Notació de Schoenflies

Archiu:Pentagonal bipyramid transparent.svg

Una bipirámide pentagonal i la notació de Schoenflies que definix la seua simetria: D_5h (un eix de simetria quíntuple vertical, i un pla de simetria horisontal equidistant dels dos vèrtiços)

La notació de Schoenflies (o també de Schönflies), cridada aixina pel matemàtic alemà Arthur Moritz Schönflies (1853-1928), és un sistema d'anotació utilisat principalment per a especificar grups de punts en tres dimensions. Degut a que un grup de punts per sí solament és completament adequat per a descriure la simetria d'una molècula, la notació sol ser suficient i s'usa comunament en espectroscòpia. No obstant, en cristalografia, hi ha simetria traslacional adicional, i els grups de punts no són suficients per a descriure la simetria completa dels cristals, per lo que generalment s'usa el grup espacial complet en el seu lloc. La denominació de grups de l'espai complet sol seguir una atra convenció comuna, la notació de Hermann-Mauguin, també coneguda com a notació internacional.^[1]

Encara que la notació de Schoenflies sense superíndexs és una notació de grup de punts pura, opcionalment, es poden agregar superíndexs per a especificar encara més els grups d'espais individuals. No obstant, per als grups espacials, la conexió en els elements de simetria subjacents és molt més clara en la notació de Hermann-Mauguin, per lo que generalment es preferix esta última notació per als grups espacials.

Elements de simetria

Els elements de simetria es denoten en i per als centres d'inversió, C per als eixos de rotació propis, σ per als plans de l'espill i S per a la els eixos de rotació impròpia (rotorreflexión). C i S solen anar seguits d'un número de subíndex (denominat de forma abstracta com a n) que indica l'orde de rotació possible.

Per convenció, l'eix de rotació pròpia de major orde es definix com l'eix principal. Tots els demés elements de simetria es descriuen en relació en ell. Un pla d'espill vertical (que conté l'eix principal) es denota com σ_v; un pla d'espill horisontal (perpendicular a l'eix principal) es denota com σ_h.

Grups de punts

Artícul principal → Grups de punts en tres dimensions.

Vore també: Simetria molecular

En tres dimensions, hi ha un número infinit de grups de punts, pero tots ells es poden classificar en vàries famílies.

C_n (per cíclico) té un eix de rotació de multiplicitat n.
- C_nh és C_n en l'adició d'un pla d'espill (reflexió) perpendicular a l'eix de rotació (pla horisontal).
- C_nv és C_n en l'adició de n plans de simetria que contenen l'eix de rotació (plans verticals).
C_s denota un grup en solament un pla d'espill (per Spiegel, espill en alemà) i cap atre element de simetria.
S_2n (també per Spiegel, la paraula en alemà para espill) conté solament una rotorreflexión de multiplicitat 2n. L'índex deu ser parell perque quan n és impar, un eix de rotorreflexión de multiplicitat n és equivalent a una combinació d'un eix de rotació de multiplicitatn i un pla perpendicular, per lo tant S_n = C_nh per a n impar.

