Paralelogramo

Archiu:Parallelogram simple.svg

Paralelogramo

Archiu:Paralelogramos.svg

Distints tipos de paralelogramos

En el camp de la geometria, un paralelogramo és un quadrilàter els parells del qual de costats oposts són iguals i paralels dos a dos. La congruència de costats oposts i ànguls oposts és una conseqüència directa del postulat paralel euclidiano i cap condició pot provar-se sense apelar al postulat paralel euclidiano o una de les seues formulació equivalents.

La contraparte tridimensional d'un paralelogramo és un paralelepípede.

L'etimologia (en grec παραλληλ-όγραμμον, parallēl-ógrammon, una forma "de llínees paraleles") reflectix la definició.

En comparació, un quadrilàter en un sol parell de costats paralels és un trapezoide en anglés americà o un trapezium en anglés britànic.

Classes de paralelogramos

• El quadrat, que té tots els seus costats d'igual llongitut, i tots els seus ànguls són rectes.
• El rombo, que té tots els seus costats d'igual llongitut, i solament dos parells d'ànguls congruents. Qualsevol paralelogramo que no siga ni un rectàngul ni un rombo es dia tradicionalment romboide, pero este terme no s'usa en les matemàtiques modernes.
• El rectàngul, que té solament els seus costats oposts d'igual llongitut, i tots els seus ànguls són rectes.
• El romboide, que té solament els costats oposts d'igual llongitut i solament dos parells d'ànguls congruents.

Propietats

Per definició de paralelogramo:

• Tot quadrilàter té quatre vèrtiços, quatre costats. Quatre ànguls interiors.
• Els costats oposts d'un paralelogramo són paralels.

Propietats dels paralelogramos deduibles a partir de la seua definició:

• Hereta totes les propietats dels quadrilàters:
• La suma dels ànguls interiors de tot paralelogramo és sempre igual a 360°.
• Els costats oposts són d'igual llongitut, (congruents).
• Els ànguls interns en dos vèrtiços contigus qualssevol són suplementaris (sumen 180°).
• Els ànguls interns oposts són iguals en mida.
• L'àrea d'un paralelogramo és el doble de l'àrea d'un triàngul format per qualsevol de les seues diagonals i els costats contigus de la figura.
• Qualsevol recta secante talla al paralelogramo en no més de dos punts.
• Tots els paralelogramos són convexos.
• Les diagonals d'un paralelogramo es bisecan entre sí en el «centre» del paralelogramo.
• El «centre» del paralelogramo és també el baricentre del mateix.
• Qualsevol recta secante que passe pel «centre» d'un paralelogramo dividix a la seua superfície en dos parts iguals.
• Qualsevol recta coplanar que passe pel «baricentre» d'un paralelogramo és també «travesser de gravetat» del mateix.

Propietats causades per diferents aplicacions:

• Qualsevol transformació afí no degenerada transforma un paralelogramo en un atre paralelogramo.
• Existix un número infinit de transformacions afins que transformen a un paralelogramo donat en un quadrat.
• Es pot establir un homeomorfisme entre un paralelogramo i una circumferència.
• Una translació, una rotació d'un paralelogramo conserven la forma i el tamany.

Donat un paralelogramo construït per mig de vectores:

• L'àrea d'un paralelogramo és igual a la magnitut (mòdul) del producte vectorial de dos costats contigus, considerats com vectores. Els costats oposts d'un paralelogramo són d'igual llongitut, (congruents). Els ànguls oposts d'un paralelogramo són iguals en mida. Els ànguls de dos vèrtiços contigus qualssevol són suplementaris (sumen 180°). La suma dels ànguls interiors de tot paralelogramo és sempre igual a 360°.

El paralelogramo «quadrat», té simetria de rotació d'orde 4 (45°) Els paralelogramos «romboide», «rombo» i «rectàngul», té simetria de rotació d'orde 2 (90°) Si no té cap eix de simetria de reflexió, llavors és un paralelogramo «romboide». Si té 2 eixos de simetria de reflexió diagonals, llavors és un paralelogramo «rombo». Si té 2 eixos de simetria de reflexió perpendiculars als seus costats, llavors és un paralelogramo «rectàngul». Si té 4 eixos de simetria de reflexió, llavors és un paralelogramo «quadrat».

