Geometria no euclidiana

Erro al crear miniatura:

Geometria no euclidiana

Es denomina geometria no euclidiana, o no euclídea, a qualsevol sistema formal de geometria que els seus postulats i proposicions diferixen en algun assunt dels establits per Euclides en el seu tractat Elements. No existix un sol sistema de geometria no euclídea, sino molts, encara que si es restringix la discussió a espais homogéneus, en els que la curvatura de l'espai és la mateixa en cada punt, en els que els punts de l'espai són indistinguibles, poden distinguir-se tres #formulació de #geometria:

• La geometria euclidiana satisfà els cinc postulats de Euclides i té curvatura zero (és dir se supon en un espai pla per lo que la suma dels tres ànguls interiors d'un triàngul dona sempre 180°).
• La geometria hiperbòlica satisfà solament els quatre primers postulats de Euclides i té curvatura negativa (en esta geometria, per eixemple, la suma dels tres ànguls interiors d'un triàngul és inferior a 180°).
• La geometria elíptica satisfà solament els quatre primers postulats de Euclides i té curvatura positiva (en esta geometria, per eixemple, la suma dels tres ànguls interiors d'un triàngul és major a 180°).

Tots estos són casos particulars de #geometria riemannianas, en els que la curvatura és constant, si s'admet la possibilitat de que la curvatura intrínseca de la geometria varie d'un punt a un atre es té un cas de geometria riemanniana general, com succeïx en la teoria de la relativitat general a on la gravetat causa una curvatura no homogénea en el espai-temps, sent major la curvatura prop de les concentracions de massa, la qual cosa és percebut com un camp gravitatorio atractiu.

Principis

La diferència essencial entre les #geometria mètriques és la naturalea de les llínees paraleles. El quint postulat d'Euclides, el postulat de les paraleles, és equivalent al postulat de Playfair, que afirma que, dins d'un pla bidimensional, per a qualsevol recta l donada i un punt A, que no està en l, hi ha exactament una recta que passa per A que no interseca a l. En la geometria hiperbòlica, pel contrari, hi ha infinitament moltes llínees a través de A que no intersecan l, mentres que en la geometria elíptica, qualsevol llínea a través de A interseca l.

Una atra forma de descriure les diferències entre estes #geometria és considerar dos llínees rectes indefinidament esteses en un pla bidimensional que són abdós perpendiculars a una tercera llínea (en el mateix pla): En la geometria euclídea, les rectes permaneixen a una distància constant entre sí (lo que significa que una recta traçada perpendicular a una recta en qualsevol punt intersecará a l'atra recta i la llongitut del segment de recta que unix els punts d'intersecció permaneix constant) i es coneixen com a paraleles. En geometria hiperbòlica, es "curven" alluntant-se unes d'unes atres, aumentant la distància a mida que un s'allunta dels punts d'intersecció en la perpendicular comuna; estes llínees es denominen a sovint ultraparalelas. En la geometria elíptica, les rectes es "curven" entre sí i es intersecan.

Història

Artícul principal → Geometria euclidiana.

Antecedents

La geometria euclidiana, cridada aixina pel matemàtic grec Euclides, inclou algunes de les matemàtiques més antigues conegudes, i les #geometria que es desviaven d'ella no varen anar àmpliament acceptades com a llegítimes fins a el XIX.

El debat que va conduir finalment al descobriment de les #geometria no euclidianas va començar casi tan pronte com Euclides va escriure Elements de Euclides. En els Elements, Euclides part d'un número llimitat de supòsits (23 definicions, cinc nocions comunes i cinc postulats) i tracta de demostrar tots els demés resultats (proposicions) de l'obra. El més notori dels postulats es coneix a sovint com "el quint postulat de Euclides", o simplement el postulat paralel, que en la formulació original de Euclides és:

Si una recta cau sobre dos rectes de tal manera que els ànguls interiors del mateix costat són junts menors que dos ànguls rectes, llavors les rectes, si es produïxen indefinidament, es troben en aquell costat en el que estan els ànguls menors que els dos ànguls rectes.

.

