Rectàngul

En geometria plana, un rectàngul és un paralelogramo que els seus quatre costats formen ànguls rectes entre sí. Els costats oposts tenen la mateixa llongitut. Un rectàngul que els seus quatre costats tenen la mateixa llongitut és un quadrat.

En geometria euclidiana plana, un rectàngul és un quadrilàter en quatre ànguls rectes. També pot definir-se com: un quadrilàter equiangular, ya que equiangular significa que tots els seus ànguls són iguals (360°/4 = 90°); o un paralelogramo que conté un àngul recte. Un rectàngul en quatre costats d'igual llongitut és un quadrat. El terme oblongo s'utilisa ocasionalment per a referir-se a un rectàngul no-quadrat.^[1]^[2]^[3] Un rectàngul en vèrtiços ABCD es denotaria com Archiu:Rectanglen. caps block 1ABCD.

La paraula rectàngul prové del llatí rectangulus, que és una combinació de rectus (com a adjectiu, recte, propi) i angulus (àngul).

Un rectàngul creuat és un quadrilàter creuat (auto-intersecante) que consistix en dos costats oposts d'un rectàngul junt en les dos diagonals^[4] (per lo tant només dos costats són paralels). És un cas especial d'antiparalelogramo, i els seus ànguls no són rectes ni tots iguals, encara que els ànguls oposts són iguals. Atres geometria, com l'esfèrica, l'elíptica, i la hiperbòlica, tenen els cridats rectànguls en costats oposts iguals en llongitut i ànguls iguals que no són ànguls rectes.

Els rectànguls estan implicats en molts problemes de tiling, com l'emmanisat del pla per rectànguls o l'emmanisat d'un rectàngul per polígon.

El perímetro d'un rectàngul és igual a la suma de tots els seus costats:

P = 2 \cdot a + 2 \cdot b = 2 \cdot (a + b)

l'àrea d'un rectàngul és igual al producte de dos dels seus costats contigus:

A = b \cdot a

l'allargament o elongació d'un rectàngul és igual al cocient entre el costat major i el costat menor:

E = \frac{a}{b}, s i e n d o : a > b

Definició

Un rectàngul és una figura geomètrica que posseïx quatre ànguls interiors de 90°. És un paralelogramo, és dir, tots els seus costats són paralels dos a dos.^[5]

Per gènero pròxim i diferència específica

El rectàngul és un paralelogramo en un àngul recte.^[6]

Proposició

El rectàngul té els quatre ànguls rectes.

Prova

Per definició, té un àngul recte. Per ser un paralelogramo, el seu opost també és un àngul recte; i els atres dos ànguls, que són suplementaris dels dos anteriors, sumen 180°. I com són oposts, són iguals entre sí, després cada u dels quatre és un àngul recte.

Propietats

Archiu:Rectangle.svg

Rectàngul ABCD. d és una de les seues dos diagonals.

Un convexo quadrilàter és un rectàngul si i només si és qualsevol dels següents:^[7]^[8]

Els seus costats paralels són iguals.
Les dos diagonalés d'un rectàngul de costats $a$ i $b$ medixen $d = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .^[9]
Els seus dos diagonalés es bisecan mútuament en el punt mig comú; (esta característica també ho definix). Este punt és el centre de la figura, en el sentit que tota recta que passa per ell, talla al rectàngul en dos punts equidistants del centre, per lo que definix una simetria respecte a un punt per als punts del rectàngul.^[10]
El rectàngul té dos simetria axials, respecte a eixos paralels als seus costats i que passen pel centre.^[11]
Qualsevol rectàngul es pot inscriure en una circumferència, dos dels diàmetros de la qual coincidixen en les diagonals del rectàngul.
Usant com a base d'un triàngul una base del rectàngul i el punt mig del costat opost, com a vèrtiç opost, resulta un triàngul isósceles d'àrea igual a la mitat de la del rectàngul.
Amprant com a base de qualsevol triàngul la base del rectàngul i com a vèrtiç opost un punt que dista com l'altura del rectàngul, s'obté una família de triànguls equivalents i els vèrtiços dels quals formen un lloc geomètric: la recta paralela a la base del rectàngul.^[12]
Si s'unixen els punts mijos M, N; P, Q de sengles costats d'un rectàngul, per mig de segments es genera el rombo MNPQ.^[13]
* un quadrilàter convexo de costats successius a, b, c, d l'àrea de la qual és $\frac{1}{4} (a + c) (b + d)$ .^[14]^{<span title="Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «DecodeEncode».">: Plantilla:R/where}
* un quadrilàter convexo en costats successius a, b, c, d l'àrea de la qual és $\frac{1}{2} \sqrt{(a^{2} + c^{2}) (b^{2} + d^{2})} .$ ^[14]

Teoremes

La teorema d'isoperimetría per a rectànguls establix que d'entre tots els rectànguls en un perímetro donat, el quadrat és el que té major àrea.
Un paralelogramo en diagonals iguals és un rectàngul.
El teorema japonesa per a quadrilàters cíclicos establix que els incentros de quatre triànguls determinats pels vèrtiços d'un quadrilàter cíclico presos de tres en tres formen un rectàngul.