Casos de simetria per a diverses classes de paralelogramos

• El paralelogramo «quadrat», té simetria de rotació d'orde 4 (90°).
• Els paralelogramos «romboide», «rombo» i «rectàngul», té simetria de rotació d'orde 2 (180°).
• Si no té cap eix de simetria de reflexió, llavors és un paralelogramo «romboideo».
• Si té 2 eixos de simetria de reflexió diagonals, llavors és un paralelogramo «rombo».
• Si té 2 eixos de simetria de reflexió perpendiculars als seus costats, llavors és un paralelogramo «rectàngul».
• Si té 4 eixos de simetria de reflexió, llavors és un paralelogramo «quadrat».

Algunes propietats mètriques comunes

• El perímetro d'un paralelogramo és 2 (a + b), a on a i b són les llongituts de dos costats contigus qualsevol.
• La suma dels quadrats dels costats és igual a la suma dels quadrats de les diagonals (vore la regla del paralelogramo).
• Per a calcular l'àrea d'un paralelogramo, es pot considerar com una figura composta per dos triànguls congruents i un rectàngul, traçant altures dels vèrtiços dels ànguls obtusos. I el triàngul té les les meues més mides

Atres propietats

Els costats oposts d'un paralelogramo són paralels (per definició) i, per tant, mai es creuen. L'àrea d'un paralelogramo és el doble de l'àrea d'un triàngul creat per una de les seues diagonals. L'àrea d'un paralelogramo és també igual a la magnitut del producte vectorial creuat de dos costats adjacents. Qualsevol llínea que passe pel punt mig d'un paralelogramo biseca l'àrea. Qualsevol transformació afí no degenerada du un paralelogramo a un atre paralelogramo. Un paralelogramo té simetria rotacional d'orde 2 (fins a 180°) (o d'orde 4 si és un quadrat). Si ademés té exactament dos llínees de simetria de reflexió llavors deu ser un rombo o un oblongo (un rectàngul no quadrat). Si té quatre llínees de simetria reflexiva, és un quadrat. El perímetro d'un paralelogramo és 2(a + b) a on a i b són les llongituts dels costats adjacents. A diferència de qualsevol atre polígon convexo, un paralelogramo no pot inscriure's en cap triàngul en menys del doble de la seua àrea.

Els centres de quatre quadrats construïts tots ells interna o externament sobre els costats d'un paralelogramo són els vèrtiços d'un quadrat. Si dos llínees paraleles als costats d'un paralelogramo es construïxen concurrente a una diagonal, llavors els paralelogramos formats en costats oposts d'eixa diagonal són iguals en àrea. Les diagonals d'un paralelogramo ho dividixen en quatre triànguls d'igual àrea.

Fòrmules

Archiu:Parallelogram measures.svg

Totes les fòrmules d'àrea per a quadrilàters convexos generals s'apliquen als paralelogramos. Atres fòrmules són específiques dels paralelogramos:

Un paralelogramo en base b i altura h es pot dividir en un trapezoide i un triàngul rectàngul, i reorganisar-se en un rectàngul, com es mostra en la figura A l'esquerra. Açò significa que l'àrea d'un paralelogramo és igual a la d'un rectàngul en la mateixa base i altura:

$K=bh.$

Archiu:Parallelogram area.svg

L'àrea del paralelogramo és l'àrea de la regió blava, que és l'interior del paralelogramo

La fòrmula de l'àrea base × altura també es pot derivar usant la figura de la dreta. L'àrea K del paralelogramo a la dreta (l'àrea blava) és l'àrea total del rectàngul menys l'àrea dels dos triànguls taronges. L'àrea del rectàngul és

$K_{\text{rect}}=(B+A)\times H$

i l'àrea d'un sol triàngul és

$K_{\text{tri}}=\frac{A}{2}\times H.$

Per lo tant, l'àrea del paralelogramo és

$K=K_{\text{rect}}-2\times K_{\text{tri}}=((B+A)\times H)-(A\times H)=B\times H.$

