Teorema de Brianchon

Teorema de Brianchon

Teorema de Brianchon

En geometria, la teorema de Brianchon, nomenat aixina en honor a Charles Julien Brianchon (1783-1864), establix lo següent:

Siga ABCDEF un hexàgon format per sis rectes tangentes d'una secció cònica. Llavors, els segments AD, BE, CF es intersecan en un sol punt P.

El punt d'intersecció P es denomina punt de Brianchon.

La teorema de Brianchon es complix en el pla afí i en el pla proyectivo real. No obstant, el seu enunciat en el pla afí pot ser menys informatiu i més complicat que en el pla proyectivo. Considere's, per eixemple, el cas de cinc rectes tangentes a una paràbola. Poden ser considerardas com cinc dels sis costats d'un hexàgon, sent el costat restant la recta de l'infinit; no obstant, no hi ha tal recta en el pla afí (ni en el pla proyectivo a menos que un trie una recta per a eixercitar eixe paper). Una recta que vaja des d'un vèrtiç al vèrtiç opost seria llavors una recta paralela a una de les cinc rectes tangentes. La teorema de Brianchon per al pla afí no informaria d'una situació aixina.

El teorema dual d'esta teorema és el teorema de Pascal, que té excepcions en el pla afí pero no en el proyectivo.

La teorema de Brianchon es pot demostrar per mig del concepte d'eix radical o la reciprocación.

Relació en el Teorema de Pascal

Teorema de Pascal. Recta de Pascal OPQ de l'hexàgon ABCDEF inscrit en una elipse.

Teorema de Brianchon. El punt de Brianchon.

Brianchon va demostrar la teorema que du el seu nom:

"En qualsevol hexàgon circumscrit a una cònica, les tres diagonals es tallen en el mateix punt" (el punt de la cònica).

Les teoremes de Pascal i Brianchon ocupen una posició clau en l'estudi de les còniques des del punt de vista proyectivo. Formen, també, el primer eixemple clar d'un parell de teoremes duals important.

Dos teoremes es diuen duals si es transforma un en l'atre quan tots els elements i totes les operacions se substituïxen per les seues duals corresponents. En la geometria plana el punt i la llínea recta es denominen elements duals. Dibuixar una llínea a través d'un punt en una llínea i marcar un punt en una llínea són operacions duals. La naturalea dual de les teoremes de Pascal i Brianchon és evident si es formulen de la següent manera:

• Teorema de Pascal: "daus sis punts en una cònica, prolonguen-se els costats oposts dos a dos fins que es tallen. Llavors els tres punts obtinguts per l'intersecció estan situats en una mateixa llínea recta."

• Teorema de Brianchon: "donades sis tangentes a una cònica, creuen-se dos a dos determinant sis punts d'intersecció. Llavors les tres llínees rectes que unixen estos punts oposts es creuen en un mateix punt."

Estes relacions entre els punts i les llínees rectes d'un con més vesprada varen ser explotades eficaçment per Jean Victor Poncelet (1788-1867). Entre els primers descobriments realisats per Poncelet va haver un que va fer en colaboració en Brianchon i que es va publicar en un artícul firmat en els Annales de Gergonne de 1820-1821. En este artícul Brianchon i Poncelet aportaven una prova de la teorema que establix que:

"La circumferència que passa a través dels peus de les perpendicular, baixats pels vèrtiços d'un triàngul en costats oposts, també passa a través dels punts de la mitat d'estos costats, aixina com pels punts de la mitat dels segments que unixen els vèrtiços en el punt d'intersecció de la perpendicular",

és dir, en la circumferència dels nou punts (vore la figura) pels punts D, I i F, el peu de les altures relatives dels tres costats del triàngul, pansa a través dels punts H, I i G, que són els punts mijos dels costats del triàngul. Ademés, el círcul també passarà a través dels punts L, M i N punts mijos dels segments AO, BO i CO.