Simetria icosaédrica

Dominis fonamentals de la simetria icosaédrica

Un baló de fútbol, un eixemple comú d'un icosaedre truncat esfèric, que posseïx simetria icosaédrica completa

La simetria icosaédrica (també denominada simetria icosaedral o simetria de l'icosaedre) és el conjunt de propietats reflexives d'aquelles figures de l'espai tridimensional que posseïxen les 60 simetria rotacionales (o que conserven l'orientació) i un orde de simetria de 120, incloses les transformacions que combinen una reflexió i una rotació, que són pròpies d'un icosaedre regular. Tant el dodecaedre regular (dual de l'icosaedre) com el triacontaedro ròmbic tenen el mateix conjunt de simetria.

El grup de simetria complet (incloses les reflexions) es coneix com el grup de Coxeter H₃, i també està representat en la notació de Coxeter per [5,3] i posseïx un diagrama de Coxeter-Dynkin Plantilla:DCD.

El conjunt de simetria que conserven l'orientació forma un subgrup que és isomorfo al grup A₅ (el grup alternante de 5 lletres).

Com a grup de punts

A banda de les dos séries infinites de simetria prismàtica i antipismática, la simetria icosaédrica rotacional o simetria icosaédrica quiral d'objectes quirales i la simetria icosaédrica completa o simetria icosaédrica aquiral són les simetria de punts discrets (o equivalentement, simetria en l'esfera) en els grups de simetria més grans.

La simetria icosaédrica no és compatible en la simetria traslacional, per lo que no existixen grups de punts cristalográficos o grups espacials associats.

Schönflies	Coxeter		Orbifold	Estructura abstracta	Orde
I	[5,3]+	Plantilla:DCD	532	A5	60
Ih	[5,3]	Plantilla:DCD	*532	A5×2	120

Les presentacions corresponents als grups anteriors són:

$I:⟨s,t\mid s^2,t^3,(st{)}^5⟩$

$I_h:⟨s,t\mid s^3(st{)}^{-2},t^5(st{)}^{-2}⟩.$

Estos valors corresponen als grups icosaédricos (rotacionales i complets) sent els (2,3,5) grups triangulars.

La primera presentació va ser realisada per William Rowan Hamilton en 1856, en el seu artícul sobre càlcul icosiano.

Deu tindre's en conte que són possibles atres presentacions, per eixemple, com un grup alternante (per a I).

Visualisacions

Schoe. (Orb.)	Notació de Coxeter	Elements	Diagrames d'espills
			Ortogonal	Proyecció estereográfica
Ih (*532)	Plantilla:DCD Plantilla:DCD [5,3]	Llínees d'espill: 15 Plantilla:DCD
I (532)	Plantilla:DCD [5,3]+	Punts de gir: 125 203 302

Estructura del grup

El grup de rotació icosaédrico I és d'orde 60. El grup I és isomorfo a A₅, el grup alternante de permutació pares de cinc objectes. Este isomorfisme es pot representar per mig de I actuant sobre varis composts, en particular el compost de cinc gavetes (que s'inscriu en el dodecaedre), el compost de cinc octaedres o qualsevol dels dos composts de cinc tetraedres (que són quirales i s'inscriuen en el dodecaedre).

El grup conté 5 versions de T_h en 20 versions de D₃ (10 eixos, 2 per eix) i 6 versions de D₅.

El grup icosaédrico complet I_h té orde 120. Té a I com subgrup normal d'índex 2. El grup I_h és isomorfo a I×Z₂, o A₅ ×Z₂, en inversió en el centre corresponent a l'element (identitat, -1), a on Z₂ s'escriu multiplicativament.

I_h actua sobre el compost de cinc gavetes i el compost de cinc octaedres, pero −1 actua com a identitat (ya que les gavetes i els octaedres són centralmente simètrics). Actua sobre el compost de dèu tetraedres: I actua sobre les dos mitats quirales (composts de cinc tetraedres), i −1 intercanvia les dos mitats. En particular, no actua com a S₅, i estos grups no són isomorfos; vore més avall per a més detalls. El grup conté 10 versions de D_3d i 6 versions de D_5d (simetria com antiprismas). I també és isomorfo a PSL₂ (5), pero I_h no és isomorfo a SL₂(5).

