Isometría

isometria

Una isometría és una aplicació matemàtica entre dos espais mètrics que conserva les distàncies entre els punts. És dir, les isometría són els morfismos de la categoria d'espais mètrics. Donat un espai euclídeo de dos o tres dimensions, dos figures o objectes es diu que existix isometría quan són congruents entre sí, o viceversa. És el cas de les rotacions.

Les isometría s'usen en ocasions per a una construcció a on un espai M' és depenent d'un atre espai M.

Definició

En geometria, una isometría és una transformació que preserva la distància entre els punts i els ànguls entre les llínees. En atres paraules, una isometría és una operació en la que la rotació, translació i reflexió no alteren les llongituts ni les formes de les figures geomètriques.

Formalment si I₁ i I₂ són dos espais mètrics una isometría φ ve definida per lo següent:

Sent d₁(·,·) i d₂(·,·) les respectives funcions de distància en els dos espais mètrics I₁ i I₂.

Propietats conservades en les isometría

Les isometría són transformacions geomètriques que eixerciten un paper essencial en la geometria i la teoria de grups dins d'un espai euclidiano. Estes transformacions tenen la notòria habilitat de preservar múltiples propietats significatives de les figures geomètriques a les que s'apliquen. Entre estes propietats destaquen la conservació de distàncies i formes. En l'àmbit de la geometria, quan una isometría s'aplica a un objecte, s'assegura que característiques com a ànguls, llongituts, paralelisme i simetria, entre unes atres, es mantinguen intactes. Açò convertix a les isometría en ferramentes fonamentals per a l'anàlisis i la comprensió d'estructures geomètriques, permetent la preservació de l'integritat de les figures en l'espai euclidiano.

Llongitut i distancia

Les isometría preserven les llongituts i les distàncies entre punts. Açò significa que si dos punts A i B estan a una distancia d en l'espai original, les seues imàgens baix una isometría conservaran la mateixa distancia d en l'espai transformat.

Eixemples

• Una rotació en l'espai euclídeo és una isometría de l'espai euclídeo tridimensional.
• Una translació en l'espai euclídeo és una isometría, també ho és la composició d'un número arbitrari de translacions i rotacions. El conjunt de totes les rotacions i translacions d'un espai euclídeo n-dimensional formen un grup d'isometría de dimensió $n+(n(n-1)/2)$.
• L'operador d'evolució temporal $U_t:S\to {ℝ}^3$, que descriu el moviment d'un sòlit rígit S és un grup uniparamétrico d'isometría de l'espai euclídeo tridimensional.
• Cada operador unitari ${\widehat{𝐔}}_t=\exp (i\widehat{𝐇}t/\hslash )$ que dona l'evolució d'un sistema quàntic que el seu hamiltoniano és $\widehat{𝐇}$ és una isometría sobre un espai de Hilbert de dimensió infinita.
• La translació és una isometría afí en la que una figura és desplaçada a una atra posició que no és l'original mantenint igualment totes les propietats de la primera figura.
• Un atre tipo d'isometría afí més conegut és la simetria en la que tots els punts d'una figura o objecte mantenen una relació con respecto de un punt, recta o pla (referència). Segons el seu tipo es poden diferenciar simetria central(con respecto de un punt), simetria axial(con respecto de una recta) o simetria bilateral(con respecto de un pla).

• La rotació és una isometría afí en la que es gira un objecte sobre un punt exterior o del propi objecte, o d'acort a atres paràmetros com un àngul o un sentit freqüentment donat per un vector.
• La reflexió és una isometría que invertix una figura a través d'una llínea recta cridada eix de reflexió. Cada punt en la figura original és reflectit a una distància igual a l'atre costat de la llínea, mantenint la mateixa distància a l'eix de reflexió. Els punts en l'eix de reflexió permaneixen inalterados.

Grup d'isometría

Artícul principal → Grup d'isometría.

El conjunt de totes les aplicacions que són isometría d'un conjunt contingut en un espai mètric forma un grup conegut com a grup d'isometría del conjunt. En un espai euclídeo de dimensió n el grup d'isometría $G_{iso}$ de qualsevol conjunt és un subgrup del grup producte format a partir del grup ortogonal i el grup de translacions:

Isometría llineal

Daus dos espais vectorials normados V i W, una isometría llineal és una aplicació llineal $f:V\to W$ que conserva la norma:

$\Vert f(v)\Vert =\Vert v\Vert$

para tot $v\in V$. En este sentit, una isometría conserva la distància induïda per la norma de l'espai vectorial. Una isometría es diu global si és sobreyectiva.

En un espai prehilbertiano (un espai vectorial dotat de producte escalar), l'anterior definició és equivalent a que

$⟨f(v),f(v)⟩=⟨v,v⟩\mathrm{\forall }v\in V$

i açò, a que es conserve el producte escalar:

$⟨f(u),f(v)⟩=⟨u,v⟩\mathrm{\forall }u,v\in V$.

En efecte, que esta igualtat implica l'anterior és trivial; el recíproc es deduïx de que el producte escalar queda determinat per la norma segons l'identitat del paralelogramo:

$⟨u,v⟩=\frac{\Vert u+v{\Vert }^2-\Vert u-v{\Vert }^2}{4}.$

Si es conserva la norma, el producte escalar, donat per esta identitat, també.

Segons el teorema de Mazur-Ulam, qualsevol isometría d'un espai vectorial normado en el cos dels número real és afí.

Per cóm es definixen els ànguls en un espai vectorial, tota isometría llineal conserva els ànguls, és dir, una isometría llineal és una aplicació conforme llineal.

Vore també

• Isometría afí
• Transformació geomètrica
• Geometria euclidiana