Involució (matemàtica)

Una involució és una funció del tipo: $f:X\to X$ que aplicada dos voltes retorna a la senya inicial.

En matemàtica, una involució o funció involutiva és una funció matemàtica que és la seua pròpia inversa:

Definida la funció:

$\begin{array}{cccc}f:& A& ⟶& A\\ & x& ⟼& y=f(x)\end{array}$

Esta funció complix la propietat involutiva si:

$\mathrm{\forall }x\in A:f(f(x))=x$

per a tot x de A, es complix que la funció de la funció de x és x.

O, d'una atra manera:

$f(x)=y$ ;

$f(y)=x$

Propietats

Tota involució és una aplicació biyectiva. La funció identitat és un eixemple trivial d'involució:

$\begin{array}{cccc}id:& A& ⟶& A\\ & a& ⟼& b=id(a)\equiv b=a\end{array}$

açò és:

$\mathrm{\forall }a\in A:id(id(a))=a$

per a tot a de A, es complix que l'identitat de l'identitat de a és a.

El número de involució existents en un conjunt de n elements ve dau per la següent relació de recurrencia:

$a_0=a_1=1$

$a_n=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}(sin>1)$

Els primers térmens d'esta seqüència són 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, etc.

Eixemples

Eixemples senzills són la multiplicació per −1 un número real:

$\begin{array}{cccc}f:& R& ⟶& R\\ & x& ⟼& y=-x\end{array}$

ya que:

$\mathrm{\forall }x\in ℝ:-(-x)=x$

Per a tot x número real, es complix que l'opost del opost de x és x.

l'invers multiplicativo de número real sense el zero:

$\begin{array}{cccc}f:& R^{*}& ⟶& R^{*}\\ & x& ⟼& y=\frac{1}{x}\end{array}$

si veem que:

$\mathrm{\forall }x\in {ℝ}^{*}=ℝ\setminus \{0\}:\frac{1}{\frac{1}{x}}=x$

El complement d'un conjunt en teoria de conjunts:

$\begin{array}{cccc}{}^c:& 𝕌& ⟶& 𝕌\\ & A& ⟼& B=A^c\end{array}$

ya que:

$\mathrm{\forall }A\in 𝕌:{(A^c)}^c=A$

Els complexos conjugats ($\overline{z}$) en variable complexa; l'inversió geomètrica; i sifrats com el ROT13 i el de Trithemius.

Vore també

• Funció biyectiva
• Identitat
• Automorfisme

Fonts i referències

• .