Transformació afí

Una image d'una falaguera que exhibix autosimilitud afí.

En geometria, una transformació afí o aplicació afí (també cridada afinitat) entre dos espais afins (en particular, dos espais vectorials) consistix en una transformació llineal seguida d'una translació:

En el cas de dimensió finita, tota transformació afí pot representar-se per una matriu $𝐀$ i un vector $𝐛$ que satisfan certes propietats que s'especifiquen més alvance.

Geomètricament, una transformació afí en un espai euclídeo és una transformació que preserva:

1. Les relacions de colinealidad (i coplanaridad) entre punts, és dir, punts que recaïen sobre una mateixa llínea (o sobre un mateix pla) abans de la transformació, són preservades despuix d'una transformació afí.
2. Les raons entre distàncies a lo llarc d'una llínea, és dir, per a tres punts alineats distints $P_1,P_2,P_3,$ les raons $|\overline{P_2{P}_1}|/|\overline{P_3{P}_2}|$ abans i despuix de la transformació són iguals.

En general, una transformació afí està composta de transformacions llineals (rotacions, homotecias i cisallaments) compostes en una translació o desplaçament. En el cas 1-dimensional A i b es diuen, respectivament, la pendent i el terme independent.

Definició matemàtica

Una transformació afí $f:𝔸\to {𝔸}^{\prime }$ entre dos espais afins $(𝔸,E,\delta )$ i $({𝔸}^{\prime },E^{\prime },{\delta }^{\prime })$és una aplicació sobre els punts que actua linealmente sobre els vectores que els unixen. Formalment, $f$ és una transformació afí si existix una aplicació llineal $g$ tal que $\mathrm{\forall }p,q\in 𝔸,$

$\overrightarrow{f(p)f(q)}=g(\overrightarrow{pq})$.

Referències

Bibliografia

• (1987).«Geometry I».Springer.Berlin:
• (1994).«Affine Differential Geometry».Cambridge University Press.
• Sharpe, R. W. (1997). Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program, Nova York: Springer. ISBN 0-387-94732-9.