Geometria euclidiana

Archiu:Dodecahedron.gif

Geometria euclidiana

La geometria euclidiana és un sistema matemàtic atribuït a l'antic matemàtic grec Euclides, que va descriure en el seu llibre de text sobre geometria: Els Elements. L'enfocament de Euclides consistix en assumir un chicotet conjunt d'axiomas (postulats) intuitivamente atractius i deduir moltes atres proposicions (teoremas) a partir d'ells. Encara que molts dels resultats d'Euclides s'havien expost anteriorment, Euclides va ser el primer en organisar estes proposicions en un sistema llògic en el que cada resultat es prova a partir d'axiomas i teoremas prèviament provats, encara que, durant més de dos mil anys, l'adjectiu "euclidiano" va ser innecessari perque no s'havia concebut un atre tipo de geometria.

Archiu:Scuola di atene 23.jpg

Detalle de L'escola d'Atenes de Rafael que mostra a un matemàtic grec, potser representant a Euclides o Arquímedes, usant un compàs per a dibuixar una construcció geomètrica.

La geometria euclidiana, euclídea o parabòlica és l'estudi de les propietats geomètriques dels espais euclídeos. És aquella que estudia les propietats geomètriques del pla afí euclídeo real i de l'espai afí euclídeo tridimensional real per mig del método sintètic, introduint els cinc postulats d'Euclides.

En ocasions els matemàtics usen les expressions geometria euclídea o geometria euclidiana per a englobar geometria de dimensions superiors en propietats similars. No obstant, en freqüència són sinònims de geometria plana o de geometria clàssica.

També és comú (abusant del llenguage) dir que una geometria és euclidiana si no és no euclidiana, és dir, si en dita geometria es verifica el quint postulat de Euclides. Esta denominació està cada volta més en desús, per la pèrdua d'interés que va tenint el tema de la possibilitat de traçar paraleles a una recta des d'un punt exterior a la mateixa, els axioma d'Euclides semblaven tan intuitivamente obvis (en la possible excepció del postulat de les paraleles) que qualsevol teorema demostrada a partir d'ells es considerava verdader en un sentit absolut, a sovint metafísic.

Hui, no obstant, es coneixen moltes atres geometria no euclidianas auto-consistents, les primeres es varen descobrir a principis de el XIX. Una implicació de la teoria de la relativitat general d'Albert Einstein és que l'espai físic en sí mateixa no és euclidiano, i l'espai euclidiano és una bona aproximació per a ell solament en distàncies curtes (en relació en la força del camp gravitatorio).

Els Elements comença en la geometria plana, que encara s'ensenya en l'escola secundària (bachillerat) com el primer sistema axiomàtic i els primers eixemples de demostracions matemàtiques i geometria sòlida de tres dimensions. Gran part de els Elements establix els resultats de lo que ara es diu àlgebra i teoria de números, explicats en llenguage geomètric.

La geometria euclidiana és un eixemple de geometria sintètica, ya que procedix llògicament d'axiomas que descriuen propietats bàsiques d'objectes geomètrics, com a punts i llínees, a proposicions sobre eixos objectes. Açò contrasta en la geometria analítica, introduïda casi 2000 anys despuix per René Descartes, que usa coordenades per a expressar propietats geomètriques com a fòrmules algebraiques.

Archiu:Oxyrhynchus papyrus with Euclid's Elements.jpg

Fragmente de Els elements de Euclides, escrit en papir, trobat en el jaciment d'Oxirrinco (Egipte).

Interpretacions

• Des d'un punt de vista historiográfico, la geometria euclidiana és aquella geometria que va postular Euclides, en el seu llibre Els elements, deixant al marge les aportacions que es varen fer posteriorment —des d'Arquímedes fins a Jakob Steiner—.
• Segons la contraposició entre método sintètic i método algebraic-analític, la geometria euclidiana seria, precisament, l'estudi per métodos sintètics dels invariantes d'un espai vectorial real de dimensió 3 dotat d'un producte escalar molt concret i precís (el freqüentment denominat «producte escalar habitual»).
• Segons la filosofia del programa de Erlangen (propost pel matemàtic Felix Klein), la geometria euclídea seria l'estudi dels invariantes de les isometrías en un espai euclídeo (espai vectorial real de dimensió finita, dotat d'un producte escalar), en aplicar-los transformacions ortogonals.