Les arestes d'un compost de cinc octaedres esfèric representen els 15 plans d'espill com a círculs màxims de colors. Cada octaedre pot representar 3 plans d'espill ortogonals per les seues vores.		La simetria piritoédrica és un subgrup d'índex 5 de la simetria icosaédrica, en 3 llínees de reflexió verdes ortogonals i 8 punts de gir d'orde 3 en roig. Hi ha 5 orientacions diferents de simetria piritoédrica.

Isomorfisme de I en A₅

És útil descriure explícitament cóm es veu l'isomorfisme entre I i A₅. En la següent taula, les permutació P_i i _iX actuen sobre 5 i 12 elements respectivament, mentres que les matrius de rotació M_i són els elements de I. Si P_k és el producte de prendre la permutació P_i i aplicar-li P_j, llavors per als mateixos valors de i, j i k, també és cert que _kX és el producte de prendre _iX i aplicar _jX, i també que premultiplicar un vector per M_k és lo mateix que premultiplicar eixe vector per M_i i després premultiplicar eixe resultat en M_j, és dir, M_k = M_j × M_i. Ya que les permutació P_i són les 60 permutació pares de 12345, la correspondència un a un es fa explícita, i per lo tant, l'isomorfisme també.

Matriu de rotació	Permutació de 5 sobre 1 2 3 4 5	Permutació de 12 sobre 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
$M_1=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$	$P_1$ = ()	$Q_1$ = ()
$M_2=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}\\ -\frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}\\ -\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }\end{array}\right]$	$P_2$ = (3 4 5)	$Q_2$ = (1 11 8)(2 9 6)(3 5 12)(4 7 10)
$M_3=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}\\ \frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}\\ \frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }\end{array}\right]$	$P_3$ = (3 5 4)	$Q_3$ = (1 8 11)(2 6 9)(3 12 5)(4 10 7)
$M_4=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}\\ \frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}\\ -\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }\end{array}\right]$	$P_4$ = (2 3)(4 5)	$Q_4$ = (1 12)(2 8)(3 6)(4 9)(5 10)(7 11)
$M_5=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}\\ -\frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right]$	$P_5$ = (2 3 4)	$Q_5$ = (1 2 3)(4 5 6)(7 9 8)(10 11 12)
$M_6=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}\end{array}\right]$	$P_6$ = (2 3 5)	$Q_6$ = (1 7 5)(2 4 11)(3 10 9)(6 8 12)
$M_7=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}\\ \frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right]$	$P_7$ = (2 4 3)	$Q_7$ = (1 3 2)(4 6 5)(7 8 9)(10 12 11)
$M_8=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 0& 0& 1\\ -1& 0& 0\end{array}\right]$	$P_8$ = (2 4 5)	$Q_8$ = (1 10 6)(2 7 12)(3 4 8)(5 11 9)
$M_9=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}\\ \frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right]$	$P_9$ = (2 4)(3 5)	$Q_9$ = (1 9)(2 5)(3 11)(4 12)(6 7)(8 10)
$M_{10}=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}\\ -\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}\end{array}\right]$	$P_{10}$ = (2 5 3)	$Q_{10}$ = (1 5 7)(2 11 4)(3 9 10)(6 12 8)
$M_{11}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& -1\\ -1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$	$P_{11}$ = (2 5 4)	$Q_{11}$ = (1 6 10)(2 12 7)(3 8 4)(5 9 11)
$M_{12}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}\\ -\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}\end{array}\right]$	$P_{12}$ = (2 5)(3 4)	$Q_{12}$ = (1 4)(2 10)(3 7)(5 8)(6 11)(9 12)
$M_{13}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right]$	$P_{13}$ = (1 2)(4 5)	$Q_{13}$ = (1 3)(2 4)(5 8)(6 7)(9 10)(11 12)
$M_{14}=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}\\ \frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }\end{array}\right]$	$P_{14}$ = (1 2)(3 4)	$Q_{14}$ = (1 5)(2 7)(3 11)(4 9)(6 10)(8 12)
$M_{15}=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}\\ -\frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}\\ -\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }\end{array}\right]$	$P_{15}$ = (1 2)(3 5)	$Q_{15}$ = (1 12)(2 10)(3 8)(4 6)(5 11)(7 9)
$M_{16}=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}\\ \frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}\\ -\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }\end{array}\right]$	$P_{16}$ = (1 2 3)	$Q_{16}$ = (1 11 6)(2 5 9)(3 7 12)(4 10 8)
$M_{17}=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}\\ \frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}\end{array}\right]$	$P_{17}$ = (1 2 3 4 5)	$Q_{17}$ = (1 6 5 3 9)(4 12 7 8 11)
