Figura de vèrtiç

Figura de vèrtiç a "mija aresta" d'una gaveta

En geometria, una figura de vèrtiç, en térmens generals, és la figura que queda a la vista quan es talla un cantó d'un poliedre o politopo.

Definicions

Figura de vèrtiç "d'aresta completa" d'una gaveta

Figura de vèrtiç esfèrica d'una gaveta

Figura de vèrtiç formada per un grup de vèrtiços conectats a un dau d'una gaveta

Elegixca's un cantó o vèrtiç d'un poliedre. Marque's un punt en algun lloc en cada aresta conectada en el vèrtiç, i a continuació dibuixen-se llínees a través de les cares conectades, unint els punts adjacents al voltant de la cara. Una volta terminat este procés, estes llínees formen un circuit complet, és dir, un polígon situat al voltant del vèrtiç. Este polígon és la figura del vèrtiç.

Les definicions formals més precises poden variar prou segons les circumstàncies. Per eixemple, Harold Scott MacDonald Coxeter (per eixemple, entre 1948 i 1954) va variar la seua definició segons va ser convenient per a l'àrea d'investigació que va estar abordant. La majoria de les següents definicions d'una figura de vèrtiç s'apliquen igualment be a teselados plans infinits o, per extensió, a teselados espacials per mig de celes politópicas i uns atres politopos de dimensions superiors.

Com un tall pla

L'enfocament més comú i el més fàcil d'entendre és realisar un tall pla seccionant el cantó d'un poliedre, tallant totes les arestes conectades al vèrtiç. La superfície de cort és la figura del vèrtiç. Distints autors localisen el tall en diferents llocs. Wenninger (2003) talla cada aresta a una unitat de distància del vèrtiç, de la mateixa manera que Coxeter (1948). Per a poliedres uniformes, la construcció dual implica tallar pel seu punt mig cada una de les arestes conectades a cada vèrtiç. Atres autors realisen el tall pel vèrtiç en l'extrem contrari de cada aresta.

Per a un poliedre irregular, tallar totes les arestes incidents en un vèrtiç donat a distàncies iguals del vèrtiç pot produir una figura que no es troba en un pla. Un enfocament més general, vàlit per a poliedres convexos arbitraris, és realisar el tall en qualsevol pla que separe el vèrtiç donat de tots els demés vèrtiços, pero que per lo demés siga arbitrari. Esta construcció determina l'estructura combinatòria de la figura de vèrtiç, similar a un conjunt de vèrtiços conectats (vore més avall), pero no la seua geometria precisa. Este criteri es pot generalisar als politopos convexos en qualsevol dimensió. No obstant, per a poliedres no convexos, pot ser que no existixca un pla prop del vèrtiç que talle totes les cares incidents en ell.

Com un polígon esfèric

Cromwell (1999) forma la figura de vèrtiç intersecando el poliedre en una esfera centrada en el vèrtiç, lo suficientment chicoteta com per a creuar solament les arestes i les cares incidents en el vèrtiç. Açò es pot visualisar com si es fera un tall esfèric centrat en el vèrtiç. La superfície de tall o figura de vèrtiç és, per lo tant, un polígon esfèric marcat en esta esfera. Una ventaja d'este método és que la forma de la figura del vèrtiç és fixa (si es prescindix de l'escala de l'esfera), mentres que el método d'intersecció en un pla pot produir diferents formes depenent de l'àngul del pla. Ademés, este método funciona per a poliedres no convexos.

Com un conjunt de vèrtiços conectats

Molts enfocaments combinatoris i computacionals (per eixemple, Skilling, 1975) tracten una figura de vèrtiç com el conjunt ordenat (o parcialment ordenat) de punts de tots els vèrtiços veïns (conectats per mig d'una aresta) al vèrtiç donat.

Definició abstracta

En la teoria de politopos abstractes, la figura de vèrtiç en un vèrtiç donat V comprén tots els elements que incidixen en el propi vèrtiç (com a arestes, cares o atres elements de dimensions superiors). Més formalment és la secció (n−1) F_n / V, a on F_n és la cara major (de major dimensió) del politopo.

Este conjunt d'elements es coneix en atres texts com a estrela de vèrtiç. La figura geomètrica de vèrtiç i l'estrela de vèrtiç poden entendre's com a realisacions distintes de la mateixa secció abstracta.

Propietats generals

Una figura de vèrtiç d'un n-politopo és un (n−1)-politopo. Per eixemple, la figura de vèrtiç d'un poliedre és un polígon; i la figura de vèrtiç d'un polícoro és un poliedre.

En general, una figura de vèrtiç no té per qué ser plana.

Per a poliedres no convexos, la figura del vèrtiç també pot ser no convexa. Els politopos uniformes, per eixemple, poden tindre polígons estrelats com a cares i/o figures de vèrtiços.

Figures isogonales

Les figures de vèrtiç són especialment significatives per als politopos uniformes i per a atres politopos isogonales (vèrtiç-transitivos), ya que una figura de vèrtiç pot definir tot el politopo.

Per als poliedres en cares regulars, una figura de vèrtiç es pot representar per mig d'una notació de configuració de vèrtiços, enumerant les cares en seqüència al voltant de cada vèrtiç. Per eixemple, 3.4.4.4 és un vèrtiç en un triàngul i tres quadrats, i definix el rombicuboctaedro uniforme.

Si el politopo és isogonal, la figura de vèrtiç existirà en una superfície (hiperplano) del n-espai.