Mediatriz

Erro al crear miniatura:

Construcció animada de la mediatriz d'un segment en regla i compàs

La mediatriz d'un segment és la llínea recta perpendicular a dit segment traçada pel punt mig. Equivalentemente es pot definir com el lloc geomètric — la recta — els punts de la qual són equidistants als extrems del segment.

Descripció

Archiu:Mediatriz2.svg

La recta r és la mediatriz del segment AB. Qualsevol punt (P) d'ella, equidista dels extrems del segment A i B (AP = BP).

En efecte, siga $AB$ el segment que siga, determinat pels punts $A$ i $B$. Siga $M$ el punt mig del segment i $r$ la recta perpendicular al segment per dit punt. Siga $P$ un punt sobre la recta $r$. En la simetria axial respecte de la recta $r$, el punt $P$ és invariante i els punts $A$ i $B$ són un el simètric de l'atre. Per tant, en esta simetria, el segment $AP$ es transforma en el segment $BP$, abdós segments són congruents i el punt $P$ equidista dels punts $A$ i $B$. En conseqüència, tot punt que es trobe sobre la recta $r$ pertany a la mediatriz del segment en qüestió.

Recíprocamente, siga $AB$ un segment i siga $P$ un punt que equidista de $A$ i de $B$, açò és que els segments $AP$ i $BP$ són iguals. Considerem la bisectriz $R$ de l'àngul $APB$ i siga $M$ l'intersecció de dita bisectriz en el segment $AB$.

Per construcció, els ànguls $APM$ i $BPM$ són iguals i en la simetria axial respecte de la recta $r$ es transformen un en l'atre. Com els segments $PA$ i $PB$ són iguals, en esta simetria, els punts $A$ i $B$ són un l'image de l'atre. Concloem que el punt $M$ és punt mig del segment $AB$ i que dit segment és perpendicular a la recta $r$.

Mediatriz donats dos punts

Si es coneixen dos punts en el sistema de coordenades cartesianas, una forma senzilla de calcular la recta cridada mediatriz és:

Per a obtindre l'equació de la mediatriz d'un segment coneguts els seus dos extrems, (o solament dos punts qualssevol) es procedix de la següent manera:

           En les coordenades de primer punt ( x , i ) realisa les operacions

·        Doble i canvia de signe de cada coordenada en la seua respectiva variable (o viceversa).

·        Després suma els quadrats d'abdós coordenades.

·        Repetix el procés en el segon membre en les coordenades de l'atre punt        

La mediatriz és la recta que esta a igual distància de dos punts.

Construcció gràfica de la mediatriz

Per a traçar la mediatriz d'un segment donat AB, es traçaran dos arcs d'igual radi arbitrari (sempre majors que la mitat de la llongitut del segment) en centres en els extrems del segment. Els dos arcs es tallaran en dos punts C i D que pertanyen a la mediatriz, ya que complixen la condició d'equidistar dels extrems del segment.

Archiu:Middellooddlijnconstructie.jpg

Construcció gràfica de la mediatriz en regla i compàs.

Vore també

• Circumcentre
• Bisectriz

Referències

• (2006) Geometria: desenroll axiomàtic, Bogotà-Colòmbia: ECOE Edicions, pp. 108-112. ISBN 9586484246.
• Landaverde, Felipe de Jesús (1977). Geometria, 6ª edició, Mèxic, D. F.: Editorial Progrés, S.A. de C.V.. ISBN 9684361157.