Simetria en matemàtiques

Archiu:Caps block 0 Petrie.svg

El sistema de raïls del grup de Lie excepcional I₈. Els grups de Lie posseïxen numeroses simetria

La simetria és una característica present en numeroses branques de les matemàtiques, i per lo tant no es llimita com poguera semblar a primera vista a la geometria. És un tipo d'invarianza: la propietat de que un objecte matemàtic permaneix sense canvis baix un determinat conjunt d'operacions o transformacions.

Donat un objecte estructurat X de qualsevol tipo, una simetria és una aplicació de l'objecte sobre sí mateix que conserva la seua estructura. Açò pot ocórrer de moltes maneres; per eixemple, si X és un conjunt sense estructura adicional, una simetria és una aplicació biyectiva d'un conjunt sobre sí mateixa, donant lloc a un grup de permutació. Si l'objecte X és un conjunt de punts en el pla en la seua estructura mètrica o qualsevol un atre espai mètric, una simetria és un funció biyectiva del conjunt en sí mateix que conserva la distància entre cada parell de punts (és dir, és una isometría).

En general, cada tipo d'estructura en matemàtiques tindrà el seu propi tipo de simetria, moltes de les quals s'enumeren en els entrades mencionades anteriorment.

Simetria en geometria

Artícul principal → Simetria (geometria).

Els tipos de simetria considerats en geometria bàsica inclouen la simetria de reflexió, la simetria rotacional, la simetria traslacional i la reflexió esgolada, que es descriuen més detalladament en l'artícul principal dedicat a la simetria en geometria.

Simetria en el càlcul

Funciones parells i impar

Artícul principal → Funcions pares i impars.

Funcions pares

ƒ(x) = x² és un eixemple d'una funció parell.

Suponga's que f(x) siga una funció en valor real d'una variable real, després f és parell si la següent equació es complix per a tots els x i els -x en el domini de f:

$f(x)=f(-x)$

Geomètricament parlant, el gràfic d'una funció parell és simètric sobre l'eix i, lo que significa que el seu gràfica permaneix sense canvis despuix d'efectuar una reflexió sobre l'eix i. Els eixemples de funcions pares són el |x|, x², x⁴, cos (x) i cosh (x).

Funcions impars

ƒ(x) = x³ és un eixemple d'una funció impar

Novament, siga f (x) una funció en valor real d'una variable real. Es diu que f és impar si la següent equació és vàlida per a tot x i -x en el domini de f de manera que:

$-f(x)=f(-x)$

És dir,

$f(x)+f(-x)=0.$

Geomètricament, el gràfic d'una funció impar té simetria rotacional sobre l'orige, lo que significa que el seu gràfic permaneix sense canvis despuix d'una rotació de 180 graus respecte a l'orige. Eixemples de funcions impars són x, x³, sense (x), sinh (x) i erf (x).

Integració

l'integral d'una funció impar de −A a +A és zero, sempre que A siga finito i que la funció siga integrable (per eixemple, no tinga asíntotes verticals entre −A i +A).

L'integral d'una funció parell de −A a +A és dos voltes l'integral de 0 a +A, sempre que A siga un valor finito i la funció siga integrable (per eixemple, no tinga asíntotes verticals entre −A i +A). Açò també és vàlit quan A és infinit, pero solament si l'integral convergix.

Séries

• La série de Taylor d'una funció parell solament inclou potencies parells.
• La série de Maclaurin d'una funció impar solament inclou potències impars.
• La série de Fourier d'una funció parell periòdica solament inclou térmens coseno.
• La série de Fourier d'una funció impar periòdica inclou sol térmens sen.

Vore també

• Us de la simetria en integració
• Invariante

Bibliografia

• Hermann Weyl, Symmetry. Reimpressió de l'original de 1952. Princeton Science Library. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1989. viii + 168 pp. ISBN 0-691-02374-3
• Mark Ronan, "Symmetry and the Monster", Oxford University Press, 2006. ISBN 978-0-19-280723-6 (Introducció concisa per al llector llec)
• Marcus du Sautoy, "Finding Moonshine: a Mathematician's Journey through Symmetry" (Buscant la llum de la Lluna: el viage d'un matemàtic a través de la simetria), Quart poder, 2009