Politopo abstracte
En matemàtiques, un politopo abstracte és un conjunt parcialment ordenat algebraic que reflectix les propietats diàdiques d'un politopo tradicional sense especificar propietats purament geomètriques com a punts i llínees.
Es diu que un politopo geomètric és la realisació d'un politopo abstracte en algun espai real N-dimensional, per lo general un espai euclídeo. Esta definició abstracta facilita l'estudi d'estructures combinatòrias més generals que les definicions tradicionals d'un politopo, lo que a la seua volta permet definir nous objectes que no tenen equivalent en la teoria tradicional.
Història
[editar | editar còdic]En la década de 1960, Branko Grünbaum va fer una crida a la comunitat geomètrica per a considerar les generalisacions del concepte de politopo regular, a les que va cridar «poliestromas». Va desenrollar una teoria polistromática, mostrant eixemples de nous objectes, inclós el 11-celes.
El 11-celes és un polícoro autodual que les seues facetes no són icosaedres, sino "hemicosaedros" — és dir, són la forma que s'obté si es considera que les cares opostes de l'icosaedre són en realitat la "mateixa" cara (Grünbaum, 1977). Uns anys despuix del descobriment de Grünbaum del 11-celes, Harold Scott MacDonald Coxeter va descobrir un politopo similar, el 57-celes (Coxeter 1982, 1984), qui posteriorment redescubrió de forma independent el d'11 celes.
En el treball anterior de Branko Grünbaum i en Harold Scott MacDonald Coxeter i Jacques Tits assentant les seues bases, la teoria bàsica de les estructures combinatòries ara conegudes com politopos abstractes va ser descrita per primera volta per Egon Schulte en la seua tesis doctoral de 1980. En ella va definir "complexos d'incidència regular" i "politopos d'incidència regular". Posteriorment, junt en Peter McMullen, va desenrollar els conceptes bàsics de la teoria en una série d'artículs d'investigació que després es varen recopilar en un llibre. Des de llavors, molts atres investigadors han fet les seues pròpies contribucions, i els primers pioners (inclós Grünbaum) també han acceptat la definició de Schulte com la "correcta".
Posteriorment, l'investigació sobre la teoria dels politopos abstractes s'ha centrat majoritàriament en els politopos regulars, és dir, aquells que els seus grups d'automorfisme actuen transitivamente en el conjunt de banderes del politopo.
Conceptes introductoris
[editar | editar còdic]Politopos tradicionals front als abstractes
[editar | editar còdic]
En la geometria euclídea, dos formes que no són semblants poden, no obstant, compartir una estructura comuna. Per eixemple, un quadrat i un trapezi comprenen una cadena alterna de quatre vèrtiços i quatre costats, lo que els convertix en quadrilàters. Es diu que són figures isomorfas o que "mantenen la seua estructura".
Esta estructura comuna pot representar-se en un politopo abstracte subjacent, un conjunt parcialment ordenat purament algebraic que captura el patró de conexions (o "incidències)" entre els diversos elements estructurals. Les propietats mesurables dels politopos tradicionals, com els ànguls, les llongituts de les arestes, l'asimetria, la rectitud i la convexidad, no tenen cap significat per a un politopo abstracte.
Lo que és cert per als politopos tradicionals (també cridats politopos clàssics o geomètrics) pugues no ser-ho per als abstractes i viceversa. Per eixemple, un politopo tradicional és regular si totes les seues cares i figures de vèrtiços són regulars, pero açò no és necessàriament aixina per a un politopo abstracte.[1]
Realisacions
[editar | editar còdic]Es diu que un politopo tradicional és una "realisació" del politopo abstracte associat. Una realisació és un mapage o injecció de l'objecte abstracte en un espai real, per lo general un espai euclídeo, per a construir un politopo tradicional com una figura geomètrica real.
Els sis quadrilàters que es mostren són realisacions distintes del quadrilàter abstracte, cada u en diferents propietats geomètriques. Alguns d'ells no s'ajusten a les definicions tradicionals d'un quadrilàter i es diu que són realisacions infels. Un politopo convencional és una realisació fidel.
Cares, órdens i ordenació
[editar | editar còdic]En un politopo abstracte, cada element estructural (vèrtiç, aresta, cara, cela...) està associat en un membre corresponent del conjunt. El terme cara s'utilisa per a referir-se a qualsevol element d'este tipo, com per eixemple un vèrtiç (cara d'orde 0), aresta (cara d'orde 1) o una cara general d'orde k (i no solament una cara poligonal d'orde 2).