Geometria del pla euclídeo

La geometria plana o geometria del pla euclídeo és una part de la geometria que tracta d'aquells elements que els seus punts estan continguts en un pla euclídeo. La geometria plana està considerada part de la geometria euclídea, puix esta estudia els elements geomètrics a partir de dos dimensions.

Des d'un punt de vista més general, el pla euclídeo es caracterisa per ser una varietat riemanniana de dimensió dos de curvatura nula i simplement conexa.

Els elements

Els Elements és principalment una sistematisació de coneiximents previs de geometria. Ràpidament es va reconéixer la seua millora sobre els tractaments anteriors, en el resultat de que va haver poc interés en conservar els anteriors, i ara estan casi tots perduts. Hi ha 13 llibres en els Elements:

Els llibres I–IV i VI: Estos analisen la geometria plana. Es proven molts resultats sobre figures planes, per eixemple, "En qualsevol triàngul, dos ànguls presos junts de qualsevol manera són menors que dos ànguls rectes". (Llibre I proposició 17) i el teorema de Pitágoras "En els triànguls rectànguls, el quadrat del costat que subtiende l'àngul recte és igual als quadrats dels costats que contenen l'àngul recte". (Llibre I, proposició 47).

Els llibres V i VII-X: Tracten de la teoria de números, i els números es tracten geomètricament com a llongituts de segments de llínea o àrees de regions de superfície. S'introduïxen nocions com a número primo i número racional i irracionals. Es demostra que hi ha infinits número primo.

Els llibres XI–XIII: es referixen a la geometria sòlida. Un resultat típic és la relació 1:3 entre el volum d'un con i un cilindre en la mateixa altura i base. Es construïxen els sòlits platònics.

Axioma

Archiu:Title page of Sir Henry Billingsley's first English version of Euclid's Elements, 1570 (560x900).jpg

Portada de Els elements de Euclides, publicada en 1570 per Sir Henry Billingsley.

La presentació tradicional de la geometria euclidiana es fa en un format axiomàtic, en el que totes les teoremes («declaracions verdaderes») deriven d'un chicotet número de axioma. Un sistema axiomàtic és aquell que, a partir d'un cert número de proposicions que es presuponen «evidents» (conegudes com axiomas) i per mig de deduccions llògiques, genera noves proposicions el valor de les quals de veres és també llògic.

Euclides planteja cinc nocions comunes:

1. Dos coses iguals a una tercera, són iguals entre sí.(la propietat transitiva d'una relació euclidiana).
2. Si a coses iguals afegim coses iguals, les totals són iguals.(La propietat de la suma de l'igualtat).
3. Si a coses iguals llevem coses iguals, els restants són iguals.(Propietat d'igualtat de la resta).
4. Les coses que se superponen són iguals.(propietat reflexiva).
5. El tot és major que la part.

Els erudits moderns estan d'acort que els postulats de Euclides no brinden la base llògica completa que Euclides requeria per a la seua presentació, això es deu a que Euclides va usar implícitament algunes nocions adicionals que considerava intuïtives (pero no es definien rigorosament). Els tractaments moderns utilisen conjunts de axioma més extensos i complets. Des de el XIX, es varen fer esforços per definir explícitament totes les assunció necessàries per a desenrollar rigorosament la geometria sense supòsits implícits.

Una de les formulació més conegudes és la que donaria David Hilbert en 1899 en la seua obra Grundlagen der Geometrie ('Fonaments de geometria'), en ella va incloure 21 axioma dividits en cinc grups: axioma d'incidència (3 axioma), axioma d'interrelació o orde (4 axioma), axioma de congruència (6 axioma), axioma de continuïtat i un axioma de paralelisme. Posteriorment es va vore que un dels axioma de Hilbert era redundante, per lo que en realitat bastaven 20 axioma per a desenrollar tota la geometria euclídea. A partir dels axioma de Hilbert sí es pot desenrollar explícitament tota la geometria euclídea sense supòsits adicionals. La formulació de Hilbert inclou com a primitius les nocions de llaure punt, llínea, incidència (punt sobre una llínea), interrelació (relació entre tres punts) i congruència. Ademés esta axiomatisació no assumix que el pla euclídeo siga ${ℝ}^2$ o l'espai euclídeo siga ${ℝ}^3$.

Postulats

Artícul principal → Postulats de Euclides.

Els postulats establixen condicions de l'existència de certs objectes geomètrics. Són propietats simples que es poden prendre com la base de les demés i s'accepten sense demostració.

