Hexàgon

Hexàgon

Un hexàgon regular i els seus ànguls principals

En geometria plana elemental, un hexàgon és un polígon de sis costats i sis vèrtiçs. El seu nom deriva del grec ἑξάγωνον (de ἕξ, "sis" i γωνία, "àngul").

Propietats

Un hexàgon té:

• 6 vèrtiçs i costats.
• 9 diagonalés.
• La suma dels ànguls interns d'un hexàgon és 720 graus o $4\pi$ radianes.

Parhexágono

Seguint el fil d'un paralelogramo, un parhexágono o parexágono és aquell hexàgon particular, en el que un costat és igual i paralel a un costat opost, pero cada parell d'estos costats és de diferent tamany.

Proposició

Siga ABCDEF un hexàgon irregular qualsevol, s'unixen A en C; B en D; C en I; D en F; I en A; F en B. Es formen els sis triànguls ABC, BCD, CDE, DEF, EFA, FAB. En cada u d'ells es localisa el seu baricentre; que es denoten com A', B', C', D', I', F'. S'unixen successivament dits punts, l'hexàgon A'B'C'D'I'F' és un parhexágono.

Hexàgon regular

El hexàgon regular és un polígon convexo en sis costats iguals i sis ànguls iguals, sempre dividit en triànguls simètrics o asimètrics.

L'hexàgon regular té les següents propietats:

• Els seus ànguls interns són congruents medint 120° o $\frac{2\pi }{3}$ rad. Resultat de $A_i=\frac{180(6-2)}{6}$
• Cada àngul extern de l'hexàgon regular medix 60° o $\frac{\pi }{3}$ rad.
• Està íntimament relacionat en els triànguls equiláteros:
  • Unint cada vèrtiç en el seu opost, l'hexàgon regular queda dividit en sis triànguls equiláteros.
  • Numeren-se els vèrtiços d'1 a 6 en el sentit horari. Unint els vèrtiços impars s'obté un triàngul equilátero; unint els vèrtiços pares s'obté un atre.
• Ademés dels quadrats i els triànguls equiláteros, els hexàgons regulars congruents (o iguals) són els tercers polígons regulars que es poden juntar para revestir totalment una superfície plana sense deixar cap va.
• Les sis raïls sextes d'1 o els número complejo que resolen l'equació $z^6-1=0$ estan en els vèrtiços d'un hexàgon regular ubicat en el pla complex, sent el primer vèrtiç el punt (1,0).

• Un hexàgon regular és inscriptible i circunscribible en una circumferència.Atenent a la figura, $r_i$ seria el radi del círcul inscrit, $r_u$ el radi del círcul circumscrit i $a$ la llongitut d'un costat. Caben les igualtats:

$a=r_u$, la llongitut d'un costat és igual al radi del círcul circumscrit.

$r_i=\cos (30^{\circ })r_u$ , d'esta forma es relacionen els radis de les circumferències, llavors:

$r_i=\frac{\sqrt{3}}{2}{r}_u$ i podem concloure que

$a=\frac{2r_i}{\sqrt{3}}$

Per a una Hexàgon regular de círcul circumscrit i llongitut de costat $r_u=a=1$ , el radi de l'inscrita seria aproximadament $r_i\approx 0.866$

Les perpendicular traçades pels punts mijos de l'hexàgon regular i les bisectrices dels ànguls interns de l'hexàgon regular són eixos de simetria del mateix.

Perímetro

El seu perímetro és sis voltes la llongitut del seu costat.

$P=n\cdot l_n=6l_6$, a on n és el número de costats i $l_n$, la llongitut del costat.

El perímetro en funció de la #apotema ($a_p$) és

$P=4\cdot a_p\cdot \sqrt{3}$

I en funció del radi del círcul circumscrit ($r_u$) és

$P=6\cdot r_u$

Àrea

Àrea de l'hexàgon regular

Si es coneix la llongitut del #apotema a₆ del polígon, una alternativa per a calcular l'àrea és:

$A=\frac{P\cdot a_p}{2}=\frac{6l_6\cdot a_p}{2}=3l_6\cdot a_p$

o

$A=2\sqrt{3}\cdot a_p^2$

Si solament coneixem el costat l₆ podem calcular l'àrea en la següent fòrmula:

$A=l_6^2\frac{3\sqrt{3}}{2}$, que equival a les àrees de sis triànguls equiláteros que s'obtenen en unir el centre en els sis vèrtiços.