Atres matemàtics han ideat formes més senzilles d'esta propietat. Independentment de la forma del postulat, no obstant, sembla consistentemente més complicat que atres postulats de Euclides:

1. Traçar una llínea recta des de qualsevol punt a qualsevol punt.

2. Produir [estendre] una recta finita contínuament en llínea recta.

3. Per a descriure un círcul en qualsevol centre i distància [ràdio].

4. Que tots els ànguls rectes són iguals entre sí.

Durant a lo manco mil anys, els geómetras es varen inquietar per la dispar complexitat del quint postulat, i varen creure que podia demostrar-se com una teorema a partir dels atres quatre. Molts varen intentar trobar una prova per contradicció, entre ells Ibn al-Haytham (Alhazen, XI), Omar Khayyám (XII), Nasīr al-Dīn al-Tūsī (XIII), i Giovanni Girolamo Saccheri (XVIII).

Les teoremes de Ibn al-Haytham, Khayyam i al-Tusi sobre els quadrilàters, inclosos el quadrilàter de Lambert i el quadrilàter de Saccheri, varen ser "les primeres teoremes de la hiperbòlica i de les elíptica". Estes teoremes, junt en els seus postulats alternatius, com el axioma de Playfair, varen eixercitar un paper important en el desenroll posterior de la geometria no euclidiana. Estos primers intents de qüestionar el quint postulat varen influir considerablement en el seu desenroll entre els geómetras europeus posteriors, com Witelo, Levi ben Gerson, Alfonso, John Wallis i Saccheri. No obstant, tots estos primers intents de formular una geometria no euclidiana varen proporcionar proves defectuoses del postulat de les paraleles, contenint suposicions que eren essencialment equivalents al postulat de les paraleles. No obstant, estos primers intents varen proporcionar algunes de les primeres propietats de les #geometria hiperbòlica i elíptica.

Khayyam, per eixemple, va intentar derivar-ho d'un postulat equivalent que va formular a partir de "els principis del Filòsof" (Aristóteles): "Dos rectes convergents es creuen i és impossible que dos rectes convergents divergixquen en la direcció en la que convergixen". Khayyam va considerar llavors els tres casos recte, obtús i agut que poden prendre els ànguls cimeros d'un quadrilàter de Saccheri i despuix de demostrar una série de teoremes sobre ells, refutó correctament els casos obtús i agut basant-se en el seu postulat i d'ahí va derivar el postulat clàssic de Euclides, del que no es va donar conte de que era equivalent al seu propi postulat. Un atre eixemple és el fill del-Tusi, Sadr al-Din (a voltes conegut com "Pseudo-Tusi"), que va escriure un llibre sobre el tema en 1298, basat en els pensaments posteriors del-Tusi, en el que presentava una atra hipòtesis equivalent al postulat paralel. "Va revisar essencialment tant el sistema euclidiano de #axioma i postulats com les proves de moltes proposicions dels Elements." La seua obra es va publicar en Roma en 1594 i va ser estudiada per geómetras europeus, entre ells Saccheri qui va criticar este treball aixina com el de Wallis.

Giordano Vitale, en el seu llibre Euclide restituo (1680, 1686), va utilisar el quadrilàter de Saccheri per a demostrar que si tres punts equidistan de la base AB i del cim CD, llavors AB i CD equidistan en tots els llocs.

En una obra titulada Euclides ab Omni Naevo Vindicatus (Euclides lliberat de tots els defectes), publicada en 1733, Saccheri va descartar ràpidament la geometria elíptica com a possibilitat (alguns atres #axioma de Euclides deuen modificar-se per a que la geometria elíptica funcione) i es va dedicar a demostrar un gran número de resultats en geometria hiperbòlica.

Finalment va aplegar a un punt en el que creïa que els seus resultats demostraven l'impossibilitat de la geometria hiperbòlica. Sembla que la seua afirmació es basava en presuposts euclidianos, ya que no existia cap contradicció llògica. En este intent de demostrar la geometria euclidiana, va descobrir involuntàriament una nova geometria viable, pero no es va donar conte d'això.

En 1766 Johann Lambert va escriure, pero no va publicar, Theorie der Parallellinien en la que va intentar, com Saccheri, demostrar el quint postulat. Va treballar en una figura que ara es coneix com a quadrilàter de Lambert, un quadrilàter en tres ànguls rectes (pot considerar-se la mitat d'un quadrilàter de Saccheri). Ràpidament va eliminar la possibilitat de que el quart àngul fora obtús, com havien fet Saccheri i Khayyam, i va procedir a demostrar moltes teoremes baix la suposició d'un àngul agut. A diferència de Saccheri, mai va sentir que haguera aplegat a una contradicció en esta suposició. Havia demostrat el resultat no euclidiano de que la suma dels ànguls d'un triàngul aumenta a mida que disminuïx l'àrea del triàngul, i açò li va dur a especular sobre la possibilitat d'un model del cas agut en una esfera de radi imaginari. No va dur esta idea més llunt.