Euclides va plantejar cinc postulats en el seu sistema:

1. Donats dos punts es pot traçar una recta que els unix.
2. Qualsevol segment pot prolongar-se de manera contínua en qualsevol sentit.
3. Es pot traçar una circumferència en centre en qualsevol punt i de qualsevol ràdio.
4. Tots els ànguls rectes són congruents.
5. Si una recta curta a atres dos formant, a un mateix costat de la secante, dos ànguls interns aguts, eixes dos rectes prolongades indefinidament es tallen del costat en el que estan dits ànguls (vore quint postulat de Euclides).

Archiu:Parallel postulate en.svg

El postulat de les paraleles (Postulat 5): Si dos rectes intersecan a una tercera de tal manera que la suma dels ànguls interns d'un costat és menor que dos ànguls rectes, llavors les dos rectes inevitablement deuen intersecarse en eixe costat si s'estenen molt. suficient.

Este últim postulat, que és conegut com el postulat de les paraleles, va ser reformulat com:

5. Per un punt exterior a una recta, es pot traçar una única paralela a la recta donada.

Per als antics, el postulat de les paraleles semblava menys obvi que els demés. Aspiraven a crear un sistema de proposicions absolutament certes i, per a ells, semblava com si el postulat de la llínea paralela requerira una demostració a partir d'enunciats més simples. Ara se sap que tal demostració és impossible, ya que es poden construir sistemes de geometria consistents (obedint els atres axioma) en els que el postulat de les paraleles és verdader i uns atres en els que és fals. El mateix Euclides sembla haver-ho considerat com cualitativamente diferent dels demés, com ho demostra l'organisació dels Elements, les seues primeres 28 proposicions són les que poden provar-se sense ell.

Es poden formular molts axiomas alternatius que són llògicament equivalents al postulat paralel (en el context dels atres axioma). I d'açò molts geómetras varen intentar deduir-ho dels anteriors. Es poden diferenciar entre varis eixemples, pero ara ho farem en tres, en els que caben dos que varen intentar reduir-ho a l'absurt negant-ho, sorgint dos noves geometria, i un axioma equivalent:

• Geometria elíptica: l'elíptica, també cridada geometria de Riemann o riemanniana (donada una recta i un punt exterior a ella, no existix cap recta que passe pel punt i siga paralela a la recta donada).
• Geometria hiperbòlica: La hiperbòlica o de Lobachevsky (donada una recta, existixen vàries rectes paraleles que passen per un mateix punt exterior a esta).

ya que abdós geometria són consistents, es deduïx que el quint postulat és, en efecte, un postulat que no pot deduir-se dels atres quatre. Estes geometria, en les que el quint postulat no és vàlit, es diuen geometria no euclidianas.

• L'axioma de Playfair: Est establix que "en un pla, a través d'un punt que no està en una llínea recta donada, es pot dibuixar com a molt una llínea que mai es troba en la llínea donada". La clàusula "com a màxim" és tot lo que es necessita, ya que es pot demostrar a partir dels axioma restants que existix a lo manco una llínea paralela.

Llimitacions

Una llimitació del treball de Euclides va ser no reconéixer la possibilitat de sistemes geomètrics perfectament consistents a on el quint postulat no era vàlit, és dir, per a Euclides i els geómetras posteriors fins a el XVIII va passar inadvertida la possibilitat de geometria no euclidianas, fins al treball de Nikolái Lobachevski, Gauss i Riemann.

Si be durant el XIX es va considerar a les geometria no euclidianas un artefacte matemàticament interessant i inclús en cert interés pràctic, pero llimitat, com és el cas de la trigonometria esfèrica usada en astronomia, en cert modo es va admetre que la geometria del espai físic era euclidiana i, per tant, les geometria no euclidianas eren tan sol un artificio abstracte útil per a certs problemes, pero en modo algun descripcions realistes del món. No obstant, el treball d'Albert Einstein va fer vore que entre les necessitats de la física moderna estan les geometria no euclidianas per a descriure, per eixemple, l'espai-temps curve.

Algun dels errors de Euclides va ser ometre a lo manco dos postulats més:

• Dos circumferències els centres de les quals estiguen separats per una distància menor a la suma de les seues ràdios, es tallen en dos punts (Euclides ho utilisa en la seua primera construcció).
• Dos triànguls en dos costats iguals i els ànguls compresos també iguals, són congruents (afirmació equivalent al concepte de moviment, que Euclides usa per a la seua teorema quarta sense definir explícitament).