Una atra fòrmula d'àrea, per a dos costats B i C i àngul θ, és

$K=B\cdot C\cdot \sin \theta .$

L'àrea d'un paralelogramo en costats B i C (B ≠ C) i àngul $\gamma$ en l'intersecció de les diagonals està donada per

$K=\frac{|\tan \gamma |}{2}\cdot |B^2-C^2|.$

Quan el paralelogramo s'especifica a partir de les llongituts B i C de dos costats adjacents junt en la llongitut D₁ de qualsevol de les diagonals, llavors l'àrea es pot trobar a partir de la fòrmula de Herón. Específicament és

$K=2\sqrt{S(S-B)(S-C)(S-D_1)}$

a on $S=(B+C+D_1)/2$ i el factor principal 2 prové del fet de que la diagonal elegida dividix el paralelogramo en "dos" triànguls congruents.

Fòrmules del paralelogramo

Àrea	$A=a\cdot h_a=b\cdot h_b=\left||\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD}|\right|$    $A=a\cdot b\cdot \sin \alpha =a\cdot b\cdot \sin \beta =\frac{e\cdot f\cdot \sin \theta }{2}$
Altura de a	$h_a=b\cdot \sin \alpha =b\cdot \sin \beta =\frac{A}{a}$
Altura de b | $h_b=a\cdot \sin \alpha =a\cdot \sin \beta =\frac{A}{b}$
Diagonals (teorema del coseno)	$f=\sqrt{a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos (\alpha )}$ $e=\sqrt{a^2+b^2+2\cdot a\cdot b\cdot \cos (\alpha )}$
Ànguls	$\alpha =\gamma \beta =\delta \beta =180^{\circ }-\alpha$

Regla del paralelogramo

Artícul principal → Regla del paralelogramo.

Archiu:Color parallelogram.svg

Els quatre costats d'un paralelogramo (AB, BC, CD i DA),
els quatre vèrtiços (A, B, C i D) i les seues dos diagonals (AC i BD).

Existix una identitat geomètrica que relaciona els costats d'un paralelogramo en les seues diagonals, cridada regla del paralelogramo. Esta diu que la suma dels quadrats de les llongituts dels quatre costats d'un paralelogramo qualsevol és igual a la suma dels quadrats de les llongituts de les dos diagonals. En notació matemàtica, es representa per mig de la següent fòrmula:

$(AB{)}^2+(BC{)}^2+(CD{)}^2+(DA{)}^2=(AC{)}^2+(BD{)}^2.$

a on A, B, C, i D són els vèrtiços del paralelogramo.

ya que els costats són iguals dos a dos, la fòrmula sol representar-se simplificada:

$2\cdot ((AB{)}^2+(BC{)}^2)=2\cdot ((CD{)}^2+(DA{)}^2)=(AC{)}^2+(BD{)}^2.$

Àrea en térmens de coordenades cartesianas dels vèrtiços

Siguen els vectores $𝐚,𝐛\in {ℝ}^2$ i siga $V=\left[\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ b_1& b_2\end{array}\right]\in {ℝ}^{2\times 2}$ la matriu en elements de a i b. Llavors l'àrea del paralelogramo generat per a i b és igual a $|\det (V)|=|a_1{b}_2-a_2{b}_1|$.

Siguen els vectores $𝐚,𝐛\in {ℝ}^n$ i siga $V=\left[\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \dots & a_n\\ b_1& b_2& \dots & b_n\end{array}\right]\in {ℝ}^{2\times n}$ Llavors l'àrea del paralelogramo generat per a i b és igual a $\sqrt{\det (V{V}^{\mathrm{T}})}$.

