Pla proyectivo real

Archiu:ProjectivePlaneAsSquare.svg El polígon fonamental del pla proyectivo

Archiu:MöbiusStripAsSquare.svg La banda de Möbius en una sola vora, pot tancar-se en un pla proyectivo pegant junts les vores obertes opostes

Archiu:KleinBottleAsSquare.svg En comparació, la botella de Klein és una tira de Möbius tancada en un cilindre

En matemàtiques, el pla proyectivo real és un eixemple d'una varietat bidimensional compactar no orientable; en atres paraules, una superfície unilateral. No es pot embeber en un espai tridimensional estàndart sense intersecarse. Té aplicacions bàsiques en geometria, ya que la construcció comuna del pla proyectivo real coincidix en la de l'espai de rectes en R³ que passen per l'orige.

El pla també es descriu a sovint topológicament, en térmens d'una construcció basada en la banda de Möbius: si es poguera pegar la vora (simple) de la tira de Möbius en la direcció correcta, s'obtindria el pla proyectivo (lo que no és possible en l'espai tridimensional sense que la superfície es interseque en si mateixa). De manera equivalent, pegar un disc a lo llarc del llímit de la tira de Möbius dona el pla proyectivo. Topológicament, té la característica de Euler 1, i per lo tant, es tracta d'un semigenus (gènero no orientable, gènero de Euler) de valor 1.

Ya que la banda de Möbius, a la seua volta, pot construir-se a partir d'un quadrat pegant dos dels seus costats, el pla proyectivo real pot representar-se com un quadrat unitari (és dir, [0, 1] × [0,1]) en els seus costats identificats per les següents relaciones d'equivalència:

(0, i ) (1, 1 - i )   per a 0   ≤   i   ≤   1

i

( x, 0) (1 - x, 1)   per a 0   ≤ x ≤ 1,

com en el diagrama de l'esquerra que es mostra més avall.

Eixemples

La geometria proyectiva no té que vore necessàriament en la curvatura i el pla proyectivo real pot retortillar-se i colocar-se en el pla euclídeo o en l'espai tridimensional de moltes maneres diferents. Alguns dels eixemples més importants es descriuen a continuació.

El pla proyectivo no es pot incrustar (sense intersecció) en l'espai euclídeo tridimensional. La prova de que el pla proyectivo no s'incrusta en l'espai euclidiano tridimensional és la següent: suponent que s'incruste, uniria una regió compacta en l'espai euclídeo tridimensional segons el teorema de la curva generalisada de Jordan. El camp vectorial normal de l'unitat que apunta cap a fòra donaria una orientació del llímit de la varietat, pero el llímit seria el pla proyectivo, que no és orientable. Açò és una contradicció, per lo que la suposició inicial de que sí és possible incrustar-ho deu ser falsa.

L'esfera proyectiva

Considere's una esfera, i siguen les seues círculs màxims les "llínees rectes" de la superfície, establint ademés la condició de que els parells de punts antipodales es consideren els "punts" de la superfície. És fàcil verificar que este sistema complix els axioma requerits per a ser un pla proyectivo:

• Qualsevol parell de círculs màxims distints es troben en un parell de punts antipodales; i
• Qualssevol dos parells distints de punts antipodales es troben en un únic círcul màxim.

Si s'identifica cada punt de l'esfera en el seu punt antipodal, s'obté una representació del pla proyectivo real en la que els "punts" del pla proyectivo són realment punts. Açò significa que el pla proyectivo és l'espai cocient de l'esfera obtingut en dividir-la en classes baixe la relació d'equivalència , a on x i si i = − x. Este espai cocient de l'esfera és homeomorfo en la colecció de totes les llínees que passen per l'orige en R³.

L'aplicació cocient de l'esfera en el pla proyectivo real és, de fet, un recobriment de dos làmines (és dir, dos a un). Es deduïx que el grup fonamental del pla proyectivo real és el grup cíclico d'orde 2; és dir, el conjunt dels sancers expressats en mòdul 2. Es pot prendre el bucle AB de la figura de dalt com a generador.

L'hemisferi proyectivo

Degut a que l'esfera recobrix el pla proyectivo real dos voltes, el pla pot representar-se com un hemisferi tancat al voltant de la vora del qual s'identifiquen punts oposts similars.

La superfície de Boy: una immersió

El pla proyectivo pot sumergir-se (els veïnats locals de l'espai font no tenen auto-interseccions) en 3 espais. La superfície de Boy és un eixemple d'immersió.

Els eixemples polièdrics deuen tindre a lo manco nou cares.

Superfície romana

Archiu:Steiner's Roman Surface.gif

Una animació de la superfície romana

Archiu:Tetrahemihexahedron.png

El tetrahemihexaedro és una representació polièdrica del pla proyectivo real

La superfície romana de Steiner és un mapa més degenerado del pla proyectivo en l'espai tridimensional, que conté una gorra creuada.