Les cares es ordenen segons la seua dimensió real associada: els vèrtiços tenen orde 0, les arestes orde 1 i aixina successivament.
Les cares incidents de diferents órdens, per eixemple, un vèrtiç F d'una aresta G, estan ordenades per la relació F < G. Es diu que F és una "subcara" de G.
Es diu que F, G són incidents si F = G o F < G o G < F. Este us del concepte de "incidència" també es dona en la geometria finita, encara que diferix de l'empleat en la geometria tradicional i en algunes atres àrees de les matemàtiques. Per eixemple, en el quadrat ABCD, les arestes AB i BC no són abstractamente incidents (encara que abdós són incidents en el vèrtiç B).
Un politopo es definix llavors com un conjunt de P cares en una relació d'ordenació < (menor que). Formalment, P (en <) serà (estrictament) un conjunt parcialment ordenat, o poset.
Cares menor i major
[editar | editar còdic]Aixina com el número zero és necessari en matemàtiques, també tot conjunt té el conjunt buit ∅ com subconjunt. En un politopo abstracte, ∅ s'identifica per convenció com la cara menor o nula i és una subcara de totes les demés. Ya que la cara menor està un nivell per baix dels vèrtiços o cares d'orde 0, la seua orde és −1 i pot denotar-se com a F−1. Aixina F−1 ≡ ∅ i el politopo abstracte també conté el conjunt buit com a element,[2] encara que no sol representar-se.
També hi ha una sola cara de la que totes les demés sò subcaras. Açò es diu la cara més gran. En un politopo de dimensió n, la cara major té orde = n i pot denotar-se com a Fn. A voltes s'identifica com l'interior de la figura geomètrica.
Estes cares menors i majors a voltes es denominen cares "impròpies", i totes les demés sò cares "pròpies".[3]
Un eixemple simple
[editar | editar còdic]Les cares del quadrilàter o quadrat abstracte es mostren en la següent taula:
| Tipo de cara | Orde (k) | Nº elements | k-cares |
|---|---|---|---|
| Menor | −1 | 1 | F−1 |
| Vèrtiços | 0 | 4 | a, b, c, d |
| Arestes | 1 | 4 | W, X, I, Z |
| Mayor | 2 | 1 | G |
La relació < comprén un conjunt de parells, que ací inclouen
- F−1<a,..., F−1<X,..., F−1<G,..., b<I,..., c<G,..., Z<G.
Les relacions d'orde són transitivas, és dir, F < G i G < H implica que F < H. Per lo tant, per a especificar la jerarquia de les cares, no és necessari donar tots els casos de F < H, només les parelles a on un siga el successor de l'atre, és dir, a on F  ;< H i G no satisfà que F < G < H.
Les arestes W, X, I i Z a voltes s'escriuen com ab, ad, bc i cd respectivament, pero tal notació no sempre és apropiada.
Les quatre arestes són estructuralment similars i lo mateixa ocorre en els vèrtiços. Per lo tant, la figura té les simetria d'un quadrat, i de forma general li la coneix com un quadrat.
El diagrama de Hasse
[editar | editar còdic]
Els conjunts parcialment ordenats més menuts, i els politopos en particular, a sovint es visualisen millor en un diagrama de Hasse, com es mostra en l'image adjunta. Per convenció, les cares d'igual orde es coloquen en el mateix nivell vertical. Cada "llínea" entre cares, digam F, G, indica una relació d'orde <, tal que la sentencia F < G indica que F està baix de G en el diagrama.
El diagrama de Hasse definix un poset únic i, per lo tant, captura completament l'estructura del politopo. Els politopos isomorfos donen lloc a diagrames de Hasse isomorfos i viceversa. Lo mateix no és generalment cert per al grafo de representació dels politopos.
Orde
[editar | editar còdic]El orde d'una cara F es definix com (m − 2), a on m és el número màxim de cares en qualsevol cadena (F', F", ... , F) satisfent que F' < F" < ... < F. F' és sempre la cara menor, F−1.
El orde d'un politopo abstracte P és l'orde màxim n de qualsevol cara; i sempre és l'orde de la cara més gran Fn.
L'orde d'una cara o politopo sol correspondre a la "dimensió" del seu contraparte en la teoria tradicional.
