Intersecció (geometria)

Punt d'intersecció de dos rectes

En geometria, una intersecció és un punt, llínea recta, curva, superfície o volum, que és comú a dos o més elements (com a llínees rectes, curves, plans, superfícies o volums). El cas més simple en geometria euclidiana és l'intersecció de dos rectas distintes, que o be és un punt o no existix si les llínees són paraleles.

La determinació de l'intersecció de plans o rectes definits en un espai dimensional superior, és una tasca simple d'àlgebra llineal, és dir, la solució d'un sistema d'equacions llineals. Pero en general, la determinació d'una intersecció conduïx a sistemes no llineals, que poden ser solucionats per anàlisis numèric, per eixemple, utilisant el método de Newton. Els problemes d'intersecció entre una llínea i una secció cònica (círcul, elipse, paràbola, etc.) o una cuádrica (esfera, cilindre, hiperboloide, etc.) conduïxen a equacions de segon grau que es poden resoldre fàcilment. Les interseccions entre cuádricas (superfícies de quart grau) duen a equacions cuárticas, que es poden resoldre algebraicamente.

En un pla

Vore també: Pla i espai bidimensional

Dos rectes

Artícul principal → Intersecció de dos rectes.

Per a la determinació del punt d'intersecció de dos llínees no paraleles

$a_{1} x + b_{1} y = c_{1}, a_{2} x + b_{2} y = c_{2}$

s'obtenen, a partir de la regla de Cramer o substituint una variable, les coordenades del punt d'intersecció $(x_{s}, y_{s})$ :

x_{s} = \frac{c_{1} b_{2} - c_{2} b_{1}}{a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}}, y_{s} = \frac{a_{1} c_{2} - a_{2} c_{1}}{a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}} .

(Si $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$ les llínees són paraleles i estes fòrmules no es poden usar perque impliquen dividir per 0).

Dos segments de recta

Artícul principal → Intersecció de segments de recta.

Erro al crear miniatura:

Intersecció de dos segments de recta

Per a dos segments no paralels $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})$ i $(x_{3}, y_{3}), (x_{4}, y_{4})$ , no necessàriament hi ha un punt d'intersecció (vore el diagrama), ya que el punt d'intersecció $(x_{0}, y_{0})$ de les rectes corresponents pugues no estar contingut en abdós segments. Per a verificar la situació, s'usa la representació paramètrica de les rectes:

(x (s), y (s)) = (x_{1} + s (x_{2} - x_{1}), y_{1} + s (y_{2} - y_{1})),

(x (t), y (t)) = (x_{3} + t (x_{4} - x_{3}), y_{3} + t (y_{4} - y_{3})) .

Els segments de llínea es intersecan solament en un punt comú $(x_{0}, y_{0})$ de les llínees corresponents si els paràmetros corresponents $s_{0}, t_{0}$ complixen la condició $0 \leq s_{0}, t_{0} \leq 1$ . Els paràmetros $s_{0}, t_{0}$ són la solució del sistema llineal

s (x_{2} - x_{1}) - t (x_{4} - x_{3}) = x_{3} - x_{1},

s (y_{2} - y_{1}) - t (y_{4} - y_{3}) = y_{3} - y_{1} .

Es pot resoldre per a s i t usant la regla de Cramer (vore més dalt). Si es complix la condició $0 \leq s_{0}, t_{0} \leq 1$ , s'inserta $s_{0}$ o $t_{0}$ en la representació paramètrica corresponent i s'obté el punt d'intersecció $(x_{0}, y_{0})$ .

Eixemple: Per als segments de llínea $(1, 1), (3, 2)$ i $(1, 4), (2, - 1)$ s'obté el sistema llineal

2 s - t = 0

s + 5 t = 3

i $s_{0} = \frac{3}{11}, t_{0} = \frac{6}{11}$ . Açò significa que les llínees es creuen en el punt $(\frac{17}{11}, \frac{14}{11})$ .

"Observació:" Tenint en conte les rectes, en lloc de segments determinats per parells de punts, cada condició $0 \leq s_{0}, t_{0} \leq 1$ es pot descartar i el método produïx el punt d'intersecció de les llínees (vore més dalt).

