Transformació geomètrica

Archiu:Asse-tangente.png

Transformació geomètrica

En matemàtiques, una transformació geomètrica és qualsevol biyección d'un conjunt a sí mateixa (o a un atre conjunt d'este tipo) en algun sustente geomètric destacat. Més específicament, és una funció el domini de la qual i ranc són conjunts de punts - més a sovint abdós ${ℝ}^2$ o abdós ${ℝ}^3$ - de tal manera que la funció és inyectiva per a que la seua inversa existixca. L'estudi de la geometria pot abordar-se a través de l'estudi d'estes transformacions.

Classificacions

Les transformacions geomètriques poden classificar-se per la dimensió dels seus conjunts d'operants (distinguint aixina entre, per eixemple, les transformacions planes i les transformacions espacials). També es poden classificar segons les propietats que preserven:

• Els desplaçaments preserven distàncias i ànguls orientats (per eixemple, translació);
• Les isometrías conserven els ànguls i les distàncies (per eixemple, transformacions euclídeas);
• semblances preserven els ànguls i les relacions entre les distàncies (per eixemple, el canvi de tamany);
• transformacions afins preserven el paralelisme (per eixemple, escalamiento, cisallament);
• Les homografia preserven la colinealidad;

Cada una d'estes classes conté a l'anterior.

• Transformació de Möbiuss que utilisen coordenades complexes en el pla (aixina com l'inversió del círcul) preserven el conjunt de totes les llínees i círculs, pero poden intercanviar llínees i círculs.

• Image original (basada en el mapa de França)
  Image original (basada en el mapa de França)
• Isometría
  Isometría
• Semblances
  Semblances
• transformacions afins
  transformacions afins
• homografia
  homografia
• Inversió del círcul
  Inversió del círcul

• Transformació conforme, preserven ànguls, i són, en primer orde, semblances.
• Transformacions equiareales, preserven àrees en el cas pla o volums en el cas tridimensional. i són, en primer orde, transformacions afins de determinant 1.
• Homeomorfismes (transformacions bicontinuas) preserven els veïnats dels punts.

• Difeomorfismos (transformacions bidiferenciables) són les transformacions que són afins en primer orde; contenen a les anteriors com a casos especials, i poden refinar-se encara més.

• Transformació conforme
  Transformació conforme
• Transformacions equiareales
  Transformacions equiareales
• Homeomorfismes
  Homeomorfismes
• Difeomorfismos
  Difeomorfismos

Les transformacions del mateix tipo formen grups que poden ser subgrups d'atres grups de transformació.

Accions de grups oposts

Artícul principal → Acció (matemàtica).

Moltes transformacions geomètriques s'expressen en àlgebra llineal. Les transformacions llineals biyectivas són elements d'un grup llineal general. La transformació llineal A és no singular. Per a un vector fila v, el producte matricial va dona un atre vector fila w = va.

La transpuesta d'un vector fila v és un vector columna v^T, i la transpuesta de l'igualtat anterior és $w^T=(vA{)}^T=A^T{v}^T$. Ací A^T proporciona una acció esquerra en els vectores de columna.

En geometria de transformació hi ha composicions AB. Començant en un vector fila v, l'acció correcta de la transformació composta ésw = vAB. Despuix de la transposició,

$w^T=(vAB{)}^T=(AB{)}^T{v}^T=B^T{A}^T{v}^T.$

Aixina, per a AB l'acció de grup esquerra associada és $B^T{A}^T.$ En l'estudi dels grups oposts, es fa la distinció entre accions de grups oposts, puix els únics grups per als quals estos oposts són iguals són els grups conmutativos.