Politopo
En geometria, politopo (de l'alemà polytop, i est de poly- 'poli-1' i el gr. τόπος tópos «lloc») significa, en primer lloc, la generalisació a qualsevol dimensió del polígon bidimensional, el poliedre tridimensional o el polícoro tetradimensional. Ademés, este terme és utilisat en varis conceptes matemàtics relacionats. El seu us és anàlec al de quadrat, que pot usar-se per a referir-se a una regió del pla de forma quadrada o solament per als quatre costats (llínea poligonal tancada), o encara per a una mera llista dels seus vèrtiços i costats junt en alguna informació sobre la forma en que estan conectats.
El vocablo va ser creat per la matemàtica irlandesa Alicia Boole Stott, qui va publicar les proyeccions d'esta figura en 1900. Per a 1910, es va convertir en la primera persona que va determinar els 45 tipos de politopos semirregulares en quatre dimensions.[1][2]
Els sòlits platònics, o politopos regulars de tres dimensions, varen ser objecte central d'estudi dels matemàtics de la Grècia Antiga (principalment, en els Elements de Euclides), provablement per les seues qualitats estètiques intrínseques. En temps moderns, els politopos i els seus conceptes relacionats tenen important aplicació en gràfics per computadora, optimisació i molts atres camps.
Politopos convexos
[editar | editar còdic]Una classe especial de politopos són els politopos convexos, el caixco convexo o envoltura convexa d'un conjunt finito de punts. Els politopos convexos també poden representar-se com l'intersecció d'hemiespacios. Esta intersecció pot escriure's com la desigualtat matricial , a on A és una matriu de n per m, en n el número de hemiespacios i m el número de dimensions del politopo, i b un vector de n per 1 columna. Els coeficients de cada fila de A i b es corresponen en els coeficients de la desigualtat llineal que definix al respectiu hemiespacio (vore hiperplano per a una explicació més detallada). En conseqüència, cada fila de la matriu es correspon en un dels hiperplanos que delimiten el politopo.
Un politopo convexo n-dimensional està delimitat per un número de facetas (n-1)-dimensionals. Cada parell de facetes es troba en una "cresta" de dimensió n-2. Estes, a la seua volta, es troben en fronteres (n-3)-dimensionals, i aixina successivament. Estos subpolitopos són cridats cares, si ben el terme pot també referir-se específicament al cas bidimensional Una cara de dimensió 0 és un vèrtiç; una cara de dimensió 1 és una aresta. Es diu cela a les cares tridimensionals.
Una cuveta consistix dels punts d'un politopo que també satisfà la forma d'igualtat d'una representació matricial a on solament està present una fila en A. De modo similar, una cresta satisfà la forma d'igualtat de la representació matricial quan en A hi ha dos files presents. En térmens generals, una cara (n-j)-dimensional satisfà la relació d'igualtat en j files en A. Estes files formen la base de la cara. En térmens geomètrics, açò significa que la cara és el conjunt de punts del politopo que yacer en l'intersecció de j dels hiperplanos que llimiten el politopo. Les cares d'un politopo convexo formen una retícula cridada la seua retícula de cara, a on la relació de subconjunts està definida entre els hiperplanos de la base. El politopo en sí és considerat una "cara" en la retícula de cares, i és el màxim de la retícula.
Note's que esta terminologia no és encara totalment estàndar. El terme cara és a voltes usat per a referir-se solament a subpolitopos bidimensionales, i atres voltes li l'usa en lloc de faceta. Se sol amprar també aresta per a referir-se a una cresta.
Descomposició simplicial
[editar | editar còdic]Donada una envoltura convexa en espai r-dimensional (pero no en qualsevol pla r-1) podem prendre subconjunts linealmente independents dels vèrtiços i definir en ells r-simplices. De fet, poden triar-se varis simplices en forma tal que la seua unió com a conjunts resulte en el caixco original, i l'intersecció de dos qualssevol siga o ben buida o be un s-simplex per a algun s < r.
Per eixemple, en el pla, un quadrat (envoltura convexa dels seus cantons) és l'unió dels dos triànguls (2-simplices), definits per una diagonal 1-simplex que és la seua intersecció.
En general, la definició (atribuïda a Pavel Sergueievich Alexandrov) és que un r-politopo es definix com un conjunt en una r-descomposició simplicia en algunes propietats adicionals. Si un conjunt tenen una r-descomposició simplicia, açò significa que és l'unió de s-simplices per a valors de s, en s menor o igual que r, tancat baix l'intersecció, i tal que l'única ocasió en que un simplex està contingut en un atre és una cara.
¿Qué podem construir aixina? Comencem en l'1-simplex, o segment d'una llínea. Tindrem, puix, el segment i qualsevol cosa que pot obtindre's agregant segments als extrems:
Si dos segments es troben en cada vèrtiç (és dir, en tots els casos llevat l'últim de l'ilustració anterior), s'obté una curva topològica anomenada curva poligonal. Estes poden categorizarse com a obertes o tancades, depenent de que els extrems es corresponguen, i com a simples o complexes, depenent de si es intersecan a sí mateixes. Les curves poligonales tancades es diuen polígons.
Els polígons simples en el pla són curves de Jordan: tenen un interior que és un disc topològic. Aixina succeïx en els 2-politopos (com pot vore's en el tercer eixemple de l'ilustració), i és habitual tractar-los en forma intercanviable en els seus llímits, adoptant abdós el nom de polígon.
El procés pot repetir-se. Unint polígons pels costats (1-cares) s'obtenen superfícies polièdriques, cridades poliedres quan són tancades. Els poliedres simples són intercanviables en els seus interiors, que són 3-politopos que poden usar-se per a construir formes tetradimensionales (a voltes cridades polícoros), i aixina successivament.
És possible trobar atres definicions (equivalents o no), habituals en la lliteratura matemàtica. Els politopos poden ser vists com alguna forma de teselaciones de la varietat (manifold) de la seua superfície.
La teoria de politopos abstractes intenta separar els politopos de l'espai que els conté, considerant purament les seues propietats combinatòries. Açò permet que la definició del terme s'estenga per a comprendre objectes per als quals és difícil definir clarament un espai natural subjacent.
Vore també
[editar | editar còdic]- Politopo abstracte
- Politopo regular
- Politopo E8 o Politopo de Gosset
- Politopo discret orientat
- Poliforma
- Polícoro
- Poliedre
- Polígon
Referències
[editar | editar còdic]- ↑ Gustavo Arciniega. «Fantasmes en la quarta dimensió». Revista de l'Universitat de Mèxic. Consultat el 2026-06-03.
- ↑ Matemàtiques en peu d'igualtat.Consultat el 2026-06-03.
- Grünbaum, Branko, Convex polytopes, New York; London: Springer, 2003. ISBN 0-387-00424-6. Segona edició preparada per Volker Kaibel, Victor Klee, i Günter M. Ziegler.
El text de la primera versió d'este artícul és una traducció de Polytope en Wikipedia en anglés (28-nov-2005).
Referències
[editar | editar còdic]
- Este artícul conté una traducció derivada de «Politopo» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.