Erro al crear miniatura:

Intersecció recta–circumferència

Una recta i una circumferència

Per a l'intersecció de

recta $a x + b y = c$ i circumferència $x^{2} + y^{2} = r^{2}$

es rebuja l'equació de la recta per a $x$ o per a $i$ , es substituïx en l'equació de la circumferència i s'obté la solució (usant la fòrmula d'una equació quadràtica) $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})$ en

x_{1 / 2} = \frac{a c \pm b \sqrt{r^{2} (a^{2} + b^{2}) - c^{2}}}{a^{2} + b^{2}},

y_{1 / 2} = \frac{b c \mp a \sqrt{r^{2} (a^{2} + b^{2}) - c^{2}}}{a^{2} + b^{2}},

si $r^{2} (a^{2} + b^{2}) - c^{2} \geq 0 .$ Si esta condició es complix, hi ha dos punts d'intersecció; en este cas, la llínea es diu recta secante del círcul, i el segment de llínea que conecta els punts d'intersecció es denomina cuerdo de la circumferència.

Si $r^{2} (a^{2} + b^{2}) - c^{2} = 0$ es manté, solament existix un punt d'intersecció i la llínea és tangente al círcul. Si la desigualtat no es complix, la llínea no es creua en el círcul.

Si el punt mig de la circumferència no és l'orige, es pot fer un desplaçament del punt central a l'orige de coordenades per mig d'un canvi de variable, canvi que es desfà una volta trobada la solució.^[1] L'intersecció d'una llínea i d'una paràbola o d'una hipérbola es pot tractar de manera anàloga.

Dos circumferències

Erro al crear miniatura:

Intersecció circumferència–circumferència

Erro al crear miniatura:

Intersecció circumferència–elipse

La determinació dels punts d'intersecció de dos círculs

$(x - x_{1})^{2} + (y - y_{1})^{2} = r_{1}^{2}, (x - x_{2})^{2} + (y - y_{2})^{2} = r_{2}^{2}$

es pot reduir al cas anterior d'intersecció d'una llínea i un círcul. En restar les dos equacions donades, s'obté l'equació llineal:

2 (x_{2} - x_{1}) x + 2 (y_{2} - y_{1}) y = r_{1}^{2} - x_{1}^{2} - y_{1}^{2} - r_{2}^{2} + x_{2}^{2} + y_{2}^{2} .

L'intersecció de l'àrea de dos círculs definix una figura denominada forma lenticular.

Dos seccions còniques

El problema de l'intersecció d'una elipse/hipérbola/paràbola en una atra secció cònica conduïx a un sistema d'equacions quadràtiques, que pot resoldre's en casos especials fàcilment per mig de l'eliminació d'una coordenada. Es poden usar propietats especials de les seccions còniques per a obtindre una solució. En general, els punts d'intersecció poden determinar-se resolent l'equació per mig d'una iteración de Newton. Si:

a) Abdós còniques es donen implícitament (per mig d'una equació); llavors es pot usar una iteración bidimensional de Newton.

b) Una està donada implícitament i l'atra paramétricamente; llavors és possible utilisar una iteración de Newton d'una dimensió (vore la següent secció).

Dos curves suaus

Erro al crear miniatura:

Intersecció travessera de dos curves

Erro al crear miniatura:

Dos curves en intersecció tangente (esquerra); i dos curves tangentes entre sí (dreta)

Dos curves en $ℝ^{2}$ (l'espai bidimensional), que són contínuament diferenciables (és dir, no presenten punts de curvatura angulosos), tenen un punt d'intersecció, si posseïxen un punt del pla en comú i tenen en este punt

a: tangentes distintes (intersecció travessera), o

b: una llínea tangente en comuna i es creuen entre sí (intersecció tangente, vore el diagrama).

Si abdós curves tenen un punt en comú $S$ i la tangente comuna en eixe punt, pero no es creuen entre sí, simplement s'estan tocant en el punt $S$ .

Degut a que les interseccions tangentes apareixen en poca freqüència i són difícils de tractar, les següents consideracions ometen este cas. Independentment d'esta circumstància, es presuponen totes les condicions de diferenciabilidad necessàries. La determinació dels punts d'intersecció sempre conduïx a una o dos equacions no llineals, que poden resoldre's per mig de la iteración de Newton. Una llista dels casos que apareixen a continuació:

Erro al crear miniatura:

Intersecció d'una curva paramètrica en una curva implícita

Erro al crear miniatura:

Intersecció de dos curves implícites

Si abdós curves estan explícitament donades: $y = f_{1} (x), y = f_{2} (x)$ , igualar-les produïx l'equació

f_{1} (x) = f_{2} (x) .

Si abdós curves estan donades paramétricamente: $C_{1} : (x_{1} (t), y_{1} (t)), C_{2} : (x_{2} (s), y_{2} (s)) .$

Igualar-les produïx dos equacions en dos variables:

x_{1} (t) = x_{2} (s), y_{1} (t) = y_{2} (s) .

