Transformació de Householder

En matemàtiques, una transformació de Householder és una transformació llineal de l'espai que consistix en una reflexió pura sobre un pla. Ve definida per una matriu $𝐇$ de dimensió $n\times n$ tal que per a qualsevol vector $𝐱$ de dimensió $n$ es complix que $𝐲=𝐇𝐱$ és la reflexió de $𝐱$ respecte a un pla $𝝅$. La transformació de Householder va ser introduïda per Alston Householder en 1958.

Estes matrius d'Householder són ortogonals (les seues vectores columna formen una base ortonormal) i són simètriques. Com a conseqüència són iguals a la seua pròpia inversa:

$𝐇𝐇=𝐈.$

En atres paraules,

$𝐇(𝐇𝐱)=𝐱.$

Esta propietat és fàcil de comprendre si, acodint al sentit geomètric de la transformació, diem que el reflex del reflex és l'espai original.

El càlcul de la matriu $𝐇$ associada a un pla de reflexió $𝝅$ es fa a partir del vector $𝐯$ normal al pla de la següent manera:

$𝐇=𝐈-\frac{2𝐯{𝐯}^T}{{𝐯}^T𝐯},$

a on $𝐈$ és una matriu identitat de $n\times n$. Es pot comprovar que multiplicar un vector $𝐱$ per l'expressió anterior equival a restar-li el doble de la seua proyecció sobre el vector $𝐯$; d'a on resulta la reflexió.

Usos de la transformació de Householder

Les matrius de transformació de Householder tenen vàries propietats que fan que el seu us en algoritmes matemàtics siga molt ventajós. En concret, el ser iguals a la seua pròpia inversa aforra numerosos càlculs per no tindre que invertir-les. El fet de ser ortogonals les fa idònees per al càlcul de matrius semblants. Per últim, el tindre un únic autovalor (de multiplicitat N) fa que tinguen bona estabilitat numèrica, puix la seua número de condició és l'unitat.

Estes propietats fan que la transformació de Householder siga una de les ferramentes més senzilles i utilisades en el càlcul de matrius semblants en forma de Hessenberg i en la descomposició QR d'una matriu, abdós de gran us i importància en el càlcul d'autovalores.