Hexecontaedro pentagonal

Hexecontaedro pentagonal

En geometria, un hexecontaedro pentagonal és un sòlit de Catalan, dual del dodecaedre romo. Té dos formes distintes, que són image especular (o "enantiomorfos") entre sí. Té 92 vèrtiços que comprenen 60 cares pentagonals. És el sòlit de Catalan en més vèrtiços. Entre els sòlits de Catalan i els arquimedianos, té el segon major número de vèrtiços, despuix del icosidodecaedro truncat, que té 120 vèrtiços.

Coordenades cartesianas

Usant la simetria icosaédrica de les òrbites de Weyl, $O(\Lambda )=W(H_3)/C_2\approx A_5$ d'orde 60 s'obtenen les següents coordenades cartesianas, a on $\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ és el número áureo:

• Dotze vèrtiços d'un icosaedre regular en unitat circunradio centrat en l'orige en les coordenades

$\frac{(0,\pm 1,\pm \varphi )}{\sqrt{{\varphi }^2+1}},\frac{(\pm 1,\pm \varphi ,0)}{\sqrt{{\varphi }^2+1}},\frac{(\pm \varphi ,0,\pm 1)}{\sqrt{{\varphi }^2+1}}.$

• Vint vèrtiços d'un dodecaedre regular centrat en l'orige i inscrit en una esfera unitària escalat per un factor $R\approx 0.95369785218$ obtingut de la solució exacta a l'equació $700569-1795770x^2+1502955x^4-423900x^6+14175x^8-2250x^{10}+125x^{12}=0$,

que dona les coordenades:

$(\pm 1,\pm 1,\pm 1)\frac{R}{\sqrt{3}}$ i $(0,\pm \varphi ,\pm \frac{1}{\varphi })\frac{R}{\sqrt{3}},(\pm \frac{1}{\varphi },0,\pm \varphi )\frac{R}{\sqrt{3}},(\pm \varphi ,\pm \frac{1}{\varphi },0)\frac{R}{\sqrt{3}}.$

• Xixanta vèrtiços d'un dodecaedre romo quiral inscrits en una esfera unitària també escalats per $R$. Hi ha cinc conjunts de dotze vèrtiços, tots en permutació parells (és dir, en paritat de signe=1).

Un grup de dos conjunts de dotze vèrtiços té 0 o 2 signes menys (és dir, 1 o 3 signes més):

$(\pm 0.267979,\pm 0.881108,\pm 0.389662)R,$$(\pm 0.721510,\pm 0.600810,\pm 0.344167)R,$

i un atre grup de tres conjunts de 12 tenen 0 o 2 signes més (és dir, 1 o 3 signes menys):

$(\pm 0.176956,\pm 0.824852,\pm 0.536941)R,$

$(\pm 0.435190,\pm 0.777765,\pm 0.453531)R,$$(\pm 0.990472,\pm 0.103342,\pm 0.091023)R.$

El canvi de signe de les coordenades de tots els vèrtiços en abdós grups dona l'espill del dodecaedre romo quiral, la mateixa retícula convexa del hexacontaedro pentagonal.

Construcció

Combinant un icosaedre (12 vèrtiços) centrat en l'orige i inscrit en una esfera de radi 1; en un dodecaedre romo quiral (60 vèrtiços) combinat en un dodecaedre del mateix circunradio no unitari (20 vèrtiços) es pot construir el hexacontaedro pentagonal

El hexacontaedro pentagonal es pot construir a partir d'un dodecaedre romo sense prendre el dual. Les piràmides pentagonals s'agreguen a les 12 cares pentagonals del dodecaedre romo, i les piràmides triangulars s'agreguen a les 20 cares triangulars que no compartixen una vora en un pentàgon. Les altures de les piràmides s'ajusten per a que siguen coplanares en les atres 60 cares triangulars del dodecaedre romo. El resultat és el hexacontaedro pentagonal.

Un método de construcció alternatiu utilisa cuaterniones i la simetria icosaédrica de les òrbites del grup de Weyl $O(\Lambda )=W(H_3)/C_2\approx A_5=I$ d'orde 60.

Açò es mostra en una de les figures de la dreta.

Específicament, en els cuaterniones del grup icosaédrico binario $(p,q)\in I_h$, a on $q=\overline{p}$ és el conjugat de $p$ i $[p,q]:r\to r^{\prime }=prq$ i $[p,q{]}^{*}:r\to r^{″}=p\overline{r}q$, aixina com el grup de Coxeter $W(H_4)=\{[p,\overline{p}]\oplus [p,\overline{p}{]}^{*}\}$ és el grup de simetria del hexacosicoron i el hecatonicosacoron d'orde 14400, es té que $W(H_3)=\{[p,\overline{p}]\oplus [p,\overline{p}{]}^{*}\}=A_5\times C_2=I_h$ d'orde 120. $I$ es definix com les permutació pares de $I_h$ tals que $[I,\overline{I}]:r$ dona les 60 coordenades girades del dodecaedre romo quiral, a on $r\approx -0.389662e_1+0.267979e_2-0.881108e_3$ és una permutació del primer conjunt de les 12 coordenades enumerades dalt. La coordenada exacta per a $r$ s'obté prenent la solució a $x^3-x^2-x-\varphi =0$, en $x\approx 1.94315$, i aplicant-la a la normalisació de $r=(-1+x^2(-1-2/\varphi -x\varphi )e_1+(3-x^2+3x\varphi )e_2+((x^3-1/\varphi ){\varphi }^3)e_3$.

Vore també

• Poliedre dual
• Poliedres
• Poliedre de cares uniformes
• Esferes de Amazon
• Hexecontaedro pentagonal truncat

Bibliografia

• Plantilla:The Geometrical Foundation of Natural Structure (book) (Secció 3-9)

• (1983).«Dual Models».Cambridge University Press.doi:10.1017/CBO9780511569371. (Els tretze poliedres semirregulares convexos i els seus duals, Pàgina 29, Hexacontaedro pentagonal)
• The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, Plantilla:Isbn [1] (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 287, pentagonal hexecontahedron )