Grup d'isometría

En matemàtiques, donat un espai mètric X, el conjunt de totes les isometrías biyectivas de dit espai forma un grup denominat grup d'isometría de X, baixe l'operació de composició de funcions, que es denota per Isom(X). Donat un subconjunt de X, com per eixemple una figura geomètrica F, es definix de manera anàloga el grup d'isometría de F com el subgrup de Isom(X) format per les isometría que deixen invariante el subconjunt F.

Les isometría són transformacions que preserven les distàncias entre punts. És dir, si d(x,i) és la distància entre els punts x i i de l'espai X, una isometría de X és una funció f que satisfà la condició

$d(f(x),f(y))=d(x,y)$

per a qualsevol parell de punts arbitraris.

La composició d'isometría és a la seua volta una isometría. La funció identitat és sempre una isometría que servix com element neutre. Totes les isometría biyectivas són invertibles i les seues funcions inverses són també isometría. Per tant, formen un tipo d'estructura algebraica conegut com a grup. El grup d'isometría d'una espai X és un subgrup del grup simètric de X, que conté a totes la biyecciones, i no solament a aquelles que preserven la distància.

Algunes isometría usuals són les translacions, les rotacions i les reflexions, i també les combinacions d'estes.

Grup d'isometría de l'espai euclídeo

En l'espai euclídeo ${ℝ}^n$ podem definir vàries operacions que no alteren les distàncies. Aixina per eixemple si considerem un objecte dins de l'espai euclídeo podem transportar-ho a una atra posició i canviar la seua orientació. Aixina el grup d'isometría està format per:

• Les translacions o conjunt d'aplicacions de la forma:
• Les rotacions, que poden representar-se matemàticament el conjunt d'aplicacions de la forma: $𝐲=R𝐱$, a on $R$ és una matriu de determinant 1 que complix $R^{-1}=R^T$

A estes transformacions podem sumar-li una transformació més abstracta que no podem realisar en objectes físics reals pero sí abstractametne sobre conjunts de l'espai, formada per:

• Les reflexions i les composicions de diverses reflexions. Una reflexió pot representar-se per una matriu de determinant -1.

El conjunt de totes les rotacions i reflexions forma un subgrup molt important del grup d'isometría, cridat grup ortonormal i designat com $O(n)$. Matricialmente el grup de simetria de l'espai euclídeo ${ℝ}^n$ pot representar-se per matrius quadrades $M_{(n+1)\times (n+1)}$ del tipo:

a on $𝐑\in O(n)$, $𝐯\in {ℝ}^n$.

Subconjunt

Donat un subconjunt del espai euclídeo de dimensió n, el seu grup d'isometría $G_{iso}$ és un subgrup del grup producte format a partir del grup ortogonal i el grup de translacions:

Si el conjunt és acotat llavors es té necessàriament:

Grup d'isometría de figures geomètriques

Archiu:Dihedral4.svg

Transformacions que formen el grup diédrico D₄

Si una figura geomètrica és finita, és dir, forma un conjunt acotat de l'espai euclídeo, llavors el grup d'isometría no inclou cap translació i per tant el seu grup d'isometría és un subgrup de l'espai $O(n)$. Si la figura presenta solament un número finito de (hiper)plans de simetria llavors el grup d'isometría serà un grup finito.

Grup d'isometría d'un polígon regular

El grup d'isometría d'un polígon regular de n costats està format per n rotacions i n reflexiones, cridat grup diédrico $D_{2n}$, format per 2n elements expressables en forma matricial com:

$\left[\begin{array}{cc}\cos \left(\frac{\pi }{n}\right)& -\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)\\ \sin \left(\frac{\pi }{n}\right)& \cos \left(\frac{\pi }{n}\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}(-1{)}^{\alpha }& 0\\ 0& +1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \left(\frac{\pi }{n}\right)& -\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)\\ \sin \left(\frac{\pi }{n}\right)& \cos \left(\frac{\pi }{n}\right)\end{array}\right]$

Grup d'isometría d'un círcul

El grup d'isometría d'un círcul en existir infinits plans de simetria és precisament $O(2,ℝ)$ i qualsevol simetria d'un círcul centrat en l'orige pot ser representat per una matriu de la forma:

$M=\left[\begin{array}{cc}(-1{)}^{\beta }& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& (-1{)}^{\gamma }\end{array}\right]$

A on $\beta ,\gamma \in \{0,1\}$ i $\alpha \in [0,2\pi )\subset ℝ$.

Grup d'isometría d'un rectàngul

El grup d'isometría d'un rectàngul, que no siga un quadrat, es diu grup de Klein i està format per quatre elements: rotació de 180°, reflexió segons l'eix de simetria vertical, reflexió l'eix de simetria horisontal i l'identitat (rotació de 0º).

Vore també

• Grup puntual