Homografia (geometria)

Archiu:Projection geometry.svg

Homografia (geometria)

Archiu:France1.gif

Image que representa la silueta de França en una cuadrícula.

Archiu:France homographie (1).gif

Transformació de la figura de dalt per una homografia.

En geometria proyectiva, una homografia és un isomorfisme d'espais proyectivos induït per un isomorfisme dels espais vectorials a partir dels que es construïxen els espais proyectivos.Es pot demostrar que tota homografia és una biyección que envia rectes a rectes, és dir, és lo que se sol denominar una colineación. En general, no obstant, hi ha colineaciones que no són homografia, pero el teorema fonamental de la geometria proyectiva afirma que en espais proyectivos reals de dimensió major o igual que dos tota colinación sí que resulta ser una homografia. Atres térmens per a referir-se al mateix concepte d'homografia són proyectividad, transformació proyectiva i colineación proyectiva.

Històricament, les homografia (i, de fet, els espais proyectivos) varen ser introduïdes per a estudiar la perspectiva i les proyeccions en la geometria euclídea, i el terme homografia, que etimológicamente significa "dibuix paregut", es va introduir ya des d'estos primers moments. A finals del sigle XIX es varen introduir les primeres definicions formals dels espais proyectivos, que estenien els espais euclídeos i afins per mig de l'adició de punts de l'infinit. El terme transformació proyectiva té el seu orige en estes construccions abstractes. Els espais proyectivos es poden definir de dos formes distintes que resulten ser equivalents. Una primera forma (la geometria proyectiva analítica) construïx els espais proyectivos com el conjunt de rectes d'un espai vectorial sobre un cert cos. En esta versió se solen usar els térmens proyectividad o transformació proyectiva. Esta construcció facilita l'us de coordenades proyectivas i permet l'us de les ferramentes del àlgebra llineal per a estudiar la geometria proyectiva en general i les homografia en particular. L'enfocament alternatiu (la geometria proyectiva sintètica) consistix en definir els espais proyectivos a partir d'una série d'axioma que no involucren explícitament cap cos ni espai vectorial. En este context, les colineaciones (transformacions que manen rectes a rectes) són més senzilles de definir que les homografia, que queden com un cas particular de colineación, i d'ací el nom colineación proyectiva.

Per simplicitat, a no ser que s'indique lo contrari, els espais proyectivos considerats en este artícul se suponen definits sobre un cos (conmutativo). Equivalentement, en geometria sintètica, suponem certs el teorema de l'hexàgon de Pappus i el teorema de Desargues. Gran part dels resultats seguixen sent certs en atres hipòtesis, o poden ser generalisats.

Motivació geomètrica

Archiu:Projection-Complete quadrangle.svg

Perspectividad del pla horisontal (Q) al pla gris (P) des de O. En P s'obté en roig cóm veu O el quadrilàter roig contingut en Q.

Històricament, el concepte d'homografia va ser introduït per a entendre, explicar i estudiar la perspectiva i, específicament, la diferent apariència d'un objecte pla vist des de distints punts de vista.

En l'espai euclídeo tridimensional, una proyecció central des d'un punt O (el centre de la proyecció) en un pla P que no conté el punt O és la transformació que mana cada punt A a l'intersecció (si existix) de la recta OA en el pla P. Esta proyecció no està definida si el punt A pertany al pla paralel a P que passa per O. La noció d'espai proyectivo es va introduir originalment estenent el pla euclídeo afegint-li punts de l'infinit, i açò nos permet definir la proyecció de qualsevol punt llevat la de O; la d'un punt A en el pla paralel a P que passa per O seria el punt de l'infinit de P en la direcció de la recta OA. Esta proyecció es pot entendre intuitivamente de la forma següent: O pot representar l'ull d'una persona (o el seu punt de vista), l'espai euclídeo és la realitat que ho rodeja, i el pla P és el pla a on mira; la proyecció de l'espai en el pla és la representació de la realitat que veu O en mirar cap al pla P.

Donat un atre pla Q que no continga el punt O, podem proyectar els punts de Q en P des de O com abans. Obtenim llavors en P cóm veu O els punts de Q. La proyecció restringida a Q rep llavors el nom de perspectividad.

Esta mateixa noció es pot generalisar a espais proyectivos de qualsevol dimensió, sobre qualsevol cos, de la manera ssiguiente:

Daus dos espais proyectivos P i Q d'una mateixa dimensió n, una perspectividad és una biyección de Q a P que es pot obtindre considerant P i Q immersos en un espai proyectivo R de dimendión n+1 i restringint a Q una proyecció central a P des d'un punt O fòra de P i Q.

Originalment, una homografia es definia com la composició d'un número finito de proyectividades.És part del teorema fonamental de la geometria proyectiva que esta definició coincidix en la més algebraica exposta a continuació.

Definició analítica

Un espai proyectivo de dimensió $n$ sobre un cos $𝕂$ es pot definir com el conjunt $\mathbb{P}(V)$ de rectes que passen per l'orige d'un espai vectorial $(n+1)$-dimensional $V$ sobre el mateix cos $𝕂$. Fixada una base de $V$, cada vector $v\in V$ es pot representar per una $(n+1)$-tupla d'escalares (les seues coordenades): $(v_0,\dots ,v_n)\in {𝕂}^{n+1}$. Cada punt de $\mathbb{P}(V)$, en ser de fet una recta de $V$, queda representat pel vector director d'esta, que està definit llevat producte per escalar no nul. Per tant, cada punt de $p\in \mathbb{P}(V)$ queda representat per una $(n+1)$-tupla d'escalares llevat producte per escalar no nul $[p_0:\dots :p_n]$. Estes es denominen les coordenades homogénees de $p$.