Aplicacions

Per l'estatus fonamental de la geometria euclidiana en matemàtiques, no és pràctic donar ací més que una mostra representativa d'aplicacions.

• Un topógrafo.
  Un topógrafo.
• el empaque d'esferes s'aplica en una pila de taronges.
  el empaque d'esferes s'aplica en una pila de taronges.
• Un espill parabòlic du rajos de llum paralels a un foc.
  Un espill parabòlic du rajos de llum paralels a un foc.

Com sugerix l'etimologia de la paraula, una de les primeres raons d'interés i també un dels usos actuals més comuns de la geometria és la topografia, i certs resultats pràctics de la geometria euclidiana, com la propietat de l'àngul recte del triàngul 3-4-5, es varen utilisar molt abans de que es provaren formalment. Els tipos fonamentals de mides en la geometria euclidiana són distàncies i ànguls, els quals poden ser medits directament per un topógrafo. Històricament, les distàncies a sovint es medien en cadenes, com la cadena de Gunter, i els ànguls en círculs graduats i, més vesprada, en el teodolit. Una aplicació de la geometria sòlida euclidiana és la determinació d'apanys de empaquetamiento, com el problema de trobar el empaquetamiento d'esferes més eficient en n dimensions. Este problema té aplicacions en la detecció i correcció d'errors. l'òptica geomètrica utilisa la geometria euclidiana per a analisar l'enfocament de la llum per lents i espills.

• La geometria s'utilisa en l'art i l'arquitectura.
  La geometria s'utilisa en l'art i l'arquitectura.

La geometria s'utilisa àmpliament en l'arquitectura.

La geometria es pot utilisar per a dissenyar origami.Alguns problemes de construcció clàssics de la geometria són impossibles usant compàs i regla, pero poden resoldre's usant origami.

Gran part de CAD (disseny assistit per computadora) i CAM (fabricació assistida per computadora) es basa en la geometria euclidiana. La geometria de disseny generalment consta de formes delimitades per plans, cilindres, cons, bous i atres formes similars. En l'actualitat, CAD/CAM és essencial en el disseny de casi tot, inclosos automòvils, avions, barcos i teléfons inteligents. Fa algunes décades, els dibuixants sofisticats deprenien geometria euclidiana prou alvançada, incloses coses com el teorema de Pascal i el teorema de Brianchon, pero en els temps moderns açò ya no és necessari.

• Archiu:Motor partsolutions.gif

Notació i terminologia

Denominació o subjectius que se li otorga als punts i formes

Per a definir la notació dels punts, se li otorga una lletra de l'alfabet en mayúscula. en el cas de la notació de les formes o figures, com a llínees, triànguls i quadrats. es denomina respecte a l'enumeració dels mateixos punts. Cóm eixemple, el triàngul normalment té tres (3) punts A, B i C lo que entre ells donen lloc a tres vèrtiços.

Ànguls complementaris i suplementaris

Els ànguls que tenen com resultat un àngul recte, en la suma dels seus ànguls, se'ls denomina ànguls complementaris. Estos es creen gràcies a una semirrecta que compartix els mateixos vèrtiços, la semirrecta apunta en direcció a l'espai mig dels dos vèrtiços originals. Fent que les semirrecta, entre els dos vèrtiços, siguen infinites.

En el cas dels ànguls que la seua sumixca de com resultat un àngul pla, se'ls denomina ànguls suplementaris. Estos es definixen gràcies a la semirrecta que compartix el mateix vèrtiç, la semirrecta apunta en direcció entre el vèrtiç en un inclinament creant dos ànguls, la suma dels ànguls obtinguts és de 180 graus sexagesimals. La cantitat de semirrecta que caben entre l'espai divisió del vèrtiç és infinita.

Versions modernes de la notació de Euclides

Actualment la terminologia que s'usa per a medir l'àngul esta entre graus i radianes.

En els llibres escolars donen denominació a les rectes (llínees infinites), semirrecta (llínees semi-infinites) i segment de recta (llínea finita de recta). Euclides en lloc de definir que la semirrecta que s'estén fins a l'infinit en una direcció, definint que "si la llínea s'estén a una llongitut suficient". Encara que de tant en tant va mencionar les “llínees infinites”. Una llínea en el llenguage de Euclides es podria definir com a recta o una curva, llavors inicie implementar el terme "llínea recta" quan era necessari.