Construcció geomètrica

Un hexàgon regular pot construir-se utilisant únicament una regla i compàs:

1. Donat un punt O qualsevol, traçar una circumferència que el seu ràdio siga igual al costat de l'hexàgon a construir;
2. Elegir un punt A sobre la circumferència i traçar un diàmetro que creuament O i A. Marcar l'atre punt a on este diàmetro interseca la circumferència com a D;
3. Recolzant el compàs en el punt A, traçar un arc que creue O, tallant a la circumferència en dos punts, marcats com a B i F;
4. Recolzant el compàs en el punt D, traçar un arc que creue O, tallant a la circumferència en dos punts, marcats com a C i I

Punt en el pla

Per a un punt arbitrari en el pla d'un hexàgon regular en circunradio $R$, les distàncies del qual al centroide de l'hexàgon regular i als seus sis vèrtiços són $L$ i $d_i$ respectivament, tenim

$d_1^2+d_4^2=d_2^2+d_5^2=d_3^2+d_6^2=2(R^2+L^2),$

$d_1^2+d_3^2+d_5^2=d_2^2+d_4^2+d_6^2=3(R^2+L^2),$

$d_1^4+d_3^4+d_5^4=d_2^4+d_4^4+d_6^4=3({(R^2+L^2)}^2+2R^2{L}^2).$

Si $d_i$ són les distàncies des dels vèrtiços d'un hexàgon regular a qualsevol punt de la seua circumferència, llavors

${\left(\sum _{i=1}^6{d}_i^2\right)}^2=4\sum _{i=1}^6{d}_i^4.$

Simetria

Eixemple d'hexàgons per simetria
r12 regular i4 d6 isotoxal g6 directed p6 isogonal d2 g2 general paralelogon p2 g3 a1

Les sis llínees de reflexió d'un hexàgon regular, en simetria Dih₆ o r12, orde 12.

Les #simetria diédricas es dividixen depenent de si passen a través de vèrtiços (d per a diagonal) o arestes (p per a perpendicular) Les #simetria cíclicas en la columna central s'etiqueten com a g per a les seues órdens de gir centrals. La simetria completa de la forma regular és r12 i cap simetria s'etiqueta com a1.

El hexàgon regular té simetria D₆. Hi ha 16 subgrups. Hi ha 8 fins a isomorfisme: sí mateix (D₆), 2 diédricos: (D_3, D₂), 4 cíclico: (Z₆, Z₃, Z₂, Z₁) i el trivial (i).

Estes #simetria expressen nou #simetria distintes d'un hexàgon regular. John Conway les etiqueta en una lletra i un orde de grup. r12 és simetria completa, i a1 no és simetria. p6', un isogonal hexàgon construït per tres espills poden alternar arestes llargues i curtes, i d6', un isotoxal hexàgon construït en llongituts d'aresta iguals, pero vèrtiços que alternen dos ànguls interns diferents. Estes dos formes són duals entre sí i tenen la mitat de l'orde de simetria de l'hexàgon regular. Les formes i4 són hexàgons regulars aplanados o estirats a lo llarc d'una direcció de simetria. Pot vore's com un rombo elongado, mentres que d2 i p2 poden vore's com cometes allargades horisontal i verticalment. Els hexàgons g2, en costats oposts paralels, també es denominen paralelógonos hexagonals.

Cada simetria de subgrup permet un o més graus de llibertat per a formes irregulars. Només el subgrup g6 no té graus de llibertat pero pot vore's com aresta dirigides.