En esta época estava molt estesa la creència de que l'univers funcionava segons els principis de la geometria euclidiana. El primer eixemple de geometria no euclidiana va ser la hiperbòlica, teorizada inicialment per Immanuel Kant,^{cita requerida} formalisada posteriorment (a principis de el XIX) i independentment per varis autors, tals com Carl Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski, János Bolyai, Eugenio Beltrami i Ferdinand Schweickard.

Els desenrolls de #geometria no euclídeas es varen gestar en els seus començos en l'objectiu de construir models explícits en els que no es complira el quint postulat de Euclides.

La geometria euclidiana havia segut desenrollada pels grecs i exposta per Euclides en l'obra Els elements.

En la seua primera obra publicada, Pensaments sobre la verdadera estimació de les forces vives (Gedanken von der wahren Schätzung der lebendigen Kräfte und Beurteilung der Beweise derer sich Herr von Leibniz und anderer Mechaniker in dieser Streitsache bedient haben, de 1746), Immanuel Kant considera espais de més de tres dimensions i afirma:

Una ciència de totes estes possibles classes d'espai seria sense dubte l'empresa més elevada que un enteniment finito podria acometre en el camp de la Geometria… Si és possible que existixquen extensions en atres dimensions, també és molt provable que Deu les haja dut a l'existència, perque les seues obres tenen tota la magnitut i varietat de que són capaces.

Eixes possibles #geometria que Kant entreveu són les que hui es diuen #geometria euclidianas de dimensió major que 3.

Per una atra part, ya des de l'antiguetat es va considerar que el quint postulat del llibre de Euclides no era tan evident com els atres quatre puix, en afirmar que certes rectes (les paraleles) no es tallaran en prolongar-les indefinidament, parla d'una construcció mental un tant abstracta. Per això durant molts sigles es va intentar sense èxit demostrar-ho a partir dels atres quatre. A principis de el XIX, es va intentar demostrar-ho per reducció a l'absurt, suponent que és fals i tractant d'obtindre una contradicció. No obstant, llunt d'aplegar a un absurt es va trobar que existien #geometria coherents diferents de la euclídea. S'havia descobert aixina la primera geometria no euclídea (en concret el primer eixemple que es va conseguir era una geometria cridada hiperbòlica).

#Geometria de curvatura constant

Geometria hiperbòlica

Artícul principal → Geometria hiperbòlica.

A principis de el XIX, i de modo independent, Gauss (1777-1855), Lobachevsky (1792-1856), János Bolyai i Ferdinand Schweickard varen conseguir construir la geometria hiperbòlica, a partir de l'intent de negar el quint postulat de Euclides i tractar d'obtindre una contradicció. En lloc d'obtindre una contradicció lo que varen obtindre va ser una curiosa geometria en la que els tres ànguls d'un triàngul sumaven menys de 180° sexagesimals (en la geometria euclídea els ànguls de qualsevol triàngul sumen sempre exactament 180°).

La naturalitat d'esta geometria va quedar confirmada a finals del sigle, quan Beltrami va demostrar que la geometria hiperbòlica coincidix en la geometria intrínseca de certa superfície i Klein va donar l'interpretació proyectiva de la geometria hiperbòlica. Abdós resultats proven que és tan consistent com la geometria euclídea (és dir, si la geometria hiperbòlica du a alguna contradicció, llavors la geometria euclídea també).

Alguns afirmen que Gauss va ser el primer en considerar la possibilitat de que la geometria de l'Univers no fora la euclídea. Sabent que en la geometria hiperbòlica la suma dels ànguls de qualsevol triàngul és menor que dos ànguls rectes, es diu que va pujar al cim de tres montanyes en un teodolit, encara que la precisió dels seus instruments no va ser suficient per a decidir la qüestió en tal experiment. No obstant, uns atres afirmen que quan va escriure que tractava de corregir els efectes de possibles #curvatura es referia a corregir l'efecte de la curvatura terrestre en els estudis cartogràfics que estava realisant.

Geometria elíptica

Artícul principal → Geometria elíptica.

