Mijana (geometria)

Les transversal de gravetat d'un triàngul (llínees roges) es tallen en el baricentre del mateix.

En geometria, la mijana, mija o transversal de gravetat d'un triàngul, és el segment de recta que unix un vèrtiç en el punt mig del costat opost.

Propietats

Les transversal de gravetat d'un triàngul (llínees verdes) es tallen en el baricentre (centre de gravetat).

Per a les mijanes s'anoten les següents propietats:

• Cada mijana dividix al triàngul en dos triànguls, sent costat comú d'ells; dits triànguls, en general, no són congruents; pero sí equivalents, d'igual àrea, per eixemple per al cas de la mijana AI (vore la figura) dites regions són els dos triànguls ΔABI i ΔACI d'igual àrea.
• Les tres mijanes es intersecan en un únic punt, cridat baricentre, centroide o centre de gravetat.
• Dos terços de la llongitut de cada mijana estan entre el vèrtiç i el baricentre, mentres que el terç restant està entre el baricentre i el punt mig del costat opost.
• Per a qualsevol triàngul rectilíneo en costats $a,b,c$, mijanes $m_a,m_b,m_c$ i perímetro $p$, es complix la següent desigualtat:

$\frac{3}{4}p<(m_a+m_b+m_c)<\frac{3}{2}p$

• Per a qualsevol triàngul en costats $a,b,c$ i mijanes $m_a,m_b,m_c$, $p{r}_a$ la proyecció de $m_a$ sobre a, els elements indicats verifiquen les següents equacions:

$m_a^2+m_b^2+m_c^2=\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2).$

$b^2+c^2=2m_a^2+\frac{a^2}{2}$

$m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$

$2a\times p{r}_a=b^2-c^2$

Relació en el centre de gravetat

Cada una de les tres mijanes d'un triàngul passa pel centroide del mateix, el qual és coincidente en el centre de gravetat d'un objecte en forma de triàngul (si este és de densitat uniforme). Aixina, dit objecte estaria en equilibri en qualsevol travesser de gravetat (llínea que passe a través del centre de gravetat ), Les mijanes són solament tres transversal de gravetat, del fes infinit d'transversal de gravetat del triàngul.

Vore també

• Triàngul
• Ceviana
• Bisectriz
• Mediatriz
• Altura (geometria)
• Teorema de Stewart
• Teorema de Apolonio (Teorema de la mijana).
• Llei del paralelogramo.