Si una curva és paramètrica i l'atra implícita: $C_{1} : (x_{1} (t), y_{1} (t)), C_{2} : f (x, y) = 0.$

Est és el cas més simple ademés del cas explícit. Es té que insertar la representació paramètrica de

C_{1}

en l'equació

f (x, y) = 0

de la curva

C_{2}

i s'obté l'equació:

f (x (t), y (t)) = 0 .

Si abdós curves estan implícitament donades: $C_{1} : f_{1} (x, y) = 0, C_{2} : f_{2} (x, y) = 0.$

Ací, un punt d'intersecció és una solució del sistema

f_{1} (x, y) = 0, f_{2} (x, y) = 0 .

Qualsevol iteración de Newton necessita valors inicials convenients, que poden derivar-se per mig d'una visualisació d'abdós curves. Una curva donada paramètrica o explícitament pot visualisar-se fàcilment, perque per a qualsevol paràmetro $t$ o $x$ respectivament és fàcil calcular el punt corresponent. Per a curves donades implícitament esta tasca no és tan fàcil. En este cas, deu determinar-se un punt de la curva en l'ajuda dels valors inicials i un método de iteración.^[2]

Eixemples:

1:

C_{1} : (t, t^{3})

i la circumferència

C_{2} : (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} - 10 = 0

(vore diagrama).

Deu efectuar-se la iteración de Newton

t_{n + 1} : = t_{n} - \frac{f (t_{n})}{f^{'} (t_{n})}

per a la funció

f (t) = (t - 1)^{2} + (t^{3} - 1)^{2} - 10

. Com a valors inicials poden elegir-se -1 i 1.5.

Els punts d'intersecció són: (-1.1073, -1.3578), (1.6011, 4.1046)

2:

C_{1} : f_{1} (x, y) = x^{4} + y^{4} - 1 = 0,

C_{2} : f_{2} (x, y) = (x - 0.5)^{2} + (y - 0.5)^{2} - 1 = 0

(vore el diagrama).

La iteración de Newton es deu realisar sobre

(\binom{x_{n + 1}}{y_{n + 1}}) = (\binom{x_{n} + δ_{x}}{y_{n} + δ_{y}})

, a on

(\binom{δ_{x}}{δ_{y}})

és la solució del sistema llineal

(\begin{matrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial x} & \frac{\partial f_{1}}{\partial y} \\ \frac{\partial f_{2}}{\partial x} & \frac{\partial f_{2}}{\partial y} \end{matrix}) (\binom{δ_{x}}{δ_{y}}) = (\binom{- f_{1}}{- f_{2}})

en el punt

(x_{n}, y_{n})

. Com a valors d'inicials es poden elegir (-0.5, 1) i (1, -0.5).

El sistema llineal pot ser resolt per la regla de Cramer.

Els punts d'intersecció són (-0.3686, 0.9953) i (0.9953, -0.3686).

Dos polígons

Erro al crear miniatura:

Intersecció de dos polígons: prova de la finestra

Si es volen determinar els punts d'intersecció de dos polígons, es pot verificar l'intersecció de qualsevol parell de segments de llínea dels polígons (vore dalt). Per a polígons en molts segments, este método requerix prou temps. En la pràctica, s'accelera l'algoritme d'intersecció per mig de l'us de "proves de finestra". En este cas, es dividixen els polígons en menuts subpolígonos i es determina la finestra més chicoteta (rectàngul en costats paralels als eixos de coordenades) per a qualsevol subpolígono. Abans de començar la determinació que consumix molt temps del punt d'intersecció de dos segments de llínea, es comprova si qualsevol parell de finestres té punts comuns.^[3]

En l'espai (tres dimensions)

Vore també: Espai tridimensional

En l'espai tridimensional, també poden existir punts d'intersecció (punts comuns) entre les curves i les superfícies. En les següents seccions es considera la intersecció travessera solament.

Una recta i un pla

Artícul principal → Intersecció de recta i pla.

Erro al crear miniatura:

Intersecció d'una recta i un pla

En tres dimensions, l'intersecció d'una recta i un pla en posició general és un punt.

Comunament, una llínea en l'espai es representa paramétricamente $(x (t), y (t), z (t))$ , aixina com un pla per mig d'una equació del tipo

a x + b y + c z = d

En substituir els paràmetros en l'equació, s'obté l'equació llineal

a x (t) + b y (t) + c z (t) = d,

en el paràmetro $t_{0}$ corresponent al punt d'intersecció $(x (t_{0}), y (t_{0}), z (t_{0}))$ .