$M_{18}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}\\ -\frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right]$	$P_{18}$ = (1 2 3 5 4)	$Q_{18}$ = (1 4 8 6 2)(5 7 10 12 9)
$M_{19}=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}\\ -\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}\end{array}\right]$	$P_{19}$ = (1 2 4 5 3)	$Q_{19}$ = (1 8 7 3 10)(2 12 5 6 11)
$M_{20}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ -1& 0& 0\\ 0& -1& 0\end{array}\right]$	$P_{20}$ = (1 2 4)	$Q_{20}$ = (1 7 4)(2 11 8)(3 5 10)(6 9 12)
$M_{21}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}\\ -\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}\end{array}\right]$	$P_{21}$ = (1 2 4 3 5)	$Q_{21}$ = (1 2 9 11 7)(3 6 12 10 4)
$M_{22}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}\\ \frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right]$	$P_{22}$ = (1 2 5 4 3)	$Q_{22}$ = (2 3 4 7 5)(6 8 10 11 9)
$M_{23}=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& -1\\ -1& 0& 0\end{array}\right]$	$P_{23}$ = (1 2 5)	$Q_{23}$ = (1 9 8)(2 6 3)(4 5 12)(7 11 10)
$M_{24}=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}\\ \frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right]$	$P_{24}$ = (1 2 5 3 4)	$Q_{24}$ = (1 10 5 4 11)(2 8 9 3 12)
$M_{25}=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}\\ -\frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }\end{array}\right]$	$P_{25}$ = (1 3 2)	$Q_{25}$ = (1 6 11)(2 9 5)(3 12 7)(4 8 10)
$M_{26}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }\\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}\\ \frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right]$	$P_{26}$ = (1 3 4 5 2)	$Q_{26}$ = (2 5 7 4 3)(6 9 11 10 8)
$M_{27}=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}\\ -\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }\\ -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}\end{array}\right]$	$P_{27}$ = (1 3 5 4 2)	$Q_{27}$ = (1 10 3 7 8)(2 11 6 5 12)
$M_{28}=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}\\ -\frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}\\ \frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }\end{array}\right]$	$P_{28}$ = (1 3)(4 5)	$Q_{28}$ = (1 7)(2 10)(3 11)(4 5)(6 12)(8 9)
$M_{29}=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}\\ -\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }\\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}\end{array}\right]$	$P_{29}$ = (1 3 4)	$Q_{29}$ = (1 9 10)(2 12 4)(3 6 8)(5 11 7)
$M_{30}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }\\ -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}\\ \frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right]$	$P_{30}$ = (1 3 5)	$Q_{30}$ = (1 3 4)(2 8 7)(5 6 10)(9 12 11)
$M_{31}=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}\\ -\frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right]$	$P_{31}$ = (1 3)(2 4)	$Q_{31}$ = (1 12)(2 6)(3 9)(4 11)(5 8)(7 10)
$M_{32}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}\\ \frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}\end{array}\right]$	$P_{32}$ = (1 3 2 4 5)	$Q_{32}$ = (1 4 10 11 5)(2 3 8 12 9)
$M_{33}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}\\ \frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}\\ -\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }\end{array}\right]$	$P_{33}$ = (1 3 5 2 4)	$Q_{33}$ = (1 5 9 6 3)(4 7 11 12 8)
$M_{34}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}\end{array}\right]$	$P_{34}$ = (1 3)(2 5)	$Q_{34}$ = (1 2)(3 5)(4 9)(6 7)(8 11)(10 12)
$M_{35}=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}\\ -\frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right]$	$P_{35}$ = (1 3 2 5 4)	$Q_{35}$ = (1 11 2 7 9)(3 10 6 4 12)
$M_{36}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}\\ \frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}\\ -\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }\end{array}\right]$	$P_{36}$ = (1 3 4 2 5)	$Q_{36}$ = (1 8 2 4 6)(5 10 9 7 12)
$M_{37}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }\\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}\\ -\frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right]$	$P_{37}$ = (1 4 5 3 2)	$Q_{37}$ = (1 2 6 8 4)(5 9 12 10 7)
$M_{38}=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 0& 0& -1\\ 1& 0& 0\end{array}\right]$	$P_{38}$ = (1 4 2)	$Q_{38}$ = (1 4 7)(2 8 11)(3 10 5)(6 12 9)
$M_{39}=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }\\ -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}\\ -\frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right]$	$P_{39}$ = (1 4 3 5 2)	$Q_{39}$ = (1 11 4 5 10)(2 12 3 9 8)
