Grup diédrico

Este cope de neu té la simetria diedral d'un hexàgon regular.

En matemàtiques, un grup diédrico o grup diedral és el grup de simetria d'un polígon regular, incloent tant rotacions i reflexiones. Els grups diedrales es troben entre els més simples eixemples de grups finitos, i juguen un rol important en teoria de grups, geometria, i química.

Notació

Existixen dos notacions per al grup diédrico associat a un polígon en n costats. En geometria el grup es denota com a D_n, mentres que en àlgebra el mateix grup es denota com a D_2n per a indicar el número d'elements.

En este artícul, D_n es referix a les simetria d'un polígon regular en n costats.

Definició

Elements

Archiu:Hexagon Reflections.png

Les sis simetria de reflexió d'un hexàgon regular.

Un polígon regular en n costats té 2n simetria diferents: n simetria rotacionales i n simetria de reflexió. Les rotacions i reflexions associades formen el grup diedral D_n. Si n és impar, cada eix de simetria conecta el punt mig d'un costat al vèrtiç opost. Si n és parell, hi ha n/2 eixos de simetria conectant els punts mijos de costats oposts i n/2 eixos de simetria conectant vèrtiços oposts. En cada cas, hi ha n eixos de simetria en conjunt i 2n elements en el grup de simetria. La reflexió en un eix de simetria seguida per la reflexió en atres eixos de simetria produïx una rotació de dos voltes l'àngul entre els eixos. La següent image mostra l'efecte dels setze elements de D₈ en una senyal d'alt:

Archiu:Dihedral8.png

La primera fila mostra l'efecte de les huit rotacions, i la segona fila mostra l'efecte de les huit reflexions.

Estructura del grup

Com en qualsevol objecte geomètric, la composició de dos simetria d'un polígon regular és novament una simetria. Esta operació brinda a les simetria d'un polígon l'estructura algebraica d'un grup finito.

Archiu:Labeled Triangle Reflections.svg

Archiu:Two Reflection Rotation.svg

La composició d'estes dos refexiones és una rotació.

La següent taula de Cayley mostra l'efecte de composició en el grup D₃ (les simetria d'un triàngul equilátero). R₀ denota l'identitat; R₁ i R₂ denoten rotacions en contra del sentit de les manetes del rellonge en 120 i 240 graus; i S₀, S₁, i S₂ denoten reflexions a través de les tres llínees mostrades en l'image a la dreta.

	R0	R1	R2	S0	S1	S2
R0	R0	R1	R2	S0	S1	S2
R1	R1	R2	R0	S1	S2	S0
R2	R2	R0	R1	S2	S0	S1
S0	S0	S2	S1	R0	R2	R1
S1	S1	S0	S2	R1	R0	R2
S2	S2	S1	S0	R2	R1	R0

Per eixemple, S₂S₁ = R₁ degut a que la reflexió S₁ seguida per la reflexió S₂ resulta en una rotació de 120 graus. (Este és l'orde normal cap a arrere per a la composició.) Note's que l'operació de composició no és conmutativa.

En general, el grup D_n té elements R₀,...,R_n−1 i S₀,...,S_n−1, en composició donada per les següents fòrmules:

$R_i{R}_j=R_{i+j},R_i{S}_j=S_{i+j},S_i{R}_j=S_{i-j},S_i{S}_j=R_{i-j}.$

En tots els casos, l'adició i substracció de subíndexs deuria ser realisada utilisant aritmètica modular en mòdul n.

Representació matricial

Archiu:Pentagon Linear.svg

Les simetria d'este pentàgon són transformacions llineals.

Si centrem un polígon regular en l'orige de coordenades, llavors els elements del grup diedral actuen com a transformacions llineals del pla. Açò nos permet representar elements de D_n com matrius, sent la composició una multiplicació de matrius. Açò és un eixemple d'una representació de grup bidimensional.

Per eixemple, els elements del grup D₄ poden ser representats per les següents huit matrius:

$\begin{array}{cccc}{R}_0=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),& R_1=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right),& R_2=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right),& R_3=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right),\\ S_0=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right),& S_1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),& S_2=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),& S_3=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 0\end{array}\right).\end{array}$

En general, les matrius per a elements de D_n tenen la forma següent:

$\begin{array}{cc}{R}_k& =\left(\begin{array}{cc}\cos \frac{2\pi k}{n}& -\sin \frac{2\pi k}{n}\\ \sin \frac{2\pi k}{n}& \cos \frac{2\pi k}{n}\end{array}\right)\text{y}\\ S_k& =\left(\begin{array}{cc}\cos \frac{2\pi k}{n}& \sin \frac{2\pi k}{n}\\ \sin \frac{2\pi k}{n}& -\cos \frac{2\pi k}{n}\end{array}\right).\end{array}$

R_k és una matriu de rotació, que expressa una rotació en el sentit contrari a les manetes del rellonge a través d'un àngul de 2πk ⁄n. S_k és una reflexió a lo llarc d'una llínea que forma un àngul de πk ⁄ n en l'eix x.