Si l'equació llineal no té solució, la llínea yacer en el pla o és paralela a ella.

Tres plans

Si una recta està definida per dos plans d'intersecció $ε_{i} : {\vec{n}}_{i} \cdot \vec{x} = d_{i}, i = 1, 2$ i deu creuar-se en un tercer pla $ε_{3} : {\vec{n}}_{3} \cdot \vec{x} = d_{3}$ , es deu evaluar el punt d'intersecció comuna dels tres plans.

Tres plans $ε_{i} : {\vec{n}}_{i} \cdot \vec{x} = d_{i}, i = 1, 2, 3$ en vectores normals linealment independents ${\vec{n}}_{1}, {\vec{n}}_{2}, {\vec{n}}_{3}$ tenen el punt d'intersecció

{\vec{p}}_{0} = \frac{d_{1} ({\vec{n}}_{2} \times {\vec{n}}_{3}) + d_{2} ({\vec{n}}_{3} \times {\vec{n}}_{1}) + d_{3} ({\vec{n}}_{1} \times {\vec{n}}_{2})}{{\vec{n}}_{1} \cdot ({\vec{n}}_{2} \times {\vec{n}}_{3})} .

Per a la prova es deu establir ${\vec{n}}_{i} \cdot {\vec{p}}_{0} = d_{i}, i = 1, 2, 3,$ usant les regles d'un producte mixt. Si el producte escalar triple és igual a 0, llavors els plans no posseïxen una intersecció triple o és una recta (o un pla, si els tres plans són iguals).

Una curva i una superfície

Erro al crear miniatura:

Intersecció d'una curva

(t, t^{2}, t^{3})

en una superfície

x^{4} + y^{4} + z^{4} = 1

Análogamente al cas pla, els casos següents conduïxen a sistemes no llineals, que es poden resoldre utilisant una iteración de Newton d'1 o 3 dimensions.^[4]

Curva paramètrica $C : (x (t), y (t), z (t)$ i

superfície paramètrica

S : (x (u, v), y (u, v), z (u, v)),

Curva paramètrica $C : (x (t), y (t), z (t)$ i

superfície implícita

S : f (x, y, z) = 0 .

Eixemple:

Curva paramètrica

C : (t, t^{2}, t^{3})

i

superfície implícita

S : x^{4} + y^{4} + z^{4} - 1 = 0

(image s).

Els punts d'intersecció són: (-0.8587, 0.7374, -0.6332), (0.8587, 0.7374, 0.6332).

Una intersecció de recta i esfera és un cas especial simple.

Com en el cas d'una recta i un pla, l'intersecció d'una curva i una superfície en posició general consistix en punts discrets, pero una curva pot estar parcial o totalment continguda en una superfície.

Una recta i un poliedre

Artícul principal → Intersecció de poliedre i recta.

Dos superfícies

Artícul principal → Intersecció curva.

Dos superfícies intersecantes transversalment donen una intersecció curva. El cas més simple és la recta d'intersecció de dos plans no paralels.

Referències

↑ Erich Hartmann: Geometry and Algorithms for COMPUTER AIDED DESIGN. Lecture notes, Technische Universität Darmstadt, October 2003, p. 17
↑ Erich Hartmann: Geometry and Algorithms for COMPUTER AIDED DESIGN. Lecture notes, Technische Universität Darmstadt, October 2003, p. 33
↑ Erich Hartmann: CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie. Lecture notes, TU Darmstadt, 1997, p. 79 (PDF; 3,4 MB)
↑ Erich Hartmann: Geometry and Algorithms for COMPUTER AIDED DESIGN. Lecture notes, Technische Universität Darmstadt, October 2003, p. 93

Este artícul conté una traducció derivada de «Intersección (geometría)» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Erich Hartmann: Geometry and Algorithms for COMPUTER AIDED DESIGN. Lecture notes, Technische Universität Darmstadt, October 2003, p. 17

[2] Erich Hartmann: Geometry and Algorithms for COMPUTER AIDED DESIGN. Lecture notes, Technische Universität Darmstadt, October 2003, p. 33

[3] Erich Hartmann: CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie. Lecture notes, TU Darmstadt, 1997, p. 79 (PDF; 3,4 MB)

[4] Erich Hartmann: Geometry and Algorithms for COMPUTER AIDED DESIGN. Lecture notes, Technische Universität Darmstadt, October 2003, p. 93

[1]

[2]

[3]

[4]