$M_{40}=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}\\ \frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }\\ -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}\end{array}\right]$	$P_{40}$ = (1 4 3)	$Q_{40}$ = (1 10 9)(2 4 12)(3 8 6)(5 7 11)
$M_{41}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$	$P_{41}$ = (1 4 5)	$Q_{41}$ = (1 5 2)(3 7 9)(4 11 6)(8 10 12)
$M_{42}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}\\ \frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }\\ -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}\end{array}\right]$	$P_{42}$ = (1 4)(3 5)	$Q_{42}$ = (1 6)(2 3)(4 9)(5 8)(7 12)(10 11)
$M_{43}=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }\\ -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}\\ \frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right]$	$P_{43}$ = (1 4 5 2 3)	$Q_{43}$ = (1 9 7 2 11)(3 12 4 6 10)
$M_{44}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}\\ -\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }\\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}\end{array}\right]$	$P_{44}$ = (1 4)(2 3)	$Q_{44}$ = (1 8)(2 10)(3 4)(5 12)(6 7)(9 11)
$M_{45}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}\\ -\frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }\end{array}\right]$	$P_{45}$ = (1 4 2 3 5)	$Q_{45}$ = (2 7 3 5 4)(6 11 8 9 10)
$M_{46}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}\\ \frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }\end{array}\right]$	$P_{46}$ = (1 4 2 5 3)	$Q_{46}$ = (1 3 6 9 5)(4 8 12 11 7)
$M_{47}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}\\ -\frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}\\ -\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }\end{array}\right]$	$P_{47}$ = (1 4 3 2 5)	$Q_{47}$ = (1 7 10 8 3)(2 5 11 12 6)
$M_{48}=\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right]$	$P_{48}$ = (1 4)(2 5)	$Q_{48}$ = (1 12)(2 9)(3 11)(4 10)(5 6)(7 8)
$M_{49}=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }\\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}\end{array}\right]$	$P_{49}$ = (1 5 4 3 2)	$Q_{49}$ = (1 9 3 5 6)(4 11 8 7 12)
$M_{50}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& -1\\ 1& 0& 0\\ 0& -1& 0\end{array}\right]$	$P_{50}$ = (1 5 2)	$Q_{50}$ = (1 8 9)(2 3 6)(4 12 5)(7 10 11)
$M_{51}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }\\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}\end{array}\right]$	$P_{51}$ = (1 5 3 4 2)	$Q_{51}$ = (1 7 11 9 2)(3 4 10 12 6)
$M_{52}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }\\ -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}\\ -\frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right]$	$P_{52}$ = (1 5 3)	$Q_{52}$ = (1 4 3)(2 7 8)(5 10 6)(9 11 12)
$M_{53}=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right]$	$P_{53}$ = (1 5 4)	$Q_{53}$ = (1 2 5)(3 9 7)(4 6 11)(8 12 10)
$M_{54}=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }\\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}\\ -\frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right]$	$P_{54}$ = (1 5)(3 4)	$Q_{54}$ = (1 12)(2 11)(3 10)(4 8)(5 9)(6 7)
$M_{55}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}\\ -\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }\\ -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}\end{array}\right]$	$P_{55}$ = (1 5 4 2 3)	$Q_{55}$ = (1 5 11 10 4)(2 9 12 8 3)
$M_{56}=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }\\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}\\ \frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right]$	$P_{56}$ = (1 5)(2 3)	$Q_{56}$ = (1 10)(2 12)(3 11)(4 7)(5 8)(6 9)
$M_{57}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}\\ -\frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}\\ \frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }\end{array}\right]$	$P_{57}$ = (1 5 2 3 4)	$Q_{57}$ = (1 3 8 10 7)(2 6 12 11 5)
$M_{58}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}\\ -\frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}\\ -\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }\end{array}\right]$	$P_{58}$ = (1 5 2 4 3)	$Q_{58}$ = (1 6 4 2 8)(5 12 7 9 10)
$M_{59}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }& \frac{\varphi }{2}\\ \frac{1}{2\varphi }& -\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2}\\ \frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}& -\frac{1}{2\varphi }\end{array}\right]$	$P_{59}$ = (1 5 3 2 4)	$Q_{59}$ = (2 4 5 3 7)(6 10 9 8 11)
$M_{60}=\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$	$P_{60}$ = (1 5)(2 4)	$Q_{60}$ = (1 11)(2 10)(3 12)(4 9)(5 7)(6 8)