Més en general, un espai proyectivo de dimensió $n$ és una tupla $(\mathbb{P},V,\pi )$ a on $\mathbb{P}$ és un conjunt (de punts), $V$ és un espai vectorial de dimensió $n+1$ sobre un cos $𝕂$ i $\pi$ és una aplicació $\pi :V\setminus \{0\}\to \mathbb{P},x\mapsto \pi (x)=:[x{]}_{\pi }$ sobreyectiva tal que $\pi (x)=\pi (y)\iff \mathrm{\exists }\lambda \in 𝕂\setminus \{0\}:y=\lambda x$ (és dir, els punts de $\mathbb{P}$ estan en correspondència en les rectes de $V$, pero no demanem que siguen les rectes necessàriament). Les coordenades homogénees donada una base de $V$ es definixen de forma completament anàloga al cas anterior.

Daus dos espais proyectivos $(\mathbb{P},E,\pi )$, $({\mathbb{P}}^{\prime },E^{\prime },{\pi }^{\prime })$ d'una mateixa dimensió $n$ definits sobre espais vectorials sobre un mateix cos, una homografia entre ells és una aplicació $f:\mathbb{P}\to {\mathbb{P}}^{\prime }$ induïda per un isomorfisme $\phi :E\to E^{\prime }$ definida com $f([x{]}_{\pi })=[\phi (x){]}_{{\pi }^{\prime }}$. Escriurem $f=[\phi ]$.Plantilla:Demostració

Homografia i referències proyectivas

Siga $(\mathbb{P},E,\pi )$ un espai proyectivo de dimensió $n$ i siga $\Delta =(p_0,\dots ,p_n,A)$ una referència proyectiva ($n+2$ punts tals que cada $n+1$ d'ells són proyectivamente independents, açò és, que tenen representants $x_i$ ($p_i=[x_i{]}_{\pi }$) linealment independents). Lo que nos interessa de la referència proyectiva és que, com es detalla en eixe artícul, nos definix unívocamente una base $e=(e_0,\dots ,e_n)$ de $E$ (cridada "adaptada a la referència") imponent que $p_0=[e_0],\dots ,p_n=[e_n],A=[e_0+\dots +e_n]$, a on escrivim $[x]:=[x{]}_{\pi }=\pi (x)$.

Fixada una referència proyectiva, podem definir les coordenades homogénees de cada punt: un punt $p=[x]\in \mathbb{P}$ té coordenades $[x_0:\dots :x_n]$ definides llevat producte per escalar no nul si i només si un representant seu $x$ té coordenades $(x_0,\dots ,x_n)$ en base $e$. Escriurem que $p=[x_0:\dots :x_n{]}_{\Delta }$.

Un resultat important és que les homografia queden unívocamente determinades despuix de fixar l'image d'una referència proyectiva. És dir, si $\Delta =(p_0,\dots ,p_n,A)$ i ${\Delta }^{\prime }=({p_0}^{\prime },\dots ,{p_n}^{\prime },A^{\prime })$ són referències proyectivas de $\mathbb{P}$ i ${\mathbb{P}}^{\prime }$, respectivament, existix una única homografia $f:\mathbb{P}\to {\mathbb{P}}^{\prime }$ tal que $f(\Delta )={\Delta }^{\prime }$, a on $f(\Delta )$ representa la tupla $(f(p_0),\dots ,f(p_n),f(A))$. Ademés, si $f$ és l'homografia anterior, es té que $f([x_0:\dots :x_n{]}_{\Delta })=[x_0:\dots :x_n{]}_{{\Delta }^{\prime }}$:

Matriu d'una homografia

A una aplicació llineal, fixades bases dels espais d'eixida i arribada, se li pot associar una matriu que, en ser multiplicada per les coordenades de vectores, produïx les coordenades de les imàgens dels mateixos vectores per l'aplicació llineal. En esta secció volem fer alguna cosa anàlec en les homografia: trobar una matriu que transforme les coordenades homogénees dels punts en les coordenades homogénees de les seues imàgens.

Donada una homografia $f=[\phi ]$ entre dos espais proyectivos $\mathbb{P},{\mathbb{P}}^{\prime }$ i referències proyectivas $\Delta ,{\Delta }^{\prime }$ de cada u en bases adaptades $e,e^{\prime }$, podem definir la matriu homogénea (és dir, definida llevat producte per escalar no nul) de $f$ com $M_{\Delta ,{\Delta }^{\prime }}(f)=[M_{e,e^{\prime }}(\phi )]$, a on $M_{e,e^{\prime }}(\phi )$ és la matriu de $\phi$ en bases $e,e^{\prime }$. És senzill comprovar que la matriu està ben definida respecte de les eleccions de $\phi ,e,e^{\prime }$, usant la propietat 1 anterior i que dos bases adaptades a una mateixa referència proyectiva són necessàriament proporcionals (açò últim demostrat en l'artícul Referència proyectiva).

També és senzill comprovar (es deduïx de que $M_{e,e^{\prime }}(\phi )$ transforma les coordenades de cada $x\in E$ en base $e$ en les coordenades de $\phi (x)\in E^{\prime }$ en base $e^{\prime }$) que si $[X]=[x_0:\dots :x_n]$ són les coordenades homogénees d'un punt $p\in \mathbb{P}$ en referència $\Delta$, les coordenades de la seua image $f(p)\in {\mathbb{P}}^{\prime }$ en referència ${\Delta }^{\prime }$ vénen donades per $M_{\Delta ,{\Delta }^{\prime }}(f)\cdot [X]$.

Bibliografia

• Plantilla:Ref lliure