Permutació cíclica

Una permutació cíclica (o cicle) és un tipo especial de permutació que fixa cert número d'elements (potser cap) mentres que mou cíclicamente el restant. En cas de no fixar cap element ho denominaríem Permutació circular.

Erro al crear miniatura:

Un cicle que deixa fixos als elements 2 i 5 i mou cíclicamente al restant.

Més concretament, si un cicle afecta a un element x qualsevol del conjunt, en aplicar dit cicle reiteradament tots els elements afectats pel reordenamiento passaran per la posició de x en algun moment. I de forma recíproca, l'element x passarà per totes les posicions de tots els elements afectats per la permutació.

Els cicles són tipos de permutació especialment importants, puix poden usar-se com a peces bàsiques per a construir qualsevol atra permutació.

Permutació Permutació cíclica Permutació circular Permutació no circular Permutació no cíclica

Definició formal

Siga $n\ge 2$ i $2\le r\le n$. Un cicle de llongitut $r$ o r-cicle de $S_n$ és una permutació $\sigma$ tal que del conjunt $\{1,2,\mathrm{...},n\}$ hi ha $r$ elements diferents secuenciados, $a_1,a_2,\mathrm{...},a_r$, per als quals es complix que:

$M(\sigma )=\{a_1,a_2,\mathrm{...},a_r\}$, de tal manera que $\sigma (x)=x$ si $x\ne a_i\mathrm{\forall }i$.

$\sigma (a_1)=a_2,\sigma (a_2)=a_3,\mathrm{...},\sigma (a_{r-1})=a_r$ i $\sigma (a_r)=a_1$.

Eixemples

Erro al crear miniatura:

Eixemple d'un cicle

• La permutació $\sigma$ és un cicle que no fixa cap element. Per això, també es diu que és una permutació circular.

$\sigma =\left(\begin{array}{cccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 7& 6& 8\\ 4& 5& 7& 6& 8& 1& 2& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccc}1& 4& 6& 2& 5& 8& 3& 7\\ 4& 6& 2& 5& 8& 3& 7& 1\end{array}\right)$

Erro al crear miniatura:

Eixemple d'una permutació formada per dos cicles

• La permutació $\omega$ no és una permutació circular, ya que és una permutació composta per dos cicles.

$\omega =\left(\begin{array}{cccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 7& 6& 8\\ 3& 4& 5& 7& 6& 8& 1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& 6\\ 3& 5& 6& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}2& 4& 7& 8\\ 4& 7& 8& 2\end{array}\right)$

De fet, es demostra que qualsevol permutació pot descompondre's com a producte de cicles disjuntos.

• Transposició: és un cicle de llongitut 2, és dir, un 2-cicle.

Vore també

• Permutació
• Grup simètric