Coordenades homogénees

Coordenades homogénees.

En matemàtiques, i més concretament en geometria proyectiva, les coordenades homogénees (també denominades coordenades proyectivas) són un instrument usat per a descriure un punt en l'espai proyectivo. Varen ser introduïdes pel matemàtic alemà August Ferdinand Möbius en l'any 1837.

També poden usar-se com un sistema alternatiu de coordenades per a treballar en l'espai euclídeo, puix este pot vore's com un subconjunt de l'espai proyectivo. D'eixe modo, les coordenades homogénees són àmpliament usades en infografía per a la representació d'escenes en tres dimensions. La seua notació en forma matricial s'ampra en biblioteques de programació gràfica en 3D com OpenGL i Direct3D.

Introducció

En coordenades homogénees, tot punt bidimensional està definit per tres coordenades. De tal modo que un punt de dimensions (x, i), es representa per la terna

$(\lambda x,\lambda y,\lambda ),\lambda \ne 0$

Les coordenades en dos dimensions es poden trobar més fàcilment si λ = 1, per simplificació. En tres dimensions, sol ocórrer lo mateix.

Una conseqüència d'esta escritura és que un punt propi té infinites formes d'escriure-ho, puix està determinat per una relació d'equivalència entre el punt en qüestió i aquells atres continguts en la recta que genera.

L'idea bàsica es tracta d'ampliar el pla euclídeo (en el cas bidimensional) al pla proyectivo. Açò implica la consideració dels punts impropis, o de l'infinit. Un punt impropi és aquell a on λ = 0, i està determinat per la direcció d'una recta, continguda en el pla proyectivo.

Aixina, si el punt impropi està determinat per una recta en la forma Ax - By = 0, les seues coordenades homogénees s'escriuen

$(B,A,0)$

Recíprocamente, donades les coordenades homogénees (x, i, z) d'un punt, la respectiva proyecció sobre el pla euclídeo té com a coordenades

$(\frac{x}{z},\frac{y}{z}),z\ne 0$

Si z = 0 el punt és impropi, i per lo tant no existix una manera de definir-ho en el pla euclídeo.

Construcció de les coordenades homogénees

Artícul principal → Referència proyectiva.

Donat un espai proyectivo general $\mathbb{P}$, les coordenades homogénees són una manera de referir-se als seus punts usant tuplas d'escalares (llevat múltiple per escalar no nul). És dir, resulten ser una biyección entre est i ${\mathbb{P}}^n(𝕂)$, en $n=\dim \mathbb{P}$. Aixina, nos permeten treballar en qualsevol espai proyectivo com si fòra, de fet, ${\mathbb{P}}^n(𝕂)$.

Per a construir eixa biyección s'elegixen $n+2$ de l'espai i representants (vectores) dels $n+1$ primers. Es demana que estos punts siguen proyectivamente independents, és dir, que els seus representants siguen linealmente independents. Aixina, estos vectores formen una base de l'espai vectorial sobre el que es construïx $\mathbb{P}$. Ara, donat qualsevol atre punt de l'espai proyectivo, podem prendre un representant seu i trobar les seues coordenades en esta base. No obstant, estes coordenades no estan ben definides, puix els elements de la base són representants de punts i, com a tals, no estan unívocamente determinats.

Per a solucionar este problema és per a lo que s'afig el $(n+2)$-ésimo punt. Si se li demanen les condicions adequades (que siga proyectivamente independent en cada atres $n$ punts dels $n+1$ punts originals; en estes condicions el conjunt de punts es denomina una referència proyectiva) i construint la base "adaptada" a este nou punt es conseguix que les coordenades estiguen ben definides. La construcció en detalle està explicada en l'artícul Referència proyectiva§Coordenades homogénees.