Método de Newton

Archiu:Methode Newton.svg

Método de Newton

En anàlisis numèric, el método de Newton (conegut també com el método de Newton-Raphson o el método de Newton-Fourier) és un algoritme per a trobar aproximacions dels zeros o raïls d'una funció real. També pot ser usat per a trobar el màxim o mínim d'una funció, trobant els zeros de la seua primera derivada.

Història

El método numèric de Newton va ser descrit per Sir Isaac Newton en De analysi per aequationes numere terminorum infinites ('Sobre l'anàlisis per mig d'equacions en un número infinit de térmens', escrit en 1669, publicat en 1711 per William Jones) i en De metodis fluxionum et serierum infinitarum (escrit en 1671, traduït i publicat com Método de les fluxiones en 1736 per John Colson). No obstant, la seua descripció diferix en forma substancial de la descripció moderna presentada més dalt: Newton aplicava el método sol a polinomis, i no considerava les aproximacions successives x_n, sino que calculava una seqüència de polinomis per a aplegar a l'aproximació de la raïl x. Finalment, Newton veu el método com purament algebraic i falla al no vore la conexió en el càlcul.

Isaac Newton provablement va derivar el seu método de forma similar encara que menys precisa del método de François Viète. L'essència del método de Viète pot trobar-se en el treball del matemàtic persa Sharaf al-Din al-Tusi.

El método de Newton-Raphson és cridat aixina pel matemàtic anglés Joseph Raphson (contemporàneu de Newton) es va fer membre de la Royal Society en 1691 pel seu llibre Aequationum Universalis, publicat en 1690, que contenia este método per a aproximar raïls. Newton en el seu llibre Método de les fluxiones descriu el mateix método, en 1671, pero no va ser publicat fins a 1736, lo que significa que Raphson havia publicat este resultat 46 anys abans. Encara que no va ser tan popular com els treballs de Newton, se li va reconéixer posteriorment.

Descripció del método

Archiu:Methode newton.png

Una ilustració del Método de Newton.

Archiu:NewtonIteration Ani.gif

La funció ƒ és mostrada en blau i la llínea tangente en roig. Veem que x_n+1 és una millor aproximació que x_n per a la raïl x de la funció f.

El método de Newton és un método obert, en el sentit de que no està garantisada la seua convergència global. L'única manera d'alcançar la convergència és seleccionar un valor inicial lo suficientment propenc a la raïl buscada. Aixina, s'ha de començar la iteración en un valor raonablement propenc al zero (denominat punt d'arrancada o valor supost). La relativa rodalia del punt inicial a la raïl depén molt de la naturalea de la pròpia funció; si presentara múltiples punts d'inflexió o pendents grans en l'entorn de la raïl, llavors les provabilitats de que l'algoritme divergixca aumenten. La divergència s'evita si se selecciona un valor inicial propenc a la raïl. Una volta iniciat el procediment a partir d'un valor de x assumit com a raïl presunta, el método proseguix traçant la recta tangente a la funció en el valor x de la presunta raïl. L'abscissa a l'orige de l'intersecció d'eixa recta en l'eix x seria una millor aproximació a la raïl que el valor anterior. Es realisen successives iteraciones concorde al método, fins a alcançar suficient convergència.

Siga $f:[a,b]\to ℝ$ una funció derivable definida en l'interval real $[a,b]$. La versió més bàsica consistix en iniciar el procediment en una funció real, la seua derivada $f^{\prime }$ ($f^{\prime }$ denota la derivada de $f$) i un intent inicial $f(x_0)$ per al zero de la funció. Si f presenta un intent inicial vàlit, $x_0$ és un valor propenc i passem, llavors a

$$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f^{\prime }(x_0)}$$

com una millor aproximació a la raïl que $f(x_0)$. Geomètricament, $x_1$ és el punt d'intersecció en l'eix x de la tangente del traç de la funció f i $x_1$ (sorgida de l'aproximació llineal de f), seria un millor intent com a raïl que la de l'inicial, $x_0$. El procés es reitera com

$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}.$

fins a alcançar un valor suficientment precís. El número de dígits correctes, aproximadament es duplica en cada pas. Este algoritme pot estendre's a funcions complexes i a sistemes d'equacions.

En síntesis, escomencem en un valor inicial $x_0$ i cada pas successiu seria -concorde a un número natural $n$ - l'anotat com:

$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}.$

A on $f^{\prime }$ denota la derivada de $f$.

Note's que el método descrit és d'aplicació exclusiva per a funcions d'una sola variable en forma analítica o implícita conocible. Existixen variants del método aplicables funcions complexes, a l'estimació de raïls de la tendència de sistemes discrets, aixina com algoritmes que estenen el método de Newton a sistemes multivariables, sistemes d'equacions, etcétera.