Siguen els punts $a,b,c\in {ℝ}^2$. Llavors l'àrea del paralelogramo en vèrtiços en a, b i c és equivalent al valor absolut del determinant d'una matriu construïda usant a, b i c com a files en l'última columna reblida usant uns com seguix:

$K=|\det \left[\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& 1\\ b_1& b_2& 1\\ c_1& c_2& 1\end{array}\right]|.$

Prova de que les diagonals es bisecan

Paralelogramo ABCD

Paralelogramo ABCD

Per a demostrar que les diagonals d'un paralelogramo es bisecan entre sí, utilisarem les propietats dels triànguls congruents

$\mathrm{\angle }ABE\cong \mathrm{\angle }CDE$ (ànguls interiors alterns són iguals en mida)

$\mathrm{\angle }BAE\cong \mathrm{\angle }DCE$ (ànguls interiors alterns són iguals en mida).

(ya que són ànguls que una travessera forma en llínees paraleles AB i DC).

Ademés, el costat AB té la mateixa llongitut que el costat DC, ya que els costats oposts d'un paralelogramo tenen la mateixa llongitut.

Per lo tant, els triànguls ABE i CDE són congruents (postulat ASA, dos ànguls corresponents i el costat inclós).

Per lo tant,

$AE=CE$

$BE=DE.$

Com les diagonals AC i BD es dividixen entre sí en segments d'igual llongitut, les diagonals es bisecan entre sí.

Per separat, com les diagonals AC i BD es bisecan en el punt I, el punt I és el punt mig de cada diagonal.

Paralelogramos que sorgixen d'atres figures

Archiu:Varignon parallelogram.svg

Els parells de bases formen un paralelogramo en la mitat de l'àrea del quadrilàter, A_q, ya que la suma de les àrees dels quatre triànguls grans, A_l és 2 A_q (cada u dels dos parells reconstruïx el quadrilàter) mentres que la dels triànguls menuts, A_s és un quarto de A_l (la mitat de les dimensions llineals dona un quarto d'àrea), i l'àrea del paralelogramo és A_q menys A_s.

Triàngul automediano

Un triàngul automediano és aquell que les seues mijanes estan en les mateixes proporcions que els seus costats (encara que en distint orde). Si ABC és un triàngul automediano en el que el vèrtiç A està opost al costat a, G és el centroide (a on es creuen les tres mijanes de ABC), i AL és una de les mijanes esteses de ABC en L situada en la circumferència de ABC, llavors BGCL és un paralelogramo.

Paralelogramo de Varignon

Els punts mijos dels costats d'un quadrilàter arbitrari són els vèrtiços d'un paralelogramo, cridat el seu paralelogramo de Varignon. Si el quadrilàter és convexo o cóncau (és dir, no es autointerseca), llavors l'àrea del paralelogramo de Varignon és la mitat de l'àrea del quadrilàter.

Paralelogramo tangente d'una elipse

Per a una elipse, es diu que dos diàmetros són conjugats si i només si la recta tangente a la elipse en un extrem d'un diàmetro és paralela a l'atre diàmetro. A cada parell de diàmetros conjugats d'una elipse li correspon un paralelogramo tangente o paralelogramo circumscrit, a voltes cridat paralelogramo llímit, format per les rectes tangentes a la elipse en els quatre extrems dels diàmetros conjugats. Tots els paralelogramos tangentes a una elipse donada tenen la mateixa àrea.

És possible reconstruir una elipse a partir de qualsevol parell de diàmetros conjugats, o a partir de qualsevol paralelogramo tangente.

Cares d'un paralelepípede

Un paralelepípede és una figura tridimensional que les seues sis cares són paralelogramos.

Vore també

• Anex:Equacions de figures geomètriques

Enllaços externs

• [[Archiu:{{#switch:Matemàtica|20px|Vore el portal sobre Matemàtica]] Portal:Matemàtica. Contingut relacionat en Matemàtica.

Commons

• Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Paralelogramos.

Archiu:Wiktionary-logo-v2.svg Paralelogramo en el Viccionari.

• Paralelogramo en MathWorld.
• Parallelogram and Rhombus - Animated course (Construction, Circumference, Area)
• Parallelogram en MathWorld.
• Interactive Parallelogram --sides, angles and slope
• Area of Parallelogram at cut-the-knot
• Equilateral Triangles On Sides of a Parallelogram at cut-the-knot
• Definition and properties of a parallelogram with animated applet
• Interactive applet showing parallelogram area calculation interactive applet