Geometria hiperbòlica

La geometria hiperbòlica o lobachevskiana és un model de geometria que satisfà solament els quatre primers postulats de la geometria euclidiana. Encara que és similar en molts aspectes i molts de les teoremes de la geometria euclidiana seguixen sent vàlits en geometria hiperbòlica, no se satisfà el quint postulat de Euclides sobre les paraleles. De la mateixa manera que la geometria euclidiana i la geometria elíptica, la geometria hiperbòlica és un model de curvatura constant:

La geometria euclidiana satisfà els cinc postulats de Euclides i té curvatura zero.
La geometria hiperbòlica satisfà solament els quatre primers postulats de Euclides i té curvatura negativa.
La geometria elíptica satisfà solament els quatre primers postulats de Euclides i té curvatura positiva.

Història

Des de l'antiguetat es varen realisar esforços per deduir el quint postulat d'Euclides, referent a les paraleles, dels atres quatre. Un dels intents més amplis i ambiciosos va ser el de Giovanni Gerolamo Saccheri en el XVIII qui, contradictoriamente va crear lo que podríem considerar model incipient de geometria hiperbòlica. No obstant, Saccheri va creure que no era consistent i no va aplegar a formalisar tots els aspectes del seu treball. També Johann Heinrich Lambert va trobar algunes fòrmules interessants referents a lo que hui cridaríem triànguls de la geometria hiperbòlica, provant que la suma dels ànguls és sempre menor que 180° (o π radianes), la fòrmula de Lambert establia que per a un d'estos triànguls es complia:

$(π - (α + β + γ)) = C A_{α β γ}$

A on:

α + β + γ

, és la suma dels ànguls del triàngul (expressada en radianes).

A_{α β γ}

, és l'àrea total del triàngul.

C

és una constant de proporcionalitat positiva relacionada en la curvatura constant de l'espai hiperbòlic en que es troba immers el triàngul.

Més alvance Carl Friedrich Gauss va treballar en un model similar pero no va publicar els seus resultats. En els anys 1820 dos jóvens matemàtics que treballaven de modo independent, János Bolyai i Nikolai Ivanovich Lobachevsky, varen publicar els seus models pels quals establien la possibilitat d'un tipo de geometria alternativa, totalment consistent, que és el que coneixem com a geometria hiperbòlica.

Introducció

Paraleles en la geometria hiperbòlica

Rectes que passen per P i són hiperparalelas a R

l'axioma de Bolyai, equivalent al quint postulat de Euclides sobre les rectes paraleles, que diu que «donada una recta r i un punt P extern a ella, hi ha una i solament una recta que passa per P que no interseca a 'r''». Comunament, la recta que posseïx esta qualitat rep el nom de "paralela" a través de P.

En geometria hiperbòlica, este postulat resulta fals lloc que sempre hi ha a lo manco dos rectes distintes que passen per P i les quals no intersecan a r. De fet per a la geometria hiperbòlica és possible demostrar una interessant propietat: hi ha dos classes de rectes que no intersecan a la recta r. Siga B un punt que pertany a r tal que la recta PB és perpendicular a r. Considere la recta l que passa per P, tal que l no interseca a r i l'àngul theta entre PB i l (en sentit contrari a les manetes del rellonge, des de PB) és lo més chicotet possible (és dir, qualsevol àngul més chicotet que theta, forçarà a la recta a intersecar a r). Esta (l), és denominada recta hiperparalela (o simplement, recta paralela) en la geometria hiperbòlica.

En forma similar, la recta m que forma el mateix àngul theta entre PB i ella mateixa, pero ara en sentit de les manetes del rellonge des de PB, també serà hiperparalela, pero no pot haver unes atres. Totes les atres rectes que passen per P i que no intersecan a r, formen ànguls més grans que theta en PB i són cridades rectes ultraparalelas (o rectes disjuntamente paraleles). Note que, en haver un número infinit d'ànguls possibles entre θ i 90°, cada u d'estos determinarà dos rectes que passen per P i que són disjuntamente paraleles a r, tindrem llavors, un número infinit de rectes ultraparalelas. Per tant, tenim esta forma modificada del Postulat de les Rectes Paraleles: «En geometria hiperbòlica, donada una recta r i un punt P exterior a r hi ha exactament dos rectes que passen per P, les quals són hiperparalelas a r, i infinites rectes que passen per P i són ultraparalelas a r».