Grups comunament confosos

Els següents grups tenen tots l'orde 120, pero no són isomorfos:

• S₅, el grup simètric en 5 elements
• I_h , el grup icosaédrico complet (tema d'este artícul, també conegut com a H₃)
• 2I, el grup icosaédrico binario

Corresponen a les següents successions exactes curtes (l'última de les quals no es dividix) i productes

$1\to A_5\to S_5\to Z_2\to 1$

$I_h=A_5\times Z_2$

$1\to Z_2\to 2I\to A_5\to 1$

Expressat per mig de paraules,

• $A_5$ és un subgrup normal de $S_5$
• $A_5$ és un factor de $I_h$, que és un producte directe
• $A_5$ és un grup cocient de $2I$

Tinga's en conte que $A_5$ té una representació tridimensional irreducible excepcional(com el grup de rotació icosaédrico), pero $S_5$ no té una representació tridimensional irreducible, corresponent al grup icosaédrico complet que no és el grup simètric.

Estos elements també poden relacionar-se en grups llineals sobre el cos finit en cinc elements, que exhibixen els subgrups i els grups de recobriment directament; cap d'estos és el grup icosaédrico complet:

• $A_5\cong \mathrm{PSL}(2,5),$ el grup llineal proyectivo, consulte's ací per a vore una demostració;
• $S_5\cong \mathrm{PGL}(2,5),$ el grup llineal proyectivo;
• $2I\cong \mathrm{SL}(2,5),$ el grup llineal especial.

Classes conjugades

Les 120 simetria es dividixen en 10 classes de conjugació:

Conjugats

I

Classes adicionals de Ih

Identitat, orde 1 12 × rotacions de ±72°, orde 5, al voltant dels 6 eixos a través dels centres de les cares del dodecaedre 12 × rotacions de ± 144°, orde 5, al voltant dels 6 eixos a través dels centres de les cares del dodecaedre 20 × rotacions de ± 120°, orde 3, al voltant dels 10 eixos a través dels vèrtiços del dodecaedre 15 × rotacions de 180°, orde 2, al voltant dels 15 eixos a través dels punts mijos de les arestes del dodecaedre

Inversió central, orde 2 12 × rotorreflexiones de ± 36°, orde 10, al voltant dels 6 eixos a través dels centres de les cares del dodecaedre 12 × rotorreflexiones de ± 108°, orde 10, al voltant dels 6 eixos a través dels centres de les cares del dodecaedre 20 × rotorreflexiones de ± 60°, orde 6, al voltant dels 10 eixos a través dels vèrtiços del dodecaedre 15 × reflexions, orde 2, en 15 plans a través de les arestes del dodecaedre

Subgrups del grup complet de simetria icosaédrica

Relacions de subgrups

Relacions de subgrups quirales

Cada llínea de la següent taula representa una classe de subgrups conjugats (és dir, geomètricament equivalents). La columna "Mult." (multiplicitat) dona el número de subgrups diferents en la classe de conjugació.

Explicació de colors: vert = els grups que són generats per reflexió, roig = els grups quirales (que conserven l'orientació), que contenen solament rotacions.

Els grups es descriuen geomètricament en térmens del dodecaedre. L'abreviatura "m.v.i. (aresta)" significa "mig regrés intercanviant esta vora en la seua vora oposta", i de manera similar per a "cara" i "vèrtiç".