Els hexàgons de simetria g2, i4, i r12, com paralelógonos poden teselar el pla euclídeo per translació. Uns atres hexàgons poden teselar el pla en diferents orientacions.

p6m (*632)	cmm (2*22)	p2 (2222)	p31m (3*3)	pmg (22*)		pg (××)
r12	i4	g2	d2	d2	p2	Archiu:Isohedral tiling p6-1.svg a1
Dih6	Dih2	Z2	Dih1			Z1

Grups A2 i G2

Archiu:Root system A2.svg A2 group roots Plantilla:Dynkin

Archiu:Root system G2.svg G2 group roots Plantilla:Dynkin2

Les 6 raïls del grup de Lie simple A2, representades per un Diagrama de Dynkin Plantilla:Dynkin, estan en un patró hexagonal regular. Les dos raïls simples tenen un àngul de 120° entre elles.

Les 12 raïls del Grup de Lie excepcional G2, representades per un Diagrama de Dynkin Plantilla:Dynkin2 també tenen forma hexagonal. Les dos raïls simples de dos llongituts tenen un àngul de 150° entre elles.

Dissecció

6-cube projection	dissecció de 12 rombos
Archiu:6-cube t0 A5.svg	Archiu:6-gon rhombic dissection-size2.svg	Archiu:6-gon rhombic dissection2-size2.svg

Coxeter afirma que tot zonágono (un polígon de 2m els costats oposts de la qual són paralels i d'igual llongitut) pot disseccionar-se en Plantilla:Fracm(m - 1) paralelogramos. En particular, açò és cert para polígon regulars en un número par de costats, en el cas dels quals els paralelogramos són tots rombos. Esta descomposició d'un hexàgon regular es basa en una proyecció de polígon de Petrie d'un gaveta, en 3 de 6 cares quadrades. Uns atres paralelogramos i direccions proyectivas de la gaveta es disseccionen dins de Cuboides rectangulars.

Galeria d'hexàgons naturals i artificials

• La França continental o part metropolitana de França rep el sobrenom d'Hexàgon (l'Hexagone en francés), per tindre una forma vagament hexagonal.
  La França continental o part metropolitana de França rep el sobrenom d'Hexàgon (l'Hexagone en francés), per tindre una forma vagament hexagonal.
• 
  Els escuts del closca d'una tortuga estan conformats per hexàgons.
• 
  En el pol nort de Saturn es troba un patró de núvols formant un hexàgon.
• 
  l'escacs hexagonal de Władysław Gliński.
• 
  Els pabellons d'estil chinenc en els jardins botànics tenen una estructura hexagonal.
• 
  L'hexàgon és un teatre d'arquitectura de tipo hexagonal ubicada en Reading, Regne Unit.
• 
  Un graner hexagonal.
• Vista aérea del Parc nacional Tortugues Seques.
  Vista aérea del Parc nacional Tortugues Seques.
• 
  Finestra hexagonal d'una casa.
• 
  Una image de bombetes ordenades l'una a l'atra dona l'ilusió de vore hexàgons.
• 
  La hanksita, d'un dels molts minerals del sistema cristalí hexagonal
• 
  Els panales estan construïts en formes hexagonals.
• 
  Columnes de basalt formades naturalment de la Calçada del Jagant en Irlanda del Nort; les masses grans deuen gelar-se llentament per a formar un patró de fractura poligonal.
• 
  La micrografía d'un cope de neu.
• 
  L'estructura cristalina del Grafeno està formada per una reixeta d'hexàgons.
• 
  El benceno, és un compost aromàtic en forma hexagonal.
• 
  Estructura cristalina d'un hexàgon molecular compost per anells aromàtics hexagonals.
• Segments d'espill I-ELT ensamblados.
  Segments d'espill I-ELT ensamblados.
• 
  L'espill del telescopi espacial James Webb, està compost per 18 segments hexagonals.

Enllaços externs

Commons

• Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre hexàgons.

Archiu:Wiktionary-logo-v2.svg Hexàgon en el Viccionari.

• Definition and properties of a hexagon with interactive animation and construction with compass and straightedge.
• An Introduction to Hexagonal Geometry on Hexnet a website devoted to hexagon mathematics.
• Plantilla:Youtube – an animated internet video about hexagons by CGP Grey.