La geometria elíptica és el segon tipo de geometria no-euclídea homogénea, és dir, a on qualsevol punt de l'espai resulta indistinguible de qualsevol un atre. Una varietat de Riemann de curvatura positiva constant és un eixemple de geometria elíptica. Un model clàssic de geometria elíptica n-dimensional és la n-esfera.

En la geometria elíptica les llínees geodèsiques tenen un paper similar a les llínees rectes de la geometria euclídea, en algunes importants diferències. Si be la mínima distància possible entre dos punts ve donada per una llínea geodèsica, que ademés són llínees de curvatura mínima, el quint postulat de Euclídes no és vàlit per a la geometria elíptica, ya que donada una "recta" d'esta geometria (és dir, una llínea geodèsica) i un punt no contingut en la mateixa no es pot traçar cap geodèsica que no tall a la primera.

Geometria euclídea

Artícul principal → Geometria euclídea.

La geometria euclídea és clarament un cas llímit intermig entre la geometria elíptica i la geometria hiperbòlica. De fet la geometria euclídea és una geometria de curvatura nula. Pot demostrar-se que qualsevol espai geomètric o varietat de Riemann la curvatura de la qual és nula és localment isomètric al espai euclídeo i per tant és un espai euclídeo o idèntic a una porció del mateix.

Aspectes matemàtics

Artícul principal → Espai maximalmente simètric.

Els espais de curvatura constant el tensor de curvatura de Riemann ve dau en components per la següent expressió:

a on $g_{ij}$ és el tensor mètric expressat en coordenades curvilíneas qualssevol. El tensor de Ricci $R_{ij}$ i la curvatura escalar $S$ són proporcionals respectivament al tensor mètric i a la curvatura:

i a on $n$ és la dimensió de l'espai.

Un atre aspecte interessant és que tant en la geometria hiperbòlica, com en la geometria elíptica homogénees el grup d'isometría de l'espai complet és un grup de Lie de dimensió $n(n+1)/2$, que coincidix en la dimensió del grup d'isometría d'un espai Euclideo de dimensió n (encara que els tres grups són diferents).

#Geometria de curvatura no constant

Geometria riemanniana general

A proposta de Gauss, la dissertació de Riemann va versar sobre l'hipòtesis de la Geometria. En la seua tesis, Riemann considera les possibles #geometria que infinitesimalmente (és dir, en regions molt menudes) siguen euclídeas, l'estudi de les quals es coneix hui en dia com #geometria riemannianas. Estes #geometria resulten en general no-homogénees: algunes de les propietats de l'espai poden diferir d'un punt a un atre, en particular el valor de la curvatura.

Per a l'estudi d'estes #geometria Riemann va introduir el formalisme del tensor de curvatura i va demostrar que la geometria euclídea, la geometria hiperbòlica i la geometria elíptica són casos particulars de #geometria riemannianas, caracterisades per valors constants del tensor de curvatura. En una geometria riemanninana general, el tensor de curvatura tindrà valors variables a lo llarc de diferents punts de dita geometria.

Això fa que la geometria no siga homogénea, i permet distinguir uns punts d'uns atres. Açò és rellevant en la teoria de la relativitat general, ya que en principi és possible fer experiments de medició de distàncies i ànguls que permeten distinguir uns punts de l'espai d'uns atres, tal com especifiquen numerosos experiments mentals imaginats per Einstein i uns atres en els que un experimentador tancat en una caixa pot realisar experiments per a decidir la naturalea de l'espai-temps que li rodeja.

Finalment, un aspecte interessant de la geometria riemanniana és que si la curvatura no és constant, llavors el grup d'isometría de l'espai té dimensió estrictament menor que $n(n+1)/2$, sent $n$ la dimensió de l'espai. En concret segons la relativitat general un espai-temps en una distribució molt irregular de la matèria podria tindre un grup d'isometría trivial de dimensió 0.

Geometria de l'espai-temps i teoria de la relativitat

Artícul principal → Curvatura de l'espai-temps.

Basant-se en les idees i resultats de Riemann, cap a 1910 Einstein aborda en la seua teoria de la relativitat general la qüestió de l'estructura geomètrica de l'univers. En ella mostra cóm la geometria del espai-temps té curvatura, que és precisament lo que s'observa com camp gravitatorio, i cóm, baixe l'acció de la gravetat, els cossos seguixen les llínees més rectes possibles dins de dita geometria, llínees que es denominen geodèsicas.

