Fòrmula de Herón

Triàngul de costats a, b, c.

En geometria plana elemental la fòrmula de Herón, l'invenció de la qual s'atribuïx al matemàtic grec Herón d'Aleixandria, dona l'àrea d'un triàngul coneixent les llongituts dels seus tres costats a, b i c:

$\acute{A}rea=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

a on s és el semiperímetro del triàngul:

$s=\frac{a+b+c}{2}$.

Qualsevol polígon simple pot ser separat en triànguls que a lo més tenen un costat comú o un vèrtiç comú, per mig de diagonals que partixen d'un únic vèrtiç apropiat. Esta subdivisió i l'aplicació de la norma herodiana per a l'àrea triangular, facilita el càlcul de l'àrea de la regió plana tancada pel polígon simple, en solament medir llongituts, allí radica la seua importància.

La fòrmula també pot expressar-se d'estes atres formes:

$\acute{A}rea=\sqrt{\frac{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{16}}$

$\acute{A}rea=\sqrt{\frac{2(a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2)-(a^4+b^4+c^4)}{16}}$

$\acute{A}rea=\frac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}{4}$

$\acute{A}rea=\frac{1}{4}\sqrt{(a^2+b^2+c^2{)}^2-2(a^4+b^4+c^4)}.$

La fòrmula de Herón es distinguix d'atres fòrmules per a trobar l'àrea d'un triàngul, com la de la mitat de la base per l'altura o la de la mitat del mòdul d'un producte creu de dos costats, per no requerir cap elecció arbitrària d'un costat com a base o un vèrtiç com a orige.

Història

La troballa de la fòrmula s'ha atribuït a Herón d'Aleixandria, i es pot trobar una prova en el seu llibre, Mètrica, escrit en l'any 60 d. C. S'ha presumit que el físic matemàtic grec, Arquímedes, haja conegut la fòrmula, dos sigles abans; i que lo posat en Mètrica és una colecció dels coneiximents matemàtics disponibles en el món antic, és possible que la norma areal precedixca a la referència que figura en el tractat heroniano.

Sàpia's, una regla d'àrea triangular equivalent a la de Herón:

$\acute{A}rea=\frac{1}{2}\sqrt{a^2{c}^2-{\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2}\right)}^2}$, a on $a\ge b\ge c$

va ser conseguida per matemàtics chinencs, independentment dels grecs. Va ser publicada en Shushu Jiuzhang ("Tractat matemàtic en nou seccions"), escrit per Qin Jiushao i publicat en l'any 1247.

Demostració

Ilustració de la fòrmula de Heron

Una demostració moderna, que ampra àlgebra i trigonometria (prou distinta a la que va donar Herón en el seu llibre Mètrica), podria ser la següent: