Grup de Coxeter

En matemàtiques, un grup de Coxeter, cridat aixina pel matemàtic britànic H. S. M. Coxeter (1907-2003), és un grup abstracte que admet una descripció formal en térmens de reflexions (o espills caleidoscópicos). De fet, els grups de Coxeter finitos són precisament els grups de reflexió euclídeos finitos, dels que els grups de simetria dels poliedres regulars són un eixemple. No obstant, no tots els grups de Coxeter són finitos, i no tots poden descriure's en térmens de simetria i reflexions euclídeas. Els grups de Coxeter es varen introduir Plantilla:Harv com a abstracció dels grups de reflexió, i els grups de Coxeter finitos es varen classificar en 1935 Plantilla:Harv.

Estes estructures algebraiques troben aplicacions en moltes àrees de les matemàtiques. Eixemples de grups de Coxeter finitos inclouen els grups de simetria dels politopos regulars i els grups de Weyl del àlgebra de Lie simple. Els eixemples de grups de Coxeter infinits inclouen els grups triangulars corresponents als teselados regulars del pla euclídeo i del pla hiperbòlic, i els grups de Weyl del àlgebra de Kac-Moody de dimensió infinita.

Entre les referències estàndar sobre el tema figuren els texts de Plantilla:Harv i Plantilla:Harv.

Definició

Formalment, un grup de Coxeter es pot definir com un grup en la presentació

$⟨r_1,r_2,\dots ,r_n\mid (r_i{r}_j{)}^{m_{ij}}=1⟩$

a on $m_{ii}=1$ i $m_{ij}\ge 2$ per a $i\ne j$. La condició $m_{ij}=\mathrm{\infty }$ significa que no es deu impondre cap relació de la forma $(r_i{r}_j{)}^m$.

El parell $(W,S)$ a on $W$ és un grup de Coxeter en generadors $S=\{r_1,\dots ,r_n\}$ es diu sistema de Coxeter. Tinga's en conte que, en general, $S$ no està determinat únicament per $W$. Per eixemple, els grups de Coxeter de tipo $B_3$ i $A_1\times A_3$ són isomòrfics, pero els sistemes de Coxeter no són equivalents (vegen-se a continuació una explicació d'esta notació).

Es poden extraure vàries conclusions immediatament de la definició anterior:

• La relació $m_{ii}=1$ significa que $(r_i{r}_i{)}^1=(r_i{)}^2=1$ per a tots els $i$ ; com a tals els generadors són involució.
• Si $m_{ij}=2$, llavors els generadors $r_i$ i $r_j$ commuten. Açò se seguix en observar que

$xx=yy=1$,

que junt en

$xyxy=1$

implica que

$xy=x(xyxy)y=(xx)yx(yy)=yx$.

Alternativament, ya que els generadors són involució, $r_i=r_i^{-1}$, llavors $(r_i{r}_j{)}^2=r_i{r}_j{r}_i{r}_j=r_i{r}_j{r}_i^{-1}{r}_j^{-1}$, i per lo tant és igual a un commutador.

• Per a evitar la redundància entre les relacions, és necessari assumir que $m_{ij}=m_{ji}$. Açò se seguix en observar que

$yy=1$,

que junt en

$(xy{)}^m=1$

implica que

$(yx{)}^m=(yx{)}^{m}yy=y(xy{)}^{m}y=yy=1$.

Alternativament, $(xy{)}^k$ i $(yx{)}^k$ són elements conjugats, com $y(xy{)}^k{y}^{-1}=(yx{)}^{k}y{y}^{-1}=(yx{)}^k$.

Matriu de Coxeter i matriu de Schläfli

La matriu de Coxeter és la matriu simètrica d'orde $n\times n$ en valors $m_{ij}$. De fet, cada matriu simètrica en valors diagonals exclusivament 1 i valors no diagonals en el conjunt $\{2,3,\dots \}\cup \{\mathrm{\infty }\}$ és una matriu de Coxeter.