Els tipos de cara segons la seua orde es nomenen en la següent taula:
| Orde | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | ... | n - 2 | n - 1 | n |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Tipo de cara | Menor | Vèrtiç | Aresta | † | Cela | Subcara o cadena[3] | Cara[3] | Major |
† Tradicionalment, "cara" ha significat una cara d'orde 2 o 2 cara. En la teoria abstracta, el terme "cara" denota una cara de qualsevol orde.
Banderes
[editar | editar còdic]En geometria, una bandera és un encadenament màxim de cares, és dir, un conjunt (totalment) ordenat Ψ de cares, cada una de les quals és una subcara de la següent (si n'hi ha), i tal que Ψ no és un subconjunt de cap cadena més gran. Donades dos cares distintes F, G en una bandera, F < G o F > G.
Per eixemple, {ø, a, ab, abc} és una bandera en el triàngul abc.
Per a un politopo donat, totes les banderes contenen el mateix número de cares. Atres posets, en general, no satisfan este requisit.
Seccions
[editar | editar còdic]Qualsevol subconjunt P' d'un poset P és també un poset (en la mateixa relació <, restringida a P').
En un politopo abstracte, donades dos cares F i H de P en F ≤ H, el conjunt {G|F ≤ G ≤ H} es denomina secció de P, i es denota com a H/F. En la teoria de l'orde, una secció es denomina interval tancat del conjunt parcialment ordenat, i es denota com [F, H].
Per eixemple, en el prisma abcxyz (vore el diagrama) la secció xyz/ø (resaltada en vert) és el triàngul
- {ø, x, i, z, xy, xz, yz, xyz}.
Una k-secció és una secció d'orde k.
P és, puix, una secció de sí mateixa.
Este concepte de secció no té el mateix significat que en la geometria tradicional.
Facetes
[editar | editar còdic]La faceta d'una j-cara F donada és la (j−1)-secció F/∅, a on Fj és la cara major.
Per eixemple, en el triàngul abc, la faceta en ab és ab/b = {∅, a, b, ab}, que és un segment de llínea.
La distinció entre F i F/∅ generalment no és significativa i els dos a sovint es tracten com a idèntics.
Figures de vèrtiç
[editar | editar còdic]La figura de vèrtiç en un vèrtiç donat V és la secció (n−1) Fn/V, a on F n és la cara major.
Per eixemple, en el triàngul abc, la figura del vèrtiç en b és abc/b = {b, ab, bc, abc}, que és un segment de llínea. Les figures dels vèrtiços d'una gaveta són triànguls.
Conectivitat
[editar | editar còdic]Un poset P està conectat si P té un orde ≤ 1 o, donades dos cares pròpies qualssevol F i G, hi ha una seqüència de cares pròpies
- H1, H2,...,Hk
tal que F = H1, G = Hk, i cada Hi, i < k, és incident en el seu successor.
La condició anterior assegura que un parell de triànguls disjuntos abc i xyzno siga un politopo (únic).
Un poset P està fortament conectat si totes les seccions de P (inclós el propi P) estan conectades.
En este requisit adicional, també s'exclouen dos piràmides que compartixen solament un vèrtiç. No obstant, dos piràmides quadrades, per eixemple, poden ser "pegades" en les seues cares quadrades, donant un octaedre. La "cara comuna" no és llavors una cara de l'octaedre.
Vore també
[editar | editar còdic]Referències
[editar | editar còdic]- ↑ McMullen & Schulte 2002, p. 31
- ↑ McMullen & Schulte 2002
- ↑ 3,0 3,1 3,2 McMullen & Schulte 2002, p. 23
Bibliografia
[editar | editar còdic]- (1994).«Realizations of regular apeirotopes».Aequationes Mathematicae.47(2–3)
- 223–239.doi:10.1007/BF01832961.
- «Abstract Regular Polytopes».Cambridge University Press.
- Jaron's World: Shapes in Other Dimensions, Discover mag., Apr 2007
- Dr. Richard Klitzing, Incidence Matrius
- Schulte, E.; "Symmetry of polytopes and polyhedra", Handbook of discrete and computational geometry, edited by Goodman, J. E. and O'Rourke, J., 2nd Ed., Chapman & Hall, 2004.
Referències
[editar | editar còdic]
- Este artícul conté una traducció derivada de «Politopo abstracto» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.