Varietat llineal

En geometria i àlgebra, una varietat llineal és el conjunt de solucions d'un sistema d'equacions llineals. Geomètricament, és la generalisació a qualsevol número de dimensions de les rectes i els plans. També és el concepte anàlec al de subespacio vectorial en l'àmbit de la geometria afí (és dir, una varietat llineal és la denominació correcta de lo que intuitivamente denominaríem «subespacio afí»).

Definició

Siga un subconjunt no buide X d'un espai vectorial I sobre K, X es diu varietat llineal en I si para tot f, g de X i tot α, β de K : α f + β g està en X.

En espai afí

Siga $𝕂$ un cos. Siga $(𝔸,E,\phi )$ un espai afí definit sobre $𝕂$. Es diu que $V\subset 𝔸$ és una varietat llineal si $V$ és també un espai afí $(V,F,{\phi }^{\prime })$ definit sobre cert espai vectorial $F\subseteq E$ i en certa aplicació ${\phi }^{\prime }$.

Definicions alternatives

Seguint en la notació anterior, si $E$ és l'espai vectorial associat a $𝔸$, es diu que $V\subseteq 𝔸$ és varietat llineal si existixen un subespacio vectorial $F\subseteq E$ i un $p\in 𝔸$ de manera que $V=p+F=\{p+u:u\in F\}$.

Equivalència en la primera definició

Anem a vore que tot subconjunt $V\subseteq 𝔸$ definit com $V=p+F=\{p+v:v\in V\}$ és, en efecte, un espai afí $(V,F,\phi {|}_{V\times V})$ definit sobre l'espai vectorial $F\subseteq E$ i en $\phi {|}_{V\times V}$ la restricció de $\phi$ als elements de $V$, per lo que $V$ és una varietat llineal segons la primera definició:

Per a acabar de demostrar que les dos definicions són equivalents, anem a vore el recíproc: si tenim un subconjunt $V\subseteq 𝔸$ tal que és un espai afí $(V,F,{\phi }^{\prime })$ sobre un espai vectorial $F\subseteq E$ i en una aplicació ${\phi }^{\prime }$, llavors $V$ es pot expressar com $V=p+G=\{p+u,u\in G\}$, en $p\in V$i $G$ subespacio vectorial de $E$. Anem a vore que $V$ es pot expressar com $V=p+F$.