Ademés, la equació d'Einstein afirma que per a cada observador, la curvatura mija de l'espai coincidix, llevat un factor constant, en la densitat observada, donant compliment aixina a la fantàstica visió de Gauss: la geometria desentranyada pels grecs és l'estructura infinitesimal de l'espai; en generalisar dita estructura geomètrica, té curvatura.

Models

Els models de geometria no euclidiana són models matemàtics de #geometria que són no euclidianas en el sentit de que no és el cas que exactament una llínea es puga traçar paralela a una llínea donada l a través d'un punt que no està en l. En models geomètrics hiperbòlics, en canvi, hi ha infinites llínees a través de paraleles a l, i en models geomètrics elíptics, les llínees paraleles no existixen. (Consulte les entrades sobre geometria hiperbòlica i geometria elíptica per a obtindre més informació).

La geometria euclidiana es modela per mig de la nostra noció d'un "pla pla". El model més simple per a la geometria elíptica és una esfera, a on les llínees són "círculs grans" (com l'equador o els meridianos en un globo), i s'identifiquen els punts oposts entre sí (es consideren iguals). La pseudoesfera té la curvatura adequada per a modelar la geometria hiperbòlica.

Geometria elíptica

Artícul principal → Geometria elíptica.

El model més simple per a la geometria elíptica és una esfera, a on les llínees són "círculs grans" (com l'equador o els meridianos en un globo), i s'identifiquen els punts oposts entre sí (cridats punts antipodales, considerats iguals). Açò també és un dels models estàndar del pla proyectivo real. La diferència és que, com a model de la geometria elíptica, s'introduïx una mètrica que permet la medició de llongituts i ànguls, mentres que com a model del pla proyectivo no hi ha tal mètrica.

Geometria hiperbòlica

Artícul principal → Geometria hiperbòlica.

Inclús despuix del treball de Lobachevsky, Gauss i Bolyai, la pregunta seguia en peu: "¿Existix tal model per a la geometria hiperbòlica?". El model per a la geometria hiperbòlica va ser respost per Eugenio Beltrami en 1868, qui va mostrar per primera volta que una superfície anomenada pseudoesfera té la curvatura adequada per a modelar una porció de l'espai hiperbòlic, i en un segon artícul en el mateix any, va definir el model de Klein, que modela la totalitat de l'espai hiperbòlic, i va utilisar açò per a demostrar que la geometria euclidiana i la geometria hiperbòlica eren equiconsistentes, de modo que la geometria hiperbòlica era llògicament consistent si i solament si la geometria euclidiana lo era. (L'implicació inversa se seguix del model de la horoesfera de la geometria euclidiana).

En el model hiperbòlic, dins d'un pla bidimensional, per a qualsevol llínea donada l i un punt A que no està en l, existixen infinites llínees a través d'A que no es intersecan en l.

En estos models, els conceptes de les #geometria no euclidianas es representen per mig d'objectes euclidianos en un entorn euclidiano. Açò introduïx una distorsió perceptual en la qual les llínees rectes de la geometria no euclidiana es representen per mig de curves euclidianas que es doblen visualment. Esta "curvatura" no és una propietat de les llínees no euclidianas, sino solament un artificio de la forma en que es representen.

Vore també

• Geometria euclidiana
• Geometria hiperbòlica
• Geometria de Riemann
• Geometria elíptica

Referències

Bibliografia

N. A'Campoy A. Papadopoulos (2012) Notes on hyperbolic geometry, in: Strasbourg Master class on Geometry, pp. 1-182, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, Vol. 18, Zürich: European Mathematical Society (EMS), 461 pages, SBN ISBN 978-3-03719-105-7, DOI 10.4171/105.

• Anderson, James W. Hyperbolic Geometry, second edition, Springer, 2005
• (1980).«A Modern View of Geometry».Dover.New York:
• H. S. M. Coxeter (1942) Senar-Euclidean Geometry, University of Toronto Press, reissued 1998 by Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-522-4.
• Jeremy Gray (1989) Idees of Space: Euclidean, Senar-Euclidean, and Relativistic, 2nd edition, Clarendon Press.
• (1963).«Introductory Senar-Euclidean Geometry».Dover.New York:
• Milnor, John W. (1982) Hyperbolic geometry: The first 150 years, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 6, Number 1, pp. 9-24.
• John Stillwell (1996) Sources of Hyperbolic Geometry, American Mathematical Society ISBN 0-8218-0529-0.