Panal (geometria)

Panal cúbic

En geometria, un panal és un empaquetat de poliedres o celes que ompli l'espai de modo que no queden buits. És una generalisació de la teselación a espais de majors dimensions. Aixina la classificació de panales per a distintes dimensions ve indicat per la notació panal-n.

Els panales es construïxen normalment en espais euclidianos pero també poden ser construïts en espais no euclidianos, com els panales hiperbòlics.

Classificació

És possible reblir el pla en polígons que no unixquen els seus cantons, per eixemple l'us de rectànguls, com en el patró dels rajoles de la paret. El representat en l'image no és un bon teselado degut a que els cantons partixen a lo llarc de la vora d'una rajola veïna. De la mateixa manera, en un panal pròpiament dit no deu haver vores o vèrtiços que partixen a lo llarc de la cara d'una cela veïna. No obstant, si interpretem cada cara d'una rajola com un hexàgon en dos ànguls interiors de 180 graus, el patró resultant sí serà un teselado correcte. No obstant, no tots els geómetras accepten tals hexàgons.

Hi ha infinits tipos de panales, dels quals només alguns s'han pogut classificar. Els més regulars són els que més interés han atret pero hi ha moltes atres varietats per investigar i descobrir.

Els panales més senzills de construir es formen per apilamiento de capes o blocs de prismes basats en alguna teselación del pla. En particular, qualsevol panal basat en paralelepípedes ompli l'espai, sent el panal cúbic el cas més especial puix és l'únic panal regular en l'espai euclidiano ordinari. Una atra família interessant és la composta de tetraedres d'Hill (en anglés) i les seues generalisacions.

Panales-n uniformes

Un panal-3 uniforme és un panal tridimensional compost de celes polièdriques uniformes els vèrtiços dels quals són tots idèntics. Als 28 eixemples convexos en l'espai tridimensional euclidiano també se'ls denomina panales Arquimedianos.

Aixina mateix, es definix panal regular a aquell en el que el grup d'isometría que preserven l'entramat actuen de forma transitiva en qualsevol vèrtiços extern de les celes. D'esta manera, cada panal regular és automàticament panal uniforme.

Com ya hem dit, en l'espai 3D euclidiano solament hi ha un panal regular, el panal cúbic, havent també dos panales cuasi-regulars (formats a partir de dos celes regulars):

Tipo	Panal cúbic regular	Panales cuasi-regulars
Celes	Cúbica	Octaedre I tetraedre
Capa de blocs

El panal tetraèdric-octaèdric i el panal tetraèdric-octaèdric girat es generen per mig de 3 o 2 posicions de capes de blocs de celes, cada una alternant un tetraedre en un octaedre.

Poliedres cobrix-espai

Un panal que té totes les celes idèntiques dins de les seues simetria es diu que és isocórico o de cela transitiva. En l'espai euclidiano tridimensional, una cela de tal tipo de panal es denomina poliedre cobrix-espai. Una condició necessària per a que un poliedre siga cobrix-espai és que el seu invariante de Dehn (en anglés) siga zero, de manera que tots els sòlits platònics llevat la gaveta queden descartats.

Solament hi ha cinc poliedres capaços de teselar l'espai euclidiano 3D usant translacions. Es diuen paraleloedros i són els següents:

1. Panal cúbic (o variacions: cuboide, hexaedro ròmbic o paralelepípede)
2. Panal prismàtic hexagonal
3. Panal dodecaedrico ròmbic
4. Panal dodecaédrico allargat
5. Panal cúbic bitruncado

Panal cúbic	Panal prismàtic hexagonalArchiu:Skew hexagonal prism honeycomb.png	Dodecaédrico ròmbicArchiu:Rhombic dodecahedra.png	Dodecaédrico elongadoArchiu:Elongated rhombic dodecahedron honeycomb.png	Octaèdric truncatArchiu:Truncated octahedra.png
Gaveta (paralelepípede)	Prisma hexagonal	Dodecaedre ròmbic	Dodecaedre elongado	Octaedre truncat
Archiu:Parallelohedron edges cube.png	Archiu:Parallelohedron edges hexagonal prism.png	Archiu:Parallelohedron edges rhombic dodecahedron.png	Archiu:Parallelohedron edges elongated rhombic dodecahedron.png	Archiu:Parallelohedron edge truncated octahedron.png
3 llongituts d'aresta	3+1 llongituts d'aresta	4 llongituts d'aresta	4+1 llongituts d'aresta	6 llongituts d'aresta

Atres eixemples de poliedres cobrix-espai coneguts són:

• El panal prismàtic triangular
• El panal prismàtic triangular girat
• El panal triaquis tetraèdric truncat
• El panal dodecaédrico trapezorrómbico
• Entramat isoédrico

Atres panales en dos o més poliedres

A voltes, dos o més poliedres poden ser combinats para omplir l'espai. A banda dels panales uniformes, un bon eixemple d'això és l'estructura Weaire-Phelan, observada en l'estructura dels cristals d'hidrat de gas.

Estructura de Weaire-PhelanArchiu:12-14-hedral honeycomb.png

3-panales no convexos

Els casos documentats són pocs. Existixen dos classes que poden ser distinguides:

• Celes no convexas que s'empaqueten sense superpondre's, entre els que s'inclou el chicotet dodecaedre ròmbic estrelat com en el gaveta de Yoshimoto.
• La superposició de celes les densitat positives de les quals i negatives s'anulen formant un continu uniformemente dens, anàlec a la superposició ordenada en el pla.

Panales hiperbòlics

En l'espai hiperbòlic tridimensional, l'àngul diédrico d'un poliedre depén del seu tamany. Aixina, els panales hiperbòlics regulars inclouen dos en quatre o cinc dodecaedres units en cada vora; els seus ànguls diédricos són π/2 i 2π/5, sent abdós menors que els de un dodecaedre euclidiano. A banda d'este efecte, els panales hiperbòlics obedixen a les mateixes llimitacions topològiques que els panales euclidianos i polícoros.

Dualitat de 3-panales

Per a cada panal, hi ha un panal dual que es pot construir intercanviant:

-celes per vèrtiços

-cares per a arestes

Els panales regulars es dualizan en facilitat:

• El panal cúbic és el seu propi dual
• El panal octaedrotetraédrico és dual del dodecaedrorrómbico
• Els blocs de panales derivats de teselados plans uniformes són duals uns entre uns atres, igual que els seus teselas.
• Els duals dels panales arquimedianos restants són tots transitivos respecte a les seues celes