Schön.	Coxeter		Orb.	H-M	Etructura	Cic.	Orde	Índex	Mult.	Descripció
Ih	[5,3]	Plantilla:DCD	*532	532/m	A5×Z2		120	1	1	Grup complet
D2h	[2,2]	Plantilla:DCD	*222	mmm	D4×D2=D23		8	15	5	Determinant dos vores opostes, possiblement intercanviant-los
C5v	[5]	Plantilla:DCD	*55	5m	D10		10	12	6	Fixant una cara
C3v	[3]	Plantilla:DCD	*33	3m	D6=S3		6	20	10	Fixant un vèrtiç
C2v	[2]	Plantilla:DCD	*22	2mm	D4=D22		4	30	15	Fixant una aresta
Cs	[ ]	Plantilla:DCD	*	2 or m	D2		2	60	15	Reflexió intercanviant dos punts finals d'una aresta
Th	[3+,4]	Plantilla:DCD	3*2	m3	A4×Z2		24	5	5	Grup piritoédrico
D5d	[2+,10]	Plantilla:DCD	2*5	10m2	D20=Z2×D10		20	6	6	Fixant dos cares opostes, possiblement intercanviant-les
D3d	[2+,6]	Plantilla:DCD	2*3	3m	D12=Z2×D6		12	10	10	Fixant dos vèrtiços oposts, possiblement intercanviant-los
D1d = C2h	[2+,2]	Plantilla:DCD	2*	2/m	D4=Z2×D2		4	30	15	Mig regrés al voltant del punt mig de la vora, més inversió central
S10	[2+,10+]	Plantilla:DCD	5×	5	Z10=Z2×Z5		10	12	6	Rotacions d'una cara, més inversió central
S6	[2+,6+]	Plantilla:DCD	3×	3	Z6=Z2×Z3		6	20	10	Rotacions al voltant d'un vèrtiç, més inversió central
S2	[2+,2+]	Plantilla:DCD	×	1	Z2		2	60	1	Inversió central
I	[5,3]+	Plantilla:DCD	532	532	A5		60	2	1	Totes les rotacions
T	[3,3]+	Plantilla:DCD	332	332	A4		12	10	5	Rotacions d'un tetraedre contingut
D5	[2,5]+	Plantilla:DCD	522	522	D10		10	12	6	Rotacions al voltant del centre d'una cara i m.v.i. (cara)
D3	[2,3]+	Plantilla:DCD	322	322	D6=S3		6	20	10	Rotacions al voltant d'un vèrtiç i m.v.i.(vèrtiç)
D2	[2,2]+	Plantilla:DCD	222	222	D4=Z22		4	30	15	Mig regrés al voltant del punt mig d'una aresta, i m.v.i.(aresta)
C5	[5]+	Plantilla:DCD	55	5	Z5		5	24	6	Rotacions al voltant d'un centre de cara
C3	[3]+	Plantilla:DCD	33	3	Z3=A3		3	40	10	Rotacions al voltant d'un vèrtiç
C2	[2]+	Plantilla:DCD	22	2	Z2		2	60	15	Mig regrés al voltant del punt mig de l'aresta
C1	[ ]+	Plantilla:DCD	11	1	Z1		1	120	1	Grup trivial

Estabilisadors de vèrtiços

Els estabilisadors d'un parell de vèrtiços oposts poden interpretar-se com a estabilisadors de l'eix que generen.

• Els estabilisadors de vèrtiç en I produïxen grup cíclicos C₃
• Els estabilisadors de vèrtiç en I_h produïxen grups diedros D₃
• Els estabilisadors d'un parell opost de vèrtiços en I produïxen grups diédricos D₃
• Els estabilisadors d'un parell opost de vèrtiços en I_h produïxen $D_3\times \pm 1$

Estabilisadors d'arestes

Els estabilisadors d'un parell opost d'arestes es poden interpretar com a estabilisadors del rectàngul que generen.

• Els estabilisadors d'arestes en I generen grups cíclicos Z₂
• Els estabilisadors d'arestes en I_h generen grups de Klein $Z_2\times Z_2$

• Els estabilisadors d'un parell d'arestes en I generen grups de Klein $Z_2\times Z_2$; hi ha 5 d'estos, donats per rotació de 180° en 3 eixos perpendiculars.
• Els estabilisadors d'un parell d'arestes en I_h generen $Z_2\times Z_2\times Z_2$; hi ha 5 d'estos, donats per reflexions en 3 eixos perpendiculars.

Estabilisadors de cares

Els estabilisadors d'un parell de cares opostes poden interpretar-se com a estabilisadors del antiprisma que generen.

