Teorema de restricció cristalográfica

La teorema de restricció cristalográfica, en la seua forma bàsica, es basa en l'observació de que les simetrias rotacionales d'un cristal es llimiten generalment als órdens 2, 3, 4 i 6. No obstant, en els cuasicristalés es poden presentar atres simetria, com la d'orde 5, les quals no varen ser descobertes fins a 1984 pel premi Nobel de Química 2011, Donen Shechtman.

Abans del descobriment dels cuasicristales, els cristals es modelaven com rets discretes de punts, que es podien generar per una seqüència finita de translacions independents Plantilla:Harv. La naturalea discreta dels punts de la ret requerix que les distàncies entre dits punts tinguen un llímit inferior, i per tant, el grup de les simetria de rotació de la ret en qualsevol punt deu ser un grup finito. La força de la teorema radica que no tots els grups finitos són compatibles en una ret discreta. Per això, en qualsevol dimensió, anem a tindre solament un número finito de grups compatibles.

Casos bidimensional i tridimensional

Els casos especials dels grups plans 2D i els (grups espacials 3D són els més utilisats en les aplicacions, i es poden tractar junts.

Demostració geomètrica en la ret

Una simetria rotacional en la dimensió 2 o 3 deu moure un punt de la ret a una successió d'atres punts distints d'eixa ret pertanyents al mateix pla, generant un polígon regular de punts coplanares de la ret. Ara centrarem la nostra atenció en el pla en que actua la simetria.

Archiu:Crystallographic restriction polygons.png

Polígons restringits en ret.
 Compatible: orde 6 (orde 3), orde 4 (orde 2)
 Incompatible: orde 8, orde 5

Considerem ara una rotació d'orde 8, i els vectores de desplaçament entre els punts adjacents del polígon. Si existix un desplaçament entre dos punts de la ret, llavors eixe mateix desplaçament es repetix en tots els llocs en la ret. Un vector de translació deu deixar invariante la ret durant l'eixecució de dita translació. Si existix un vector de translació entre dos nodos de la ret, este vector deu estar present en tota la ret. Per tant, es pot situar l'orige de tots els vectores corresponents als costats del polígon en un mateix punt de la ret. Estos vectores es convertixen aixina en vectores radials i la simetria d'orde 8 requerix la presència d'un octógono regular de punts al voltant del centre de gravetat. No obstant, açò és impossible, perque el tamany del nou polígon és aproximadament de solament el 80% del tamany del polígon inicial. La reducció del tamany del polígon per aplicacions successives d'este procediment és illimitada: la mateixa estructura es pot repetir en l'octògon nou i aixina successivament fins que la distància entre dos punts es convertix en infinitesimal. Per lo tant, no hi ha una ret que puga tindre una simetria rotacional discreta d'orde 8. El mateix argument s'aplica a la rotació d'orde k en k> 6.

Una argument similar de disminució també elimina la simetria d'orde 5. Considerem un pentàgon regular de punts de la ret. Si existix, llavors podem prendre tots els desplaçaments entre punts de la ret i reunir-los (unint cap en coa) fins a formar una estrela de 5 puntes, en l'extrem de l'últim vector unit al punt de partida. Els vèrtiços d'eixa estrela són aixina mateix els vèrtiços d'un nou pentàgon regular en simetria d'orde 5, pero aproximadament un 60% més menuda que l'original.

Aixina queda demostrat la teorema.

L'existència de cuasicristales i mosaics de Penrose demostren que és necessari admetre una translació llineal com a necessària. Els mosaics de Penrose poden tindre simetria de rotació d'orde 5 i una ret discreta, i qualsevol regió local de l'emmanisat es repetix infinitament, pero no hi ha translació llineal de l'emmanisat en el seu conjunt. I sense supondre que la ret és discreta, no solament falla la construcció anterior fins a aplegar a una contradicció, sino que produïx un contraeixemple (ret no discreta). Aixina, la simetria de rotació d'orde 5 no pot ser eliminada per un argument en el que falten qualsevol d'estos supòsits. Un emmanisat de Penrose del pla complet (infinit) solament pot tindre simetria exacta de rotació d'orde 5 (de l'emmanisat complet) al voltant d'un sol punt. No obstant, en les rets d'orde 4 i 6 existixen infinits punts que actuen com a centres de simetria rotacional.

Demostració trigonométrica

Considerem dos punts de la ret A i B separats per un vector translació r. Considerem un àngul θ tal que una rotació d'àngul θ sobre qualsevol punt de la ret és una simetria de la ret. Gira al voltant del punt B un àngul θ fa que A apunt al nou punt A'. De la mateixa manera, girant al voltant del punt A un àngul θ, en la direcció oposta, fa que B apunte a un nou punt B'. Ya que abdós rotacions són operacions de simetria, els punts A' i B' deuen ser també punts de la ret. Per la periodicitat del cristal, el nou vector r' que conecta A' en B' deu ser igual a un múltiple sancer de r:

${𝒓}^{\prime }=m𝒓$

Els quatre vectores translació (dels quals tres estan donades per r, i un que conecta A' i B' donat per r') formen un paralelogramo . Per això, la llongitut de r' ve també donada per:

$r^{\prime }=2r\cos \theta -r$

Combinant les dos equacions, tenim que:

$\cos \theta =\frac{m+1}{2}=\frac{M}{2}$

a on $M=m+1$ és també un sancer. Considerant que $|\cos \theta |\le 1$ es deduïx que $M\in \{-2,-1,0,1,2\}$. Es pot demostrar que els únics valors de θ en el ranc de 0° a 180° que satisfan les tres equacions anteriors són 0°, 60°, 90°, 120° i 180°. En térmens de radianes, les úniques rotacions consistents en la periodicitat de la ret vénen donades per 2π/n a on $n\in \{1,2,3,4,6\}$. Açò correspon a les simetria d'orde 1, 2, 3, 4 i 6, respectivament, i per tant queden excloses les simetria d'orde 5 i superiors a 6 voltes.

Vore també

• Grup puntual cristalográfico
• Cristalografia

Formulació en térmens d'isometría

La teorema de restricció cristalográfica pot ser formulat en térmens d'isometrías del espai euclidiano. Un conjunt d'isometría pot formar un grup. Per grup d'isometría discret es designa a un grup d'isometría que associa cada punt a un subconjunt discret de R ^N, és dir, un conjunt de punt aïllats. En esta terminologia, la teorema de restricció cristalográfica en dos i tres dimensions es pot formular de la següent manera.

Per a tots els grups d'isometría discrets en espais de dos i tres dimensions que incloguen translacions que cobrixen tot l'espai, totes les isometría d'orde finito són d'orde 1, 2, 3, 4 o 6.

Tinga's en conte que les isometría d'orde n inclouen, pero no estan solament restringides, a les rotacions d'orde n. La teorema també exclou els grups S₈, S₁₂, D_4d, i D_6d(vore grups puntuals tridimensionals), encara que solament hi haja simetria rotacional d'orde 4 i 6.