Les diferències entre rectes hiperparalelas i ultraparaleas, també poden ser vistes de la següent forma: la distància entre rectes hiperparalelas tendix a zero mentres un s'allunta infinitament de PB per la recta R. No obstant, la distància entre rectes ultraparalelas no tendix a zero si un s'allunta infinitament de PB per la recta r. L'àngul de paralelisme en la geometria euclidiana és una constant, és dir, qualsevol llongitut BP, determinarà un àngul de paralelisme igual a 90 graus. En la geometria hiperbòlica, l'àngul de paralelisme varia en la que és cridada la funció Π(p). Esta funció, descrita per Nikolai Ivanovich Lobachevsky, produïx un àngul únic de paralelisme per a cada llongitut donada BP. Mentres la llongitut BP es faça més menuda, l'àngul de paralelisme s'acostarà a 90°. Si la llongitut BP incrementa sense llímits, l'àngul de paralelisme s'acostarà a zero. Note que, per este fet, mentres les distàncies es facen més menudes, el pla hiperbòlic es comportarà cada volta més com la Geometria Euclidiana. Per lo tant, a chicotetes escales, un observador en el pla hiperbòlic tindrà dificultats per a donar-se conte de que les distàncies no es troben en un pla euclidiano.

En la geometria euclídea la suma dels ànguls de qualsevol triàngul és sempre 180°. En la geometria hiperbòlica esta suma és sempre menor de 180°, sent la diferència proporcional a l'àrea del triàngul.

Geometria hiperbòlica i física

Podria molt ben succeir que la geometria hiperbòlica fora realment verdadera en el nostre món a escala cosmológica. No obstant, la constant de proporcionalitat entre el dèficit d'àngul per a un triàngul i la seua àrea tindria que ser extraodinariamente chicoteta en este cas, i la geometria euclídea seria una excelent aproximació a esta geometria per a qualsevol escala ordinària.

Models euclídeos de la geometria hiperbòlica

Erro al crear miniatura:

Modele del disc de Poincaré en una teselación {3,7} de rombos truncats.

Existixen quatre models o representacions "euclídeas" de la geometria hiperbòlica: la representació de Klein, el model del Disc de Poincaré, el model del semiespacio de Poincaré i el model de Lorentz. Curiosament els tres primers models varen ser proposts i publicats originalment per Eugenio Beltrami en 1868, no obstant, varen alcançar notorietat per l'us que tant Felix Klein com Henri Poincaré varen fer d'ells, estos dos models són models de la geometria hiperbòlica de dos dimensions, i són generalisables a més dimensions.

La representació de Klein, també coneguda com el model proyectivo del disc o model de Beltrami-Klein, usa l'interior d'un círcul com a pla hiperbòlic, i les cuerdo com a llínees del círcul. Este model té com a ventaja la seua simplicitat, pero com a desventaja que els plans hiperbòlics estan distorsionats.
El model de Poincaré usa també l'interior d'un círcul pla, i en ell les llínees rectes de la geometria hiperbòlica vénen representades per arcs de circumferència que tallen la vora del círcul pla en àngul recte.

Ademés este model és un model de curvatura constant negativa, que admet una representació com varietat riemanniana en un tensor mètric donat per:

$g = a^{2} (d x \otimes d x + \sinh^{2} x d y \otimes d y)$

A on a és una constant relacionada en la curvatura K = -1/a²

Vore també

Referències

Bibliografia

Camp, Norbert i Papadopoulos, Athanase (2012), Notes on hyperbolic geometry, en: Strasbourg Master class on Geometry, pp. 1-182, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, Vol. 18, Zuric: European Mathematical Society (EMS), 461 pp., SBN ISBN 978-3-03719-105-7, DOI 10.4171/105.
Luis Santaló (1961), Geometrias no Euclidianas, EUDEBA.
Robert M. Wald, General Relativity, Chicago University Press, ISBN 0-226-87033-2.
Lee, J.M. Riemannian manifolds: an introduction to curvature. GTM 176. ISBN 0-387-98271-X

Este artícul conté una traducció derivada de «Geometría hiperbólica» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.