Eix helicoidal
Un eix helicoidal (eix de tornell o eix de torsió) és una llínea que és simultàneament l'eix d'un moviment de rotació i la recta segons la que es produïx la translació d'un cos. El teorema de Chasles demostra que cada desplaçament euclídeo en l'espai tridimensional té un eix axial associat, i el desplaçament es pot descompondre en una rotació entorn i en una esmonyida respecte a este eix helicoidal.[1][2]
Les coordenades plückerianas s'usen per a ubicar un eix helicoidal en l'espai, i consistixen en un parell de vectores tridimensionals. El primer vector identifica la direcció de l'eix i el segon localisa la seua posició. El cas especial, quan el primer vector és zero, s'interpreta com una translació pura en la direcció del segon vector. Un eix helicoidal està associat en cada parell de vectores en l'àlgebra d'helicoides, també coneguda com teoria torsorial.[3]
El moviment espacial d'un cos pot ser representat per un conjunt continu de desplaçaments. Degut a que cada u d'estos desplaçaments té un eix helicoidal, el moviment té una superfície reglada associada coneguda com "superfície helicoidal". Esta superfície no és lo mateix que el axoide, format per la successió d'eixos helicoidals instantàneus del moviment d'un cos. El eix helicoidal instantàneu (EHI), és l'eix del camp helicoidal generat per les velocitats de cada punt d'un cos en moviment.
Quan un desplaçament espacial es convertix en un desplaçament pla, l'eix helicoidal es convertix en el "pol de desplaçament", i l'eix helicoidal instantàneu es convertix en el pol de velocitat, o centre instantàneu de rotació, també denominat simplement centre instantàneu. El terme centre també s'usa per al pol de velocitat, i el lloc d'estos punts quan es produïx un moviment pla es denomina centroda.[4]
Història
[editar | editar còdic]La prova de que un desplaçament espacial es pot descompondre en una rotació i en una esmonyida respecte a la mateixa recta en l'espai s'atribuïx a Michel Chasles en 1830.[5] Recentment, el treball de Gulio Mozzi s'ha identificat per haver presentat un resultat similar en 1763.[6][7]
Eix de simetria helicoidal
[editar | editar còdic]
Un desplaçament helicoidal (també rototraslación, operació helicoidal o translació rotativa) és la composició d'una rotació indicada per un àngul φ sobre un eix (denominat eix helicoidal); i d'una translació a lo llarc d'una distancia d sobre este mateix eix. Un sentit de rotació positiu generalment significa que es correspon en la regla de la mà dreta sobre la direcció de translació. Llevat para φ = 180°, es deu distinguir un desplaçament helicoidal del seu image especular. A diferència de les rotacions, les operacions helicoidals a la dreta i a l'esquerra generen grups diferents.
La combinació d'una rotació al voltant d'un eix i una translació en una direcció perpendicular és una rotació al voltant d'un eix paralel. No obstant, una operació helicoidal en un vector de translació distint de zero en l'eix no es pot reduir d'eixa manera. Per lo tant, l'efecte d'una rotació combinada en una translació qualsevol és una operació helicoidal en el sentit general, en casos especials com una translació pura, una rotació pura i l'identitat. La combinació de tots estos elements forma el subgrup de les isometría en 3D directes.
És aplicable a grups espacials una rotació de 360°/n sobre un eix, combinada en una translació en l'eix per un múltiple de la distància de la simetria de la translació, dividida per n. Este múltiple està indicat per un subíndex. Per lo tant, 63 és una rotació de 60° combinada en una translació d'1/2 del vector de la retícula, lo que implica que també posseïx simetria rotacional per triplicat sobre este eix. Les possibilitats són 21, 31, 41, 42, 61, 62 i 63, i els enantiomorfos 32, 43, 64 i 65.[8]
Un eix helicoidal del grup d'isometría no discret conté totes les combinacions d'una rotació sobre algun eix i una translació proporcional en l'eix (en el disseny d'armes, la constant de proporcionalitat determina la configuració d'un ánima rayada); en general, açò es combina en isometría rotacionales de k-lòbuls sobre el mateix eix (k ≥ 1); el conjunt d'imàgens d'un punt baix les isometría és una k-doble hèliç; ademés, pot haver una rotació 2 voltes al voltant d'un eix que es interseca perpendicularment, i per lo tant una hèliç en k-lòbuls respecte a tals eixos.
Referències
[editar | editar còdic]- ↑ Bottema, O, and B. Roth, Theoretical Kinematics, Dover Publications (September 1990), link to Google books
- ↑ Hunt, K. H., Kinematic Geometry of Mechanism, Oxford University Press, 1990
- ↑ R.S. Ball, A Treatise on the Theory of Screws, Hodges, Dublin, 1876, Appendix 1, University Press, Cambridge, 1900, p. 510
- ↑ Homer D. Eckhardt, Kinematic Design of Machines and Mechanisms, McGraw-Hill (1998) p. 63 ISBN 0-07-018953-6 on-line at Google books
- ↑ M. Chasles, Note sur els Proprietes Generals du Systeme de Deux Corps Semblables entr'eux, Bullettin de Sciences Mathematiques, Astronomiques Physiques et Chimiques, Baron de Ferussac, Paris, 1830, pp. 321±326
- ↑ G. Mozzi, Discorso matematico sopra il rotamento momentaneo dei corpi, Stamperia vaig donar Donato Camp, Napoli, 1763
- ↑ M. Ceccarelli, Screw axis defined by Giulio Mozzi in 1763 and early studies on helicoidal motion, Mechanism and Machine Theory 35 (2000) 761-770
- ↑ Walter Borchardt-Ott (1995). Crystallography, Springer-Verlag. ISBN 3-540-59478-7.
- Este artícul conté una traducció derivada de «Eje helicoidal» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.