Simetria

Les dos rectes perpendicular entre sí, paraleles als costats contigus i que passen pel centre del rectàngul, són eixos de simetria axial dels punts del rectàngul.

El centre del rectàngul ( intersecció de les diagonals) és el centre de simetria central dels punts del rectàngul.^[15]

Classificació

Archiu:Symmetries of square es.svg

El rectàngul és un cas especial del paralelogramo i del trapezi. Un quadrat és un cas especial d'un rectàngul.

Jerarquia tradicional

Un rectàngul és un cas especial d'un paralelogramo en el que cada parell de costats adjacents és perpendicular.

Un paralelogramo és un cas especial d'un trapezi (conegut com trapezoide en Norteamérica) en el que abdós parells de costats oposts són paralels i iguals en llongitut.

Un trapezi és un convexo quadrilàter que té a lo manco un parell de costats oposts paralels.

Un quadrilàter convexo és

Simple: El llímit no es creua a sí mateixa.
En forma d'estrela: Tot l'interior és visible des d'un únic punt sense tindre que creuar-se cap aresta.

Jerarquia alternativa

De Villiers definix un rectàngul de forma més general com qualsevol quadrilàter en eixos de simetria a través de cada parell de costats oposts.^[16] Esta definició inclou tant els rectànguls rectànguls com els rectànguls creuats. Cada u té un eix de simetria paralel i equidistant a un parell de costats oposts, i un atre que és la perpendicular bisectriz d'eixos costats, pero, en el cas del rectàngul creuat, el primer eix no és un eix de simetria para cap dels costats que biseca.

Els quadrilàters en dos eixos de simetria, cada u a través d'un parell de costats oposts, pertanyen a la classe més àmplia de quadrilàters en a lo manco un eix de simetria a través d'un parell de costats oposts. Estos quadrilàters comprenen els trapezis isósceles i els trapezis isósceles creuats (quadrilàters creuats en la mateixa disposició de vèrtiços que els trapezis isósceles).

Rectànguls en nom propi

Archiu:Rectángulo aureo.jpg

Rectàngul áureo.

El rectàngul áureo, també denominat rectàngul d'or o rectàngul Φ, és el rectàngul els costats del qual estan en raó áurea. Si b i h són els costats, b/h = Φ. Per a construir-ho a partir d'un quadrat de costat AB, n'hi ha prou en determinar el punt mig M d'un dels costats AB, i traçar, en centre en el punt M, una circumferència que passe per un dels vèrtiços C del costat opost.

Vore també: Número áureo

Archiu:Three-dimensional rectangle.jpg

Representació gràfica d'un ortoedro que generalisa la construcció d'un rectàngul, en l'espai euclídeo tridimensional.

Rectàngul $\sqrt{2}$ (rectàngul raïl de 2), aquell la relació del qual entre base i altura és igual a la raïl quadrada de dos. Si b i h són els costats, b/h = $\sqrt{2}$ . L'interés d'este rectàngul radica que si és dividit en dos mitats, pel seu costat més llarc, els dos nous rectànguls obtinguts mantenen exactament la mateixa proporció que l'original, o siga que són també rectànguls raïl de 2. És per això que, entre atres usos, és el format utilisat per a dimensionar els fulls de paper segons les normes DIN 476 i ISO 216.

Construcció partint del quadrat: de forma similar al rectàngul áureo, es traça en centre en el punt A, una circumferència que passe pel vèrtiç opost C.

Doble quadrat, aquell els costats del qual estan en la relació 2:1.

Pantalles de televisió. Fins a l'introducció dels monitors d'alta definició, la relació de la qual [ample:alt] habitual és [16:9], els sistemes de televisió convencionals utilisaven rectànguls en la proporció [4:3]. Ya que estes proporcions són fixes, n'hi ha prou en conéixer la mida de la diagonal (normalment expressada en polzadas) per a establir el tamany de la pantalla.

Magnituts geomètriques per a un rectàngul

Donada una figura bidimensional poden definir-se els n-moments d'àrea centrats com:

El 0-moment coincidix en l'àrea, els dos 1-moments es diuen primers moments d'àrea (o moments estàtics) $S_{x} = M_{x}^{(1)}, S_{y} = M_{y}^{(1)}$ són nuls per a qualsevol figura plana. Els 2-moments es diuen segons moments d'àrea (o moments d'inèrcia plans) i per a un rectàngul són:

A on b és la base del rectàngul i h la seua altura.

