada de «Poliedro» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.
Erro en la cita: Existixen etiquetes <ref> per a un grup nomenat "lower-alpha", pero no es trobà una etiqueta <references group="lower-alpha"/>