Una representació polièdrica és el tetrahemihexahedro, que té la mateixa forma general que la superfície romana de Steiner, que es mostra ací.

Hemipoliedros

Artícul principal → Hemipoliedros.

Mirant en la direcció oposta, certs politopos regulars abstractes - hemicubo, hemidodecaedro i hemicosaedro - poden construir-se com a figures regulars en el pla proyectivo (vore també poliedres proyectivos).

Proyeccions planes

S'han descrit vàries proyeccions planes o aplicacions del pla proyectivo. En 1874, Klein va descriure l'aplicació següent:

$k(x,y)={(1+x^2+y^2)}^{\frac{1}{2}}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

La proyecció central de l'hemisferi proyectivo sobre un pla produïx el pla proyectivo infinit habitual, que es descriu a continuació.

Disc en gorra creuada

S'obté una superfície tancada pegant un disc a una gorra creuada. Esta superfície es pot representar paramétricamente per mig de les següents equacions:

$\begin{array}{cc}X(u,v)& =(r(1+\cos v)\cos u,r(1+\cos v)\sin u,-\tanh (u-\pi )r\sin v)\end{array}$

a on o i v varien de 0 a 2π.

Estes equacions són similars a les d'un bou. La Figura   1 mostra un disc en una gorra creuada tancat.

Archiu:CrossCapTwoViews. caps block 7

Figura 1. Dos vistes d'un disc en una gorra creuada

Un disc en una gorra creuada té un pla de simetria que passa a través del seu segment de llínea de punts dobles. En la figura 1, el disc en la gorra creuada es veu des de dalt del seu pla de simetria z = 0, pero es voria igual si s'observa des d'avall.

Un disc en una gorra creuada pot obrir-se a lo llarc del seu pla de simetria, mentres s'assegure que no es tallen cap dels seus punts dobles. El resultat es mostra en la Figura   2)

Archiu:CrossCapSlicedOpen. caps block 8

Figura 2. Dos vistes d'un disc en una gorra creuada que s'ha obert despuix de seccionar-se.

Una volta que es faça esta excepció, es vorà que el disc en les gorres creuades és homeomorfo a un disc d'auto intersecció, com es mostra en la Figura   3)

Archiu:SelfIntersectingDisk. caps block 9

Figura 3. Dos vistes alternatives d'un disc d'auto intersecció.

El disc d'auto-intersecció és homeomorfo a un disc ordinari. Les equacions paramètriques del disc d'auto intersecció són:

$\begin{array}{cc}X(u,v)& =rv\cos 2u,\\ Y(u,v)& =rv\sin 2u,\\ Z(u,v)& =rv\cos u,\end{array}$

a on o varia de 0 a 2π i v varia de 0 a 1.

Proyectant el disc auto-intersecante en el pla de simetria (z = 0 en la parametrización donada anteriorment) que passa solament a través dels punts dobles, el resultat és un disc ordinari que es repetix (es duplica sobre sí mateixa).

El pla z = 0 talla el disc auto intersecante en un parell de discs que són reflexos especulares entre sí. Els discs tenen centres en l'orige.

Ara, consideren-se les vores dels discs (en v = 1). Els punts en la vora del disc auto intersecante vénen en parells, que són reflexos entre sí sobre el pla z = 0.

Es forma un disc en una gorra creuada en identificar estos parells de punts, fent-los equivalents entre sí. Açò significa que un punt en paràmetros (o, 1) i coordenades $(r\cos 2u,r\sin 2u,r\cos u)$ s'identifica en el punt (o+π, 1) les coordenades del qual són $(r\cos 2u,r\sin 2u,-r\cos u)$. Pero açò significa que els parells de punts oposts en la vora del disc ordinari (equivalent) s'identifiquen entre sí; aixina és com es forma un pla proyectivo real a partir d'un disc. Per lo tant, la superfície que es mostra en la Figura 1 (gorra creuada en disc) és topológicamente equivalent al pla proyectivo real RP².

Coordenades homogénees

Els punts en el pla es poden representar per mig de coordenades homogénees. Un punt té coordenades homogénees [ x : i : z ], a on les coordenades [ x : i : z ] i [ tx : ty : tz ] es considera que representen el mateix punt, per a tots els valors distints de zero de t. Els punts en coordenades [ x : i : 1] són el pla real habitual, denominat part finita del pla proyectivo, i els punts en coordenades [x : i : 0], cridats punts en l'infinit o punts ideals, constituïxen una llínea anomenada la llínea de l'infinit. Les coordenades homogénees [0 : 0 : 0] no representen cap punt.