Rectànguls creuats

Archiu:Crossed rectangles.png

Generació de rectànguls creuats

Un quadrilàter creuat (és dir, que es interseca a sí mateixa) consistix en dos costats oposts d'un quadrilàter junt en les seues dos diagonals (vore antiparalelogramo). De la mateixa manera, un rectàngul creuat és un quadrilàter creuat format per dos costats oposts d'un rectàngul junt en les seues dos diagonals. Té la mateixa disposició de vèrtiços que el rectàngul. Apareix com dos triànguls idèntics en un vèrtiç comú. L'intersecció geomètrica no es considera un vèrtiç pròpiament dit.

Un quadrilàter creuat a voltes s'assembla a un llaç de pajarita o a una palometa. Un marc rectangular d'aram pren la forma d'un quadrilàter creuat quan es fan girar en un espai tridimensional els seus costats curts en sentit opost. Un rectàngul creuat a voltes també es denomina un "huit angular".

L'interior d'un rectàngul creuat pot tindre un densitat poligonal de ± 1 en cada triàngul, depenent de l'orientació (en sentit de les agulles del rellonge o en sentit contrari) en la que es recorrran.

Un rectàngul creuat no és equiangular. La suma de les seues ànguls interiors (dos aguts i dos obtusos), com en qualsevol quadrilàter creuat, és de 720°.^[17]

Un rectàngul i un rectàngul creuat són quadrilàters en les següents característiques en comuna:

Els costats oposts tenen la mateixa llongitut.
Les dos diagonals tenen la mateixa llongitut.
Té dos llínees de simetria de reflexió i simetria rotacional d'orde 2 (180°).

Atres rectànguls

Una cadira de montar té 4 vèrtiços no coplanarios (els vèrtiços alternats d'un ortoedro). És una superfície minimal interior definida com una combinació llineal dels 4 vèrtiços. Este eixemple mostra 4 costats blaus del rectàngul, i les dos diagonals en color vert, tots diagonals de les cares rectangulars del ortoedro.	Archiu:Saddle rectangle example.png

En geometria esfèrica, un rectàngul esfèric és una figura que els seus quatre costats són arcs de círculs màxims, els seus quatre ànguls són iguals i majors de 90°, i els seus arcs oposts tenen la mateixa llongitut.

En geometria elíptica, un rectàngul elíptic és una figura en el pla elíptic que les seues quatre arestes són arcs elíptics, que es tallen en ànguls iguals i majors de 90°, i els seus arcs oposts tenen la mateixa llongitut.

En geometria hiperbòlica, un rectàngul hiperbòlic és una figura en el pla hiperbòlic que les seues quatre arestes són arcs hiperbòlics que es tallen en quatre ànguls iguals menors de 90°, i els arcs oposts dels quals tenen la mateixa llongitut.

Teselados

El rectàngul s'utilisa en molts patrons de teselados periòdics, com per eixemple estos mosaics:

Archiu:Stacked bond.png Unió apilada.	Archiu:Wallpaper group-cmm-1.jpg Unió desplaçada.	Archiu:Wallpaper group-p4g-1.jpg Trenat de cistella.	Archiu:Basketweave bond.svg Trenat de cistella.	Archiu:Herringbone bond.svg Espina de peix.

Quadrat, perfecte, i atres rectànguls

Vore també: Quadratura del quadrat

Archiu:Perfektes Rechteck.svg

Un rectàngul perfecte d'orde 9

Archiu:Smallest perfect squared squares.svg

El quadrat perfecte de menor orde (1) i els tres quadrats perfectes més menuts (2–4) – tots són quadrats simples

Un rectàngul pot ser emmanisat per mig de quadrats, rectànguls, o triànguls. Es diu que el recobriment és Perfecte^[18]^[19] si tots els taulells són semblants, té un número finito de taulells, i no hi ha dos taulells del mateix tamany. Si dos d'estos taulells són del mateix tamany, es diu que el recobriment és imperfecte. En un recobriment perfecte (o imperfecte) triangulado, els triànguls deuen ser rectànguls.

Un rectàngul té costats conmensurables sí i solament sí pot ser recobert per un número finito de quadrats distints.^[18]^[20] Lo mateix és cert si els taulells són triànguls isósceles desiguals.

Els recobriment de rectànguls en atres formes geomètriques que han atret la major atenció són els de poliominós no rectangulars congruents, permetent totes les rotacions i reflexions. També hi ha emmanisats per mig de poliábolos congruents.