Sistema de mida i aritmètica

La geometria euclidiana té dos tipos fonamentals de mides: àngul i distància. L'escala d'ànguls és absoluta, i Euclides usa l'àngul recte com la seua unitat bàsica, de modo que, per eixemple, un àngul de 45 graus es denominaria la mitat d'un àngul recte. L'escala de distància és relativa; un elegix arbitrariamente un segment de llínea en una certa llongitut distinta de zero com a unitat, i atres distàncies s'expressen en relació en ell. La suma de distàncies està representada per una construcció en la que un segment de llínea es copia en l'extrem d'un atre segment de llínea per a estendre la seua llongitut, i de manera similar para la resta.

Archiu:Congruence.png

Un eixemple de congruència. Les dos figures de l'esquerra són congruents, mentres que la tercera és similar a elles i la quarta no ho és. Les congruència alteren algunes propietats, com l'ubicació i l'orientació, pero deixen unes atres sense canvis, com la distància i els ànguls. Este últim tipo de propietats es denominen invariantes i estudiar-les és l'essència de la geometria.

Les mides d'àrea i volum es deriven de les distàncies. Per eixemple, un rectàngul en un ample de 3 i una llongitut de 4 té un àrea que representa el producte de 12. Degut a que esta interpretació geomètrica de la multiplicació estava llimitada a tres dimensions, no hi havia forma directa d'interpretar el producte de quatre o més. números, i Euclides va evitar tals productes, encara que estan implícits, per eixemple, en la demostració del llibre IX, proposició 20.

Euclides es referix a un parell de llínees, o un parell de figures planes o sòlides, com "iguals" (ἴσος) si les seues llongituts, àrees o volums són iguals respectivament, i de manera similar per als ànguls. El terme més fort " congruent " es referix a l'idea de que una figura completa té el mateix tamany i forma que una atra figura. Alternativament, dos figures són congruents si una es pot moure damunt de l'atra per a que coincidixca exactament. (Es permet donar-li el regrés). Aixina, per eixemple, un rectàngul de 2x6 i un rectàngul de 3x4 són iguals, pero no congruents, i la lletra R és congruent en la seua image especular. Les figures que serien congruents llevat pels seus diferents tamanys es denominen similars. Els ànguls corresponents en un parell de figures similars són congruents i els costats corresponents són proporcionals entre sí.

Treball posterior

Arquímedes i Apolonio

Archiu:Archimedes sphere and cylinder crop.png

Una esfera té 2/3 del volum i l'àrea superficial del cilindre que la circumscriu. Una esfera i un cilindre varen ser colocats sobre la tomba de Arquímedes a petició seua.

Arquímedes (c. 287 a. C.-c. 212 a. C.), una figura colorida sobre la que es registren moltes anècdotes històriques, és recordat junt en Euclides com un dels més grans matemàtics antics. Encara que Euclides va posar els fonaments del seu treball, es creu que el seu treball, a diferència del de Euclides, va anar completament original. Va demostrar equacions per als volums i àreas de vàries figures en dos i tres dimensions, i va enunciar la propietat de Arquímedes dels números finitos.

Apolonio de Perge (c. 262 a. C.-c. 190 a. C.) és conegut principalment per la seua investigació de les seccions còniques.

XVII: Descartes

Archiu:Frans Hals - Portret van René Descartes.jpg

René Descartes. Retrat segons Frans Hals, 1648.

René Descartes (1596-1650) va desenrollar la geometria analítica, un método alternatiu per a formalisar la geometria que es va centrar en convertir la geometria en àlgebra.

En este enfocament, un punt en un pla està representat pels seus coordenades cartesianas ( x, i ), una llínea està representada per la seua equació, i aixina successivament.

En l'enfocament original de Euclides, el teorema de Pitágoras es deriva dels axioma de Euclides. En l'enfocament cartesiano, els axioma són els axioma de l'àlgebra, i l'equació que expressa la teorema de Pitágoras és llavors una definició d'un dels térmens dels axioma de Euclides, que ara es consideren teoremes.

L'equació

$|PQ|=\surd (p_x-q_x{)}^2+(p_y-q_y{)}^2$

Definix la distància entre dos punts P = ( p x, p i ) i Q = ( q x, q i ) es coneix com la mètrica euclidiana, i atres mètriques definixen geometria no euclidianas.

En térmens de geometria analítica, la restricció de la geometria clàssica a les construccions en compàs i regla significa una restricció a les equacions de primer i segon orde, per eixemple, i = 2 x + 1 (una llínea), o x 2 + i 2 = 7 (un círcul).

