Grup espacial

En matemàtiques i física, un grup espacial és el grup simètric d'una configuració en l'espai, generalment en tres dimensions. En tres dimensions, existixen 219 tipos distints, o be 230 si es consideren distintes les còpies quirales. Els grups espacials estudiats en més de 3 dimensions es denominen Grups de Bieberbach, (per Ludwig Bieberbach) i són grups discrets compactes d'isometría d'un espai euclídeo orientat. En cristalografia, els grups espacials també se solen denominar grups de Fedorov o cristalográficos, i representen la descripció de la simetria del cristal. Una font bibliogràfica representativa dels grups espacials tridimensionals és el International Tables for Crystallography (Hann (2002)).

Història

Els grups espacials en 2 dimensions són 17 grups de simetria plana els quals es coneixen des de fa sigles encara que la prova de que la llista estava completa no es va donar fins a 1891, en acabant de que s'hagueren considerat casos més complexos de grups espacials.

En 1879 Leonhard Sohncke va enumerar els 65 grups espacials (en ocasions cridats Grups espacials de Sohncke o Grups espacials quirales) els elements dels quals preservaven l'orientació. Més detalladament, va llistar 66 grups, pero Yevgraf Stepánovich Fiódorov i Arthur Moritz Schönflies varen advertir que en realitat dos d'ells eren el mateix. Els grups espacials en 3 dimensions varen ser enumerats per primera volta per Fiódorov (1891) (la llista de les quals tenia dos omissions (IPlantilla:Overline3d i Fdd2) i una duplicació (Fmm2)), i poc despuix varen ser enumerats de forma independent per Schönflies (1891) (la llista de la qual tenia quatre omissions (IPlantilla:Overline3d, Pc, Cc, ?) i una duplicació (PPlantilla:Overline2₁m)). La llista correcta dels 230 grups espacials va ser descoberta en 1892 durant la correspondència entre Fiódorov i Schönflies. Més vesprada William Barlow (1894) va enumerar els grups en un método diferent, pero va ometre quatre grups (Fdd2, IPlantilla:Overline2d, PPlantilla:Overline2₁d, yPPlantilla:Overline2₁c) inclús quan ya tenia la llista correcta dels 230 grups creada per Fiódorov i Schönflies.

Burckhardt (1967) descriu en detalle l'història del descobriment dels grups espacials.

Elements d'un grup espacial

Els grups espacials en tres dimensions estan formats per combinacions dels 32 grups puntuals cristalográficos en les 14 rets de Bravais, i cada una d'estes pertany a un dels 7 sistemes de rets. Este resultat esprem que cada grup espacial és una combinació de la simetria de translació d'una cela unitària incloent el centre de rets, les operacions de simetria del grup de punts de reflexió, rotació i/o rotació impròpia (també cridada rotoreflexión), i l'eix helicoidal i el pla d'esmonyida d'operacions simètriques. La combinació de totes estes operacions de simetria donen lloc a un total de 230 grups espacials diferents que descriuen totes les possibles simetria cristalines.

Elements de fixació d'un punt

Els elements dels grups espacials que permeten fixar un punt de l'espai són rotacions, reflexions, l'element d'identitat i la rotació impròpia

Translacions

Les translacions formen un subgrup abeliano normal de ranc 3, cridat ret de Bravais. Hi ha 14 possibles tipos de rets de Bravais. El cocient entre grups espacials i la ret de Bravais dona com resultat un grup finito que serà un dels 32 possibles grups puntuals. La translació es definix com el moviment d'un punt d'un costat a un atre de la cara.

Plans d'esmonyida

Un pla d'esmonyida és una reflexió en un pla, seguida per una translació paralela en eixe mateix pla. Es denota a, b,c, depenent de l'eix d'esmonyida sobre el que es produïx. Existix també la esmonyida n, que és una esmonyida a lo llarc de la mitat de la diagonal d'una cara; i la esmonyida d, que és una esmonyida a lo llarc d'un quarto del camí de qualsevol cara o espai diagonal d'una cela unitària. Es coneix també com a pla d'esmonyida del diamant en aparéixer en l'estructura del diamant.

Eixos helicoidals

Un eix helicoidal és una rotació sobre un eix, seguida d'una translació a lo llarc de la direcció de l'eix. Es denoten en un número, n, que descriu el grau de rotació ya que és el número d'operacions que es necessita aplicar per a obtindre una rotació total. El grau de translació s'afig com a subíndex mostrant cuán llunt en l'eix es produïx la translació, com una porció del vector de ret paralel. Per eixemple, 2₁ és una rotació doble seguida d'una translació de ½ del vector de ret.

Fòrmula general

La fòrmula general per a l'acció d'un element d'un grup espacial és i = M • x + D a on M és la matriu, D és el vector, i les transformacions elementals transformen el punt x en el punt i. En general, D = D(ret) + D(M), a on D(M) és una funció única de M que es fa zero quan M és l'identitat. Les matrius M formen un grup puntual que és la base del grup espacial; la ret deu ser simètrica baixe eixe grup puntual.

La dimensió de la ret pot ser menor que la dimensió total, donant lloc a un grup espacial “subperiódico”. Para (dimensió total, dimensió de la ret):

• (1,1): grup llineal unidimensional
• (2,1): grup llineal bidimensional: frisos
• (2,2): grup de simetria plana
• (3,1): grup llineal tridimensional; en els grups puntuals cristalográficos en 3D
• (3,2): grup capa
• (3,3): grups espacials (els discutits en este artícul)