Vore també

Referències

↑ «Copia archivada».
↑ Definició de Oblongo. Mathsisfun.com. Recuperat 2011-11-13.
↑ Oblongo - Geometria - Diccionari de Matemàtiques. Icoachmath.com. Recuperat 2011-11-13.
↑ “Poliedres uniformes” (1954). Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Séries A. Mathematical and Physical Sciences 246 (916): 401-450. The Royal Society. doi:10.1098/rsta.1954.0003. ISSN 0080-4614. Bibcode: 1954RSPTA.246..401C.
↑ Michel Helfgott. Geometria plana, Editorial Escola Activa S. A.
↑ Adaptat de A. G. Tsipkin: Manual de matemàtiques per a l'ensenyança mija Editorial Mir Moscou (1985):
↑ Zalman Usiskin and Jennifer Griffin, "The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition", Information Age Publishing, 2008, pp. 34–36 Plantilla:Isbn.
↑ Methods for Euclidean Geometry, MAA, pp. 53–. ISBN 978-0-88385-763-2.
↑ Problemes i equacions.ISSN 2659-9899.Consultat el 23 de juny de 2020.
↑ Juliol Rei Pastor et al. Geometria Analítica
↑ Clemens: "Geometria. En aplicacions i solució de problemes"
↑ Michel Helfgott. Op. cit.
↑ G.M: Bruño. Elements de Geometria
↑ ^14,0 ^14,1 Josefsson Martin (2013). “Five Proofs of an Area Characterization of Rectangles”. Forum Geometricorum 13: 17–21.
↑ Adaptació de la Introducció a la teoria de grups de Alexándrov, Editorial URSS ISBN 9785354011292
↑ An Estendre Classification of Quadrilaterals [1] archivat en Wayback Machine. (Un extracte de De Villiers, M. 1996. Some Adventures in Euclidean Geometry. University of Durban-Westville.)
↑ Stars: A Second Look [2] archivat en Wayback Machine.. (PDF). Retrieved 2011-11-13.
↑ ^18,0 ^18,1 R.L. Brooks, C.A.B. Smith, A.H. Stone and W.T. Tutte(1940).Duke Math. J..7(1)
312–340.doi:10.1215/S0012-7094-40-00718-9.
↑ J.D. Skinner II, C.A.B. Smith and W.T. TutteJ. Combinatorial Theory Series B.80(2)
277–319.doi:10.1006/jctb.2000.1987.
↑ R. Sprague(1940).J. fũr die regne und angewandte Mathematik.182
60–64.

Enllaços externs

Commons

Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre rectànguls.
Rectàngul en MathWorld.
Plantilla:Wikiversidad

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Rectángulo» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] «Copia archivada».

[2] Definició de Oblongo. Mathsisfun.com. Recuperat 2011-11-13.

[3] Oblongo - Geometria - Diccionari de Matemàtiques. Icoachmath.com. Recuperat 2011-11-13.

[4] “Poliedres uniformes” (1954). Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Séries A. Mathematical and Physical Sciences 246 (916): 401-450. The Royal Society. doi:10.1098/rsta.1954.0003. ISSN 0080-4614. Bibcode: 1954RSPTA.246..401C.

[5] Michel Helfgott. Geometria plana, Editorial Escola Activa S. A.

[6] Adaptat de A. G. Tsipkin: Manual de matemàtiques per a l'ensenyança mija Editorial Mir Moscou (1985):

[7] Zalman Usiskin and Jennifer Griffin, "The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition", Information Age Publishing, 2008, pp. 34–36 Plantilla:Isbn.

[8] Methods for Euclidean Geometry, MAA, pp. 53–. ISBN 978-0-88385-763-2.

[pye-9] Problemes i equacions.ISSN 2659-9899.Consultat el 23 de juny de 2020.

[10] Juliol Rei Pastor et al. Geometria Analítica

[11] Clemens: "Geometria. En aplicacions i solució de problemes"

[12] Michel Helfgott. Op. cit.

[13] G.M: Bruño. Elements de Geometria

[Josefsson-14] 14,0 ^14,1 Josefsson Martin (2013). “Five Proofs of an Area Characterization of Rectangles”. Forum Geometricorum 13: 17–21.

[15] Adaptació de la Introducció a la teoria de grups de Alexándrov, Editorial URSS ISBN 9785354011292

[16] An Estendre Classification of Quadrilaterals [1] archivat en Wayback Machine. (Un extracte de De Villiers, M. 1996. Some Adventures in Euclidean Geometry. University of Durban-Westville.)

[17] Stars: A Second Look [2] archivat en Wayback Machine.. (PDF). Retrieved 2011-11-13.

[BSST-18] 18,0 ^18,1 R.L. Brooks, C.A.B. Smith, A.H. Stone and W.T. Tutte(1940).Duke Math. J..7(1)
312–340.doi:10.1215/S0012-7094-40-00718-9.

[19] J.D. Skinner II, C.A.B. Smith and W.T. TutteJ. Combinatorial Theory Series B.80(2)
277–319.doi:10.1006/jctb.2000.1987.

[20] R. Sprague(1940).J. fũr die regne und angewandte Mathematik.182
60–64.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

Plantilla:R/where

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]