També en el XVII, Girard Desargues, motivat per la teoria de la perspectiva, va introduir el concepte de punts, llíneas i plans idealizados en l'infinit. El resultat es pot considerar com un tipo de geometria generalisada, geometria proyectiva, pero també es pot utilisar per a produir proves en geometria euclidiana ordinària en les que es reduïx el número de casos especials.

XVIII

Els geómetras de el XVIII es varen esforçar per definir els llímits del sistema euclidiano. Molts varen intentar en va provar el quint postulat dels primers quatre. Per a 1763, s'havien publicat a lo manco 28 proves diferents, pero totes varen resultar incorrectes.

Archiu:Squaring the circle.svg

Quadratura del círcul: les àrees d'este quadrat i este círcul són iguals. En 1882, es va demostrar que esta figura no es pot construir en un número finito de passos en una regla i un compàs idealizados.

Abans d'este periodo, els geómetras també varen intentar determinar qué construccions es podien conseguir en la geometria euclidiana. Per eixemple, el problema de la trisecció d'un àngul en regla i compàs és un que es dona naturalment dins de la teoria, ya que els axioma es referixen a operacions constructives que es poden realisar en eixes ferramentes. No obstant, sigles d'esforços no varen conseguir trobar una solució a este problema, fins que Pierre Wantzel va publicar una prova en 1837 de que tal construcció era impossible. Atres construccions que varen resultar impossibles inclouen doblar el gaveta i quadrar el círcul. En el cas de duplicar la gaveta, l'impossibilitat de la construcció s'origina en el fet de que el método de compàs i regla involucra equacions l'orde de les quals és una potència integral de dos, mentres que duplicar una gaveta requerix la solució d'una equació de tercer orde.

Euler va discutir una generalisació de la geometria euclidiana cridada geometria afí, que reté el quint postulat sense modificar mentres debilita els postulats tres i quatre d'una manera que elimina les nocions d'àngul (per lo que els triànguls rectànguls perden sentit) i d'igualtat de llongitut dels segments de llínea en general ( per lo que els círculs perden sentit) mentres es conserven les nocions de paralelisme com una relació d'equivalència entre llínees, i l'igualtat de llongitut dels segments de llínea paralels (per lo que els segments de llínea seguixen tenint un punt mig).

XIX

A principis de el XIX, Carnot i Möbius varen desenrollar sistemàticament l'us d'ànguls en signe i segments de llínea com una forma de simplificar i unificar els resultats.

Archiu:Comparison of geometries.svg

Comparació de geometria elíptica, euclidiana i hiperbòlica en dos dimensions

Dimensions superiors

En la década de 1840, William Rowan Hamilton va desenrollar els cuaterniones i John T. Greus i Arthur Cayley els octoniones. Estes són àlgebra normadas que amplien els número complejo. Posteriorment es va entendre que els cuaterniones són també un sistema geomètric euclidiano en quatre coordenades cartesianas racionals. Cayley va usar cuaterniones per a estudiar les rotacions en l'espai euclidiano de 4 dimensions.

A mitan de sigle, Ludwig Schläfli va desenrollar el concepte general del espai euclidiano, estenent la geometria euclidiana a dimensions superiors. Ell va definir els poliesquemas, més tarde cridats politopos, que són els anàlecs de dimensions superiors dels polígons i els poliedres. Va desenrollar la seua teoria i va descobrir tots els politopos regulars, és dir, els n Anàlecs bidimensionales de polígons regulars i sòlits platònics. Va trobar que hi ha sis politopos convexos regulars en la dimensió quatre i tres en totes les dimensions superiors.

4 politopos convexos regulars

Nomene	Família	Símbol de Schläfli	Vèrtiços	Arestes	Cares	Celes	Figures de vèrtiços	Politopo dual	Image
pentácoron	simplex	{3,3,3}	5	10	10 triànguls	5 tetraedres	tetraedres	(auto-dual)	Archiu:Cell5-4dpolytope.png
octácoron, teseracto	politopo de mida	{4,3,3}	16	32	24 quadrats	8 gavetas	tetraedres	16-cell	Archiu:Hypercubestar.svg
hexadecacoron o 16-cell	politopo de creuament	{3,3,4}	8	24	32 triànguls	16 tetraedres	octaedres	teseracto	Archiu:Cell16-4dpolytope.svg
icositetracoron o 24-cell		{3,4,3}	24	96	96 triànguls	24 octaedres	gavetas	(auto-dual)	Archiu:Cell24-4dpolytope.png
hecatonicosacoron o 120-cell		{5,3,3}	600	1200	720 pentàgons	120 dodecaedres	tetraedres	120-cell	Archiu:Cell120-4dpolytope.png
hexacosicoron o 600-cell		{3,3,5}	120	720	1200 triànguls	600 tetraedres	icosaedres	600-cell	Archiu:Cell600-4dpolytope.png

