Reflexió (matemàtica)
En matemàtiques, una reflexió[1] és una aplicació des d'un espai euclídeo sobre sí mateixa, que és una isometría en un hiperplano com un conjunt de punts fixos; este conjunt és cridat eix (en 2 dimensions) o pla (en 3 dimensions) de reflexió. L'image d'una figura per una reflexió és la seua image especular, en l'eix o pla de reflexió. Per eixemple, l'image especular de la lletra minúscula p per una reflexió sobre un eix vertical es voria com la lletra q. La seua image per una reflexió en un eix horisontal es voria com la lletra b. Una reflexió és una involució: quan s'aplica dos voltes successives, cada punt retorna a la seua localisació original, i un objecte geomètric és restaurat al seu estat original.
El vocablo «reflexió» és usat en ocasions per a una classe major d'aplicacions d'un espai euclídeo sobre sí mateixa, principalment les isometría distintes de l'identitat que són involució. Dites isometría tenen un conjunt de punts fixos (el «espill») que és un subespacio afí, pero és possiblement més chicotet que un hiperplano. Per eixemple, la reflexió a través d'un punt és una isometría involutiva en només un punt fix; l'image de la lletra p baixe ella es voria com una d. Esta operació també és coneguda com una inversió central (Coxeter, 1969, §7.2), i exhibix a l'espai euclídeo com un espai simètric. En un espai vectorial euclídeo, la reflexió sobre el punt situat en l'orige és lo mateix que el canvi de signe de les components d'un vector. Atres eixemples inclouen reflexions sobre una llínea recta en l'espai tridimensional. Per lo general, l'us sense calificatius del terme «reflexió» vol dir reflexió sobre un hiperplano.
Si una figura no canvia en aplicar-se-li una reflexió, es diu que té simetria especular.
En la lliteratura (particularment en anglés), s'usa també el terme flip per a referir-se a una reflexió.[2][3][4]
Construcció
[editar | editar còdic]
En una geometria planar (o, respectivament, 3-dimensional), per a trobar la reflexió d'un punt es tendix una llínea perpendicular del punt a la llínea (pla) usat per a la reflexió i s'estén la mateixa distància de l'atre costat d'esta. Per a trobar la reflexió d'una figura, es reflectixen tots els punts de la mateixa.
Per a reflectir el punt P a través de la llínea AB usant una regla i compàs, es procedix de la següent forma (vore la figura):
- (En roig) Es construïx un círcul en centre en P i un radi fix r per a crear els punts A' i B' sobre la llínea AB, que seran equidistants a P.
- (En vert) Es construïxen círculs en centre en A' i B' en ràdio r. P i Q seran els punts d'intersecció d'estos dos círculs.
El punt Q és llavors la reflexió del punt P a través de la llínea AB
Propietats
[editar | editar còdic]
La matriu d'una reflexió és ortogonal en determinant de -1 i valors propis de -1, 1, 1, ..., 1. El producte de dites matrius és una matriu especial ortogonal que representa una rotació. Cada rotació és el resultat de reflectir un número par de reflexions en hiperplanos a través de l'orige, i cada rotació impròpia és el resultat de reflectir un número impar de voltes. D'esta forma, les reflexions general al grup ortogonal, i este resultat és conegut com el teorema de Cartan-Dieudonné.
De forma similar, el grup euclídeo, que consistix en totes les isometría de l'espai euclídeo, és generat per reflexions en hiperplanos afins. En general, un grup generat per reflexions en hiperplanos afins és conegut com un grup de reflexió. Els grups finitos generats d'esta forma són eixemples de grups de Coxeter.cita requerida
Vore també
[editar | editar còdic]Notes
[editar | editar còdic]- ↑ Diccionario de la lengua española: Tercera accepció: 3. f. Fís. Acció i efecte de reflectir o reflectir-se.
- ↑ Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».
- ↑ Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».
- ↑ Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».
Referències
[editar | editar còdic]- (1969).«Introduction to Geometry».John Wiley & Sons.New York:
- Plantilla:Springer
- Reflection en MathWorld.
Referències
[editar | editar còdic]
- Este artícul conté una traducció derivada de «Reflexión (matemática)» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.