La matriu de Coxeter es pot codificar convenientment per mig d'un diagrama de Coxeter, segons les següents regles:

• Els vèrtiços del gràfic estan etiquetats per subíndexs del generador.
• Els vèrtiços $i$ i $j$ són adjacents si i solament si $m_{ij}\ge 3$.
• Un costat s'etiqueta en el valor de $m_{ij}$ sempre que el valor siga $4$ o major.

En particular, dos generadors commuten si i solament si no estan conectats per un costat.

Ademés, si un gràfic de Coxeter té dos o més components conectats, el grup associat és el producte directe dels grups associats als components individuals. Per lo tant, l'unió disjunta dels gràfics de Coxeter produïx un producte directe dels grups de Coxeter.

La matriu de Coxeter, $M_{ij}$, està relacionada en la matriu de Schläfli $C$ d'orde $n\times n$ en valors $C_{ij}=-2\cos (\pi /M_{ij})$, pero els elements es modifiquen, sent proporcionals al producte escalar dels generadors per parells. La matriu de Schläfli és útil perque la seua autovalores determinen si el grup de Coxeter és de "tipo finito" (tot positiu), "tipo afí" (tot no negatiu, a lo manco un zero) o "tipo indefinit" (en cas contrari). El tipo indefinit a voltes es subdivide encara més, per eixemple, en elements hiperbòlics i atres grups de Coxeter. No obstant, existixen múltiples definicions no equivalents per als grups hiperbòlics de Coxeter.

Eixemples

Grup de Coxeter	A1×A1	A2	B2	H2	G2	${\tilde{I}}_1$	A3	B3	D4	${\tilde{A}}_3$
Diagrama de Coxeter	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD	Plantilla:DCD
Matriu de Coxeter	$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 3& 1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{cc}1& 4\\ 4& 1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{cc}1& 5\\ 5& 1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{cc}1& 6\\ 6& 1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{cc}1& \mathrm{\infty }\\ \mathrm{\infty }& 1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 3& 1& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{ccc}1& 4& 2\\ 4& 1& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 2& 2\\ 3& 1& 3& 3\\ 2& 3& 1& 2\\ 2& 3& 2& 1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 2& 3\\ 3& 1& 3& 2\\ 2& 3& 1& 3\\ 3& 2& 3& 1\end{array}\right]$
Matriu de Schläfli	$\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{cc}2& -\sqrt{2}\\ -\sqrt{2}& 2\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{cc}2& -\varphi \\ -\varphi & 2\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{cc}2& -\sqrt{3}\\ -\sqrt{3}& 2\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{cc}2& -2\\ -2& 2\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 2& -1\\ 0& -1& 2\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{ccc}2& -\sqrt{2}& 0\\ -\sqrt{2}& 2& -1\\ 0& -1& 2\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{cccc}2& -1& 0& 0\\ -1& 2& -1& -1\\ 0& -1& 2& 0\\ 0& -1& 0& 2\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{cccc}2& -1& 0& -1\\ -1& 2& -1& 0\\ 0& -1& 2& -1\\ -1& 0& -1& 2\end{array}\right]$

Un eixemple

El gràfic $A_n$, en el que els vèrtiços des d'1 fins a n es coloquen en una fila, en cada vèrtiç conectat per un enllaç no marcat en els seus veïns immediats, dona lloc al grup simètric S_n+1; generadors corresponents a les transposició (1 2), (2 3), ..., (n n+1). Dos transposició no consecutives sempre commuten, mentres que (k k+1) (k+1 k+2) donen lloc al cicle ternario (k k+2 k+1). Per supost, açò solament mostra que S_n+1 és un grup cocient del grup de Coxeter descrit pel gràfic, pero no és massa difícil verificar que l'igualtat es manté.

Vore també

• Grup simètric afí
• Grup de Artin-Tits
• Teorema de Chevalley-Shephard-Todd
• Grup de reflexió complex
• Element de Coxeter
• Àlgebra de Iwahori-Hecke, una deformació quàntica del anell monoide
• Polinomi de Kazhdan-Lusztig
• Major element d'un grup de Coxeter
• Disposició superresoluble