Schläfli va realisar este treball en una relativa obscuritat i es va publicar en la seua totalitat sol póstumamente en 1901. Va tindre poca influència fins que va ser redescubierto i completament documentat en 1948 per HSM Coxeter.

En 1878 William Kingdon Clifford va introduir lo que ara es denomina àlgebra geomètrica, unificant els cuaterniones d'Hamilton en l'àlgebra d'Hermann Grassmann i revelant la naturalea geomètrica d'estos sistemes, especialment en quatre dimensions. Les operacions del àlgebra geomètrica tenen l'efecte de reflectir, rotar, traslladar i mapear els objectes geomètrics que s'estan modelant a noves posicions. El bou de Clifford en la superfície de les 3 esferes és la incrustación plana més simple i simètrica del producte cartesiano de dos círculs (en el mateix sentit que la superfície d'un cilindre és "plana").

Archiu:Clifford-torus.gif

Bou de Clifford

Axiomatisació rigorosa de la geometria

Si be la formulació de Euclides explicitava cinc axioma, usava atres nocions intuïtives que no definien. En el XIX es va observar que algunes demostracions només podien formalisar-se de manera rigorosa si s'afegien els supòsits implícits que va usar Euclides. Varen existir moltes contribucions, encara que tal volta una de les més influents seria la de Moritz Pasch que influiria notoblemente en David Hilbert que en Grundalgen der Geometrie ('Fonaments de la geometria') va presentar una colecció de axioma rigorosa en més d'una dotzena de axioma explícits. (vore axioma de Hilbert).

Geometria no euclidiana

El desenroll més influent del sigle en geometria va ocórrer quan, al voltant de 1830, János Bolyai i Nikolai Ivanovich Lobachevsky varen publicar per separat un treball sobre geometria no euclidiana, en el que el postulat paralel no és vàlit. Ya que la geometria no euclidiana és demostrablemente relativament consistent en la geometria euclidiana, el postulat de les paraleles no pot demostrar-se a partir dels atres postulats.

En el XIX, també es va donar conte de que els dèu axioma i les nocions comunes de Euclides no són suficients per a provar totes les teoremes establides en els Elements. Per eixemple, Euclides va assumir implícitament que qualsevol llínea conté a lo manco dos punts, pero esta suposició no pot provar-se a partir dels atres axioma i, per lo tant, deu ser un axioma en sí mateixa. La primera prova geomètrica en els Elements, que es mostra en la figura de dalt, és que qualsevol segment de llínea és part d'un triàngul; Euclides construïx açò de la forma habitual, dibuixant círculs al voltant d'abdós extrems i prenent la seua intersecció com el tercer vèrtiç.. Els seus axioma, no obstant, no garantisen que els círculs realment es intersequen, perque no afirmen la propietat geomètrica de continuïtat, que en térmens cartesianos és equivalent a la propietat de completitud dels número real. A partir de Moritz Pasch en 1882, s'han propost molts sistemes axiomàtics millorats per a la geometria, sent els més coneguts els d'Hilbert, George Birkhoff, i Tarski.

XX i relativitat

Archiu:1919 eclipse negative.jpg

Una refutació de la geometria euclidiana com a descripció de l'espai físic. En una prova de 1919 de la teoria general de la relativitat, les estreles (marcades en llínees horisontals curtes) varen ser fotografiades durant un eclipse solar. Els rajos de llum de les estreles varen ser desviats per la gravetat del Sol en el seu camí cap a la Terra. Açò s'interpreta com a evidència a favor de la predicció d'Einstein de que la gravetat provocaria desviacions de la geometria euclidiana.

La teoria de la relativitat especial d'Einstein implica un espai-temps de quatre dimensions, l'espai de Minkowski, que no és euclidiano. Açò demostra que les geometria no euclidianas, que es varen introduir uns anys abans per a demostrar que el postulat de les paraleles no es pot provar, també són útils per a descriure el món físic.