C_ni solament té un eix de rotoinversion. Esta notació rara volta s'usa perque qualsevol eix de rotoinversión es pot expressar com un eix de rotació-reflexió: Per a n impar, C_ni = S_2n i C_2ni = S_n = C_nh, i per a inclús n, C_2ni = S_2n. Solament s'usa comunament la notació C_i (que significa C_1i), i algunes fonts escriuen C_3i, C_5i, etc.
D_n (per diédrico, o de dos costats) té un eix de rotació de multiplicitat n més n eixos dobles perpendicular a eixe eix.
- D_nh té, ademés, un pla d'espill horisontal i, en conseqüència, també n plans d'espill verticals, cada u dels quals conté l'eix de multiplicitat n i a un dels eixos de doble simetria.
- D_nd té, ademés dels elements de D_n, n plans verticals d'espill que passen entre dos eixos (plans diagonals).
T (el grup tetraèdric quiral) té els eixos de rotació d'un tetraedre (tres eixos dobles i quatre eixos triples).
- T_d inclou plans d'espill diagonals (cada pla diagonal conté solament un eix doble i pansa entre atres dos eixos dobles, com en D_2d). Esta adició de plans diagonals dona com a resultat tres operacions de rotació impròpies S₄.
- T_h inclou tres plans d'espill horisontals. Cada pla conté dos eixos dobles i és perpendicular al tercer eix doble, lo que dona com resultat el centre d'inversió i.
O (el grup octaèdric quiral) té els eixos de rotació d'un octaedre o un gaveta (tres eixos cuádruples, quatre eixos triples i sis eixos diagonals dobles).
- O_h inclou plans d'espill horisontals i, en conseqüència, plans d'espill verticals. Conté també centre d'inversió i operacions de rotació impròpia.
I (el grup icosaédrico quiral) indica que el grup té els eixos de rotació d'un icosaedre o un dodecaedre (sis eixos quíntuples, dèu eixos triples i 15 eixos dobles).
- I_h inclou plans d'espill horisontals i també conté operacions de centre d'inversió i rotació impròpia.

Tots els grups que no contenen més d'un eix d'orde superior (orde 3 o més) es poden organisar com es mostra en la taula que figura a continuació. Els símbols en roig rara volta s'utilisen:

	n= 1	2	3	4	5	6	7	8	...	∞
C_n	C₁	C₂	C₃	C₄	C₅	C₆	C₇	C₈	Plantilla:Center	C_∞
C_nv	C_1v= C_1h	C_2v	C_3v	C_4v	C_5v	C_6v	C_7v	C_8v	Plantilla:Center	C_∞v
C_nh	C_1h= C_s	C_2h	C_3h	C_4h	C_5h	C_6h	C_7h	C_8h	Plantilla:Center	C_∞h
S_n	S₁= C_s	S₂= C_i	S₃= C_3h	S₄	S₅= C_5h	S₆	S₇= C_7h	S₈	Plantilla:Center	S_∞= C_∞h
C_ni (redundante)	C_1i= C_i	C_2i= C_s	C_3i= S₆	C_4i= S₄	C_5i= S₁₀	C_6i= C_3h	C_7i= S₁₄	C_8i= S₈	Plantilla:Center	C_∞i= C_∞h
D_n	D₁= C₂	D₂	D₃	D₄	D₅	D₆	D₇	D₈	Plantilla:Center	D_∞
D_nh	D_1h= C_2v	D_2h	D_3h	D_4h	D_5h	D_6h	D_7h	D_8h	Plantilla:Center	D_∞h
D_nd	D_1d= C_2h	D_2d	D_3d	D_4d	D_5d	D_6d	D_7d	D_8d	Plantilla:Center	D_∞d= D_∞h

En cristalografia, pel teorema de restricció cristalográfica, n està restringit als valors d'1, 2, 3, 4 o 6. Els grups no cristalográficos es mostren en fondos grisos. D_4d i D_6d també estan prohibits perque contenen rotorreflexión en n = 8 i 12 respectivament. Els 27 grups de punts de la taula més T, T_d, T_h, O i O_h constituïxen els 32 grups de punts cristalográficos.

Els grups en n = ∞ es denominen grups llímit o grups de punts en tres dimensions. Hi ha dos grups llímit més, que no figuren en la taula: K (per la paraula alemana Kugel per a bola o esfera), el grup de totes les rotacions en l'espai tridimensional; i K_h, el grup de totes les rotacions i reflexions. En matemàtiques i física teòrica es coneixen respectivament com a grup ortogonal especial i grup ortogonal en l'espai tridimensional, en els símbols SO(3) i O(3).

Referències

↑ Istvan Hargittai, Magdolna Hargittai (2007). Symmetry through the Eyes of a Chemist, Springer Science & Business Media, pp. 101 de 469. ISBN 9780585312347.

Este artícul conté una traducció derivada de «Notación de Schoenflies» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[IHMH-1] Istvan Hargittai, Magdolna Hargittai (2007). Symmetry through the Eyes of a Chemist, Springer Science & Business Media, pp. 101 de 469. ISBN 9780585312347.

[1]