Sistema generador

En àlgebra llineal, donat un espai vectorial V, es diu sistema generador de V a un conjunt de vectors, pertanyents a V, a partir del com es pot generar l'espai vectorial V complet. En este cas, l'espai vectorial V es denomina conjunt generat o espai generat.

Açò també és vàlit per a subconjunts de V, en eixos casos es parla de subconjunts generats, o més específicament, subespacios generats pel sistema generador en qüestió.

No confondre este concepte en el de base, ya que si ben tota base és un sistema generador, l'implicació inversa no sempre és certa. Mentres que una base ha de ser obligatòriament un sistema lliure, és dir, tots els seus elements han de ser linealmente independents, un sistema generador pot ser lligat, és dir, linealmente depenent.

Per a qualsevol sistema generador A format per n elements, sempre podrem trobar una base B compresa en A en un número d'elements menor o igual que n.

Definicions

Primer deu definir-se el concepte de espai generat o span llineal. És el subespacio vectorial més chicotet possible que conté a un cert conjunt donat de bestreta, formalment ho definirem de la següent manera.

Siga V un espai vectorial de dimensió n sobre un cos $𝕂$ , i siga $A = {v_{1}, v_{2}, \dots, v_{m}}$ un conjunt qualsevol de vectores pertanyents a V, en el qual m pot prendre tant valors majors com a menors a n. En el cas particular $n = m$ parlem d'una base de V.

De la definició se seguix que S està constituït per totes les combinacions llineals possibles dels elements de A.^[1] Açò nos permet enunciar lo següent

S és un subespacio vectorial de V.

D'ahí que també siga denominat subespacio generat.

Es definix llavors, baix estes condicions,

El conjunt A és un sistema generador si existix un conjunt S al com genera, és dir, si tot vector de S pot expressar-se com a combinació llineal dels elements de A. En eixe cas, es diu que A és el generador de S, o be que engendra a S.

Per a representar al subespacio generat S s'utilisen les següents notacions, totes equivalents:^[2]^[3]

S = g e n (A) = s p a n (A) = ⟨ A ⟩ = ℒ (A)

en tant A siga el sistema generador de S.

Base

Artícul principal → Base (àlgebra).

Quan un sistema generador és linealmente independent, es diu que constituïx una base de l'espai que genera. Formalment, donat un espai vectorial V de dimensió n i un subconjunt ordenat $A = {v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}}$ de vectores d'este espai, este últim és una base de V si es complix que

$V = g e n (A)$ i
$\sum_{i = 0}^{n} k_{i} 𝐯_{i} = 𝟎 ⟺ k_{i} = 0, \forall k_{i} \in 𝕂$

a on $𝕂$ representa el cos sobre el qual va ser definit V.

Vore també

Notes i referències

Notes

↑ Castellet, Manuel (1996). Àlgebra llineal i geometria (en espanyol), Barcelona: Reverte, pp. 70-71. ISBN 9788429150094.
↑ Poole, David (2011). Àlgebra llineal, 3.ª edició (en espanyol), Cengage Learning, p. 96. ISBN 9786074816082.
↑ Moraño Fernández (2006). Fonaments d'àlgebra llineal i aplicacions (en espanyol), Ed. Univ. Politéc. Valéncia, p. 61. ISBN 9788483630242.

Referències

Bibliografia

(1988) «IV espais vectorials», Àlgebra llineal i geometria (en català), Publ. UAB.

Lang, S. (1976). Àlgebra Llineal, Fondo Educatiu Interamericano.
Queysanne, M., Àlgebra Bàsica, Vicens-Vives. 1973.
Rudin, w., Anàlisis Funcional (Definició axiomàtica d'espais vectorials topològics introductivamente), Reverté.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Sistema generador» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[combLineal-1] Castellet, Manuel (1996). Àlgebra llineal i geometria (en espanyol), Barcelona: Reverte, pp. 70-71. ISBN 9788429150094.

[notacion1-2] Poole, David (2011). Àlgebra llineal, 3.ª edició (en espanyol), Cengage Learning, p. 96. ISBN 9786074816082.

[notacion2-3] Moraño Fernández (2006). Fonaments d'àlgebra llineal i aplicacions (en espanyol), Ed. Univ. Politéc. Valéncia, p. 61. ISBN 9788483630242.

[1]

[2]

[3]