• Els estabilisadors de cares en I donen grups cíclicos C₅
• Els estabilisadors de cares en I_h donen grups diédricos D₅
• Els estabilisadors d'un parell opost de cares en I donen grups diédricos D₅
• Els estabilisadors d'un parell opost de cares en I_h donen $D_5\times \pm 1$

Estabilisadors de poliedres

Per a cada u d'ells, hi ha 5 còpies conjugades, i l'acció de conjugació dona una aplicació, de fet un isomorfisme, $I\stackrel{\sim }{\to }{A}_5<S_5$.

• Els estabilisadors dels tetraedres inscrits en I són una còpia de T
• Els estabilisadors dels tetraedres inscrits en I_h també són una còpia de T
• Els estabilisadors de les gavetes inscrites (o el parell opost de tetraedres o octaedres) en I iguamente són una còpia de T
• Els estabilisadors de les gavetes inscrites (o el parell opost de tetraedres o octaedres) en I_h són una còpia de T_h

Generadors del grup de Coxeter

El grup complet de simetria icosaédrica [5,3] (Plantilla:DCD) d'orde 120 té generadors representats per les matrius de reflexió R₀, R₁, R₂ que figuren a continuació, en relacions R₀² = R₁² = R₂² = (R₀ × R₁) ⁵ = (R₁ × R₂) ³ = (R₀ × R₂) ² = Identitat. El grup [5,3] ⁺ (Plantilla:DCD) d'orde 60 es genera per mig de dos rotacions qualssevol S_0,1, S_1,2, S_0,2. Un rotació impròpia d'orde 10 és generada per V_0,1,2, el producte dels 3 reflexos. Ací $\varphi =\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ denota el número àureu.

[5,3], Plantilla:DCD

	Reflexions			Rotacions			Rotoreflexiones
Nom	R0	R1	R2	S0,1	S1,2	S0,2	V0,1,2
Grup	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD
Orde	2	2	2	5	3	2	10
Matriu	$\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{ccc}\frac{1-\varphi }{2}& \frac{-\varphi }{2}& \frac{-1}{2}\\ \frac{-\varphi }{2}& \frac{1}{2}& \frac{1-\varphi }{2}\\ \frac{-1}{2}& \frac{1-\varphi }{2}& \frac{\varphi }{2}\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{ccc}\frac{\varphi -1}{2}& \frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{-\varphi }{2}& \frac{1}{2}& \frac{1-\varphi }{2}\\ \frac{-1}{2}& \frac{1-\varphi }{2}& \frac{\varphi }{2}\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{ccc}\frac{1-\varphi }{2}& \frac{\varphi }{2}& \frac{-1}{2}\\ \frac{-\varphi }{2}& \frac{-1}{2}& \frac{1-\varphi }{2}\\ \frac{-1}{2}& \frac{\varphi -1}{2}& \frac{\varphi }{2}\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{ccc}\frac{\varphi -1}{2}& \frac{-\varphi }{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{-\varphi }{2}& \frac{-1}{2}& \frac{1-\varphi }{2}\\ \frac{-1}{2}& \frac{\varphi -1}{2}& \frac{\varphi }{2}\end{array}\right]$
	(1,0,0)n	$(\begin{array}{c}\frac{\varphi }{2},\frac{1}{2},\frac{\varphi -1}{2}\end{array})$n	(0,1,0)n	$(0,-1,\varphi )$axis	$(1-\varphi ,0,\varphi )$axis	$(0,0,1)$axis

Vore també

• Simetria tetraèdrica
• Simetria octaèdrica
• Grup icosaédrico binario
• Càlcul icosiano

Bibliografia

• Klein, F. (1878). “Ueber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen” [On the order-seven transformation of elliptic functions]. Mathematische Annalen 14 (3): 428–471. doi:10.1007/BF01677143. Traduït a el (1999) The Eightfold Way, Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66066-2.

• (1888).«Lectures on the Icosahedron and the Solution of Equations of the Fifth Degree».Trübner & Co..
• Peter R. Cromwell, "Poliedres" (1997), pág. 296
• Les simetria de les coses 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5
• Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter , editat per F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Àsia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 WileyCDA / WileyTitle / productCd-0471010030.html
• N.W. Johnson: Geometria i Transformacions , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Capítul 11: Grups de simetria finita , 11.5 Grups esfèrics de Coxeter