No obstant, la "part de l'espai" tridimensional de l'espai de Minkowski seguix sent l'espai de la geometria euclidiana. Este no és el cas de la relativitat general, per a la qual la geometria de la part espacial de l'espai-temps no és la geometria euclidiana. Per eixemple, si un triàngul es construïx en tres rajos de llum, llavors, en general, els ànguls interiors no sumen 180 graus per la gravetat. Un camp gravitacional relativament dèbil, com el de la Terra o el del Sol, es representa per mig d'una mètrica que és aproximadament, pero no exactament, euclidiana. Fins a el XX no hi havia tecnologia capaç de detectar estes desviacions en els rajos de llum de la geometria euclidiana, pero Einstein va predir que tals desviacions existirien. Més vesprada varen ser verificats per observacions tals com la llaugera desviació de la llum de les estreles per part del Sol durant un eclipse solar en 1919, i tals consideracions són ara una part integral del software que eixecuta el sistema GPS.

Tractament de l'infinit

Objectes infinits

Euclides a voltes distinguia explícitament entre "llínees finitas" (p. eix., Postulat 2) i "llínees infinites" (llibre I, proposició 12). No obstant, normalment no feya tals distincions a menos que anaren necessàries. Els postulats no es referixen explícitament a llínees infinites, encara que, per eixemple, alguns comentaristes interpreten el postulat 3, existència d'un círcul en qualsevol ràdio, com implicant que l'espai és infinit.

La noció de cantitats infinitesimals havia segut prèviament discutida extensament per l'Escola Eleática, pero ningú havia pogut posar-les sobre una base llògica ferma, ocorrent paradoxes com la paradoxa de Zenón que no havien segut resoltes a satisfacció universal. Euclides va usar el método d'agotament en lloc dels infinitesimals.

Els comentaristes antics posteriors, com Proclo (410–485 d. C.), varen tractar moltes preguntes sobre l'infinit com a qüestions que exigien prova i, per eixemple, Proclo va afirmar provar la divisibilidad infinita d'una llínea, basant-se en una prova per contradicció en la que va considerar els casos. d'número par i impars de punts que ho constituïxen.

A principis de el XX, Otto Stolz, Paul du Bois-Reymond, Giuseppe Veronese i uns atres varen produir un treball controvertit sobre models no arquimedianos de la geometria euclidiana, en els que la distància entre dos punts pot ser infinita o infinitesimal, en el Newton – Sentit de Leibniz. Cinquanta anys despuix, Abraham Robinson va proporcionar una base llògica rigorosa per al treball de Veronese.

Processos infinits

Una de les raons per les que els antics consideraven que el postulat de les paraleles era menys segur que els demés és que verificar-ho físicament requeriria que s'inspeccionaren dos llínees per a verificar que mai es creuaren, inclús en algun punt molt distant, i esta inspecció podria prendre una cantitat infinita de temps.

La formulació moderna de prova per inducció no es va desenrollar fins a el XVII, pero alguns comentaristes posteriors la consideren implícita en algunes de les proves d'Euclides, per eixemple, la prova de l'infinitud dels número primo.

Les supostes paradoxas que involucren séries infinites, com la paradoxa de Zenón, són anteriors a Euclides. Euclides va evitar tals discussions, donant, per eixemple, l'expressió de les sumes parcials de la série geomètrica en IX sense comentar sobre la possibilitat de deixar que el número de térmens es fera infinit.

Euclidiano i euclídeo

Archiu:EuclidStatueOxford.jpg

Estàtua de Euclides feta per Joseph Durham, en el Museu Natural d'Història de l'Universitat d'Oxford.

Encara que des del punt de vista llingüístic abdós formes tenen el mateix significat, fer referència a alguna cosa pertanyent o relatiu al matemàtic grec Euclides, la Real Acadèmia Espanyola solament adopta com a correcta la paraula «euclidiano», mentres que no arreplega «euclídeo».

Vore també

• [[Archiu:{{#switch:Matemàtica|20px|Vore el portal sobre Matemàtica]] Portal:Matemàtica. Contingut relacionat en Matemàtica.
• [[Archiu:{{#switch:Geometria|20px|Vore el portal sobre Geometria]] Portal:Geometria. Contingut relacionat en Geometria.
• Espai euclídeo
• Geometria clàssica
• Geometria no euclidiana
• Teorema de la palometa

Enllaços externs

• Geometria euclídea
• Geometria euclídea