Les llínees rectes en el pla també es poden representar per mig de coordenades homogénees. Una llínea proyectiva corresponent al pla ax + by + cz = 0 en R³ té les coordenades homogénees (a : b : c ). Per lo tant, estes coordenades tenen la relació d'equivalència (a : b  : c) = (dona : db : dc) para tots els valors distints de zero de d. Per lo tant, una equació diferent de la mateixa llínea dax + dby + dcz = 0 dona les mateixes coordenades homogénees. Un punt [x : i : z] es troba en una llínea recta (a : b : c) si ax + by + cz = 0. Per lo tant, llínees rectes en coordenades (a : bi : c) a on a, i  b no són abdós 0, corresponen a les rectes en el pla real habitual, perque contenen punts que no estan en l'infinit. La recta en coordenades (0 : 0 : 1) és la recta de l'infinit, ya que els únics punts en ella són aquells en   z = 0.

Punts, llínees i plans

Archiu:Proj geom1. caps block 11

Una llínea en P² pot ser representada per l'equació ax + by + cz = 0. Si es tracten a, b i c com el vector columna ℓ i x, i, z com el vector columna x, llavors l'equació anterior es pot escriure en forma matricial com:

x ^T ℓ = 0 o ℓ ^T x = 0.

Usant notació vectorial, es pot escriure x &x22C5; ℓ = 0 o ℓ &x22C5; x = 0.

L'equació k(x^Tℓ) = 0 (a on k és un escalar distint de zero) agrana un pla que passa per zero en R³, i k(x) agrana una recta, novament passant per zero. El pla i la recta són subespacios llineals en R³, que sempre passen per zero.

Punts ideals

En P², l'equació d'una recta és ax + by + cz = 0 i esta equació pot representar una llínea en qualsevol pla paralel al pla x multiplicant l'equació per k.

Si z = 1 es té una coordenada homogénea normalisada. Tots els punts que tenen z = 1 creen un pla. Suponga's que s'està mirant eixe pla (des d'una posició més alluntada de l'eix z i mirant cap a l'orige) i hi ha dos llínees paraleles dibuixades en el pla. Des de la posició de l'observador (donades les seues capacitats visuals) solament és possible vore gran part del pla, que es representa com l'àrea delineada en roig en el diagrama. Si es produïx un alluntament del pla a lo llarc de l'eix z (encara mirant cap a arrere en sentit a l'orige), es pot vore una major part del pla. En el camp de visió, els punts originals s'han mogut. Es pot reflectir este moviment dividint la coordenada homogénea per una constant. En l'image adjacent, s'ha dividit entre 2, per lo que el valor de z ara es convertix en 0,5. Si es camina lo suficientment llunt, lo que s'està veent es convertix en un punt en la distància. A mida que s'està cada volta més llunt, es divisen més i més llínees paraleles. Les llínees rectes es trobaran en una llínea en l'infinit (una llínea que passa per zero en el pla en z = 0). Les llínees en el pla quan z = 0 són punts ideals. El pla en z = 0 és la llínea de l'infinit.

El punt homogéneu (0, 0, 0) és a on van tots els punts reals quan es mira el pla des d'una distància infinita, una llínea en el pla z = 0 és a on es creuen les llínees paraleles.

Dualitat

Archiu:Projective geometry diagram 2 es.svg

En l'equació x^Tℓ = 0 hi ha dos vectores columna. Es pot mantindre un de constant i variar l'atre. Si es manté el punt x constant i es varien els coeficients ℓ es creen noves llínees rectes que passen pel punt. Si es mantenen constants els coeficients i es varien els punts que satisfan l'equació, també es crea una recta. Es considera x com un punt, perque els eixos que s'estan utilisant són x, i, i z. Si, en canvi, es representen els coeficients usant l'eix marcat a, b, c els punts es convertirien en rectes i les rectes es convertirien en punts. Si es demostra alguna cosa en les senyes medides sobre els eixos marcats en x, i, i z, es pot usar el mateix argument per a les senyes traçades sobre els eixos marcats en a, b i c. Esta propietat es denomina dualitat.

Rectes que unixen punts i intersecció de rectes (dualitat)

L'equació x^Tℓ = 0 calcula el producte intern de dos vectores columna. El producte intern de dos vectores és zero si els vectores són ortogonals. En P², la recta entre els punts x₁ i x₂ pot representar-se com un vector columna ℓ que satisfà les equacions x₁^Tℓ = 0 i x₂^Tℓ = 0, o en atres paraules, un vector columna ℓ que és ortogonal a x₁ i x₂. El producte creuat permet calcular dit vector: la recta que unix dos punts té coordenades homogénees donades per l'equació x₁ × x₂. L'intersecció de dos rectes es pot trobar de la mateixa manera, usant la dualitat, com el producte creuat dels vectores que representen les llínees, ℓ₁ × ℓ₂.

Vore també

• Espai proyectivo real
• Espai proyectivo
• Desigualtat de Pu per al pla proyectivo real
• Pla proyectivo pla

Bibliografia

• Coxeter, H.S.M. (1955), The Real Projective Plane, 2nd ed. Cambridge: At the University Press.
• Reinhold Baer, Linear Algebra and Projective Geometry, Dover, 2005 (ISBN 9780486445656)
• «Two Models of the Real Projective Plane».Consultat el 15 d'abril de 2010.