Funció real

Àlgebra de les funcions (en valors) reals

Siga $X$ un conjunt qualsevol no buit i siga $ℱ(X,ℝ)$ el conjunt format per totes les funcions de $X$ en $ℝ$. Moltes de les operacions i propietats algebraiques dels número real es poden estendre a $ℱ(X,ℝ)$, com vorem a continuació.

Sean $f,g:X\to ℝ$ elements de $ℱ(X,ℝ)$. Es definixen a continuació operacions entre eixes funcions.

• Suma de funcions: $f+g:x\mapsto f(x)+g(x)$
• Resta de funcions: $f-g:x\mapsto f(x)-g(x)$
• Producte de funcions: $fg:x\mapsto f(x)g(x)$

També, es pot estendre a relacions d'igualtat.

• $f<g$ si i solament si, per a tot $x,f(x)<g(x)$.

La manera en que es fa l'extensió, garantisa que moltes de les propietats dels número real s'estenen a $ℱ(X,ℝ)$. S'indiquen a continuació aquelles més importants.

• La suma de funcions és associativa, conmutativa, i en neutre la funció constant $x\mapsto 0$, en opost aditiu $-f:x\to -f(x)$ per a cada funció $f$.
• La resta és tal que $f-g=f+(-g)$.
• La multiplicació és associativa, conmutativa, i en neutre la funció constant $x\mapsto 1$, pero solament les funcions que mai té valor nul tenen recíprocs.
• La multiplicació és distributiva respecte a la suma.

Note's que totes les propietats anteriors són anàlogues a les propietats dels número real. Hi ha, no obstant, propietats "estranyes". Per eixemple, Quan el conjunt X té a lo manco dos elements, hi ha divisores de zero en $ℱ(X,ℝ)$. En efecte, supongam que $X=\{a,b\}$ i definim $f,g:X\to ℝ$ tals que $f(a)=1,f(b)=0$ i $g(a)=0$ i $g(b)=1$. Es veu, immediatament, que el producte $fg$ és la funció constant 0, o siga la funció zero, encara que cap dels factors ho és.

El conjunt $ℱ(X,ℝ)$ junt en les seues operacions és important per la gran cantitat d'eixemples diversos que s'obtenen en seleccionar el conjunt X.

• Siga $X=\{1,2\}$. Llavors, cada funció de $ℱ(X,ℝ)$ definix una parella de números $f(1),f(2)$ que si considerem l'orde natural en X, podem escriure com el para ordenat $(f(1),f(2))$. Açò nos diu que, en este cas, podem identificar $ℱ(X,ℝ)$ en el conjunt de tots els parells possibles d'número real, o siga en ${ℝ}^2$.
• Siga $X=\{1,2,3\}$ Raonat com dalt, podem identificar a $ℱ(X,ℝ)$ en ${ℝ}^3$.
• Siga $X=\{1,2,3,\dots ,n\}$ Raonat com dalt, podem identificar a $ℱ(X,ℝ)$ en ${ℝ}^n$.

Note que en cada u dels eixemples anteriors, el conjunt de parells, trios, duplas ordenades apareix proveït d'una suma i multiplicació. La suma coincidix en la suma vectorial usual i la multiplicació per constants en la multiplicació per escalar.

• Siga $X=\mathbb{N}$, el conjunt dels número natural. En este cas, $ℱ(X,ℝ)$ és el conjunt de totes les successions d'número real proveït com la suma i multiplicació usual de successions.

Funcions numèriques

Les funcions numèriques són funcions el domini de les quals i codominio són subconjunts dels número real. Estes funcions són aquelles que apareixen més freqüentment en les aplicacions elementals. En el restant de l'artícul, funcions significarà funcions numèriques. Moltes voltes, per a estes funcions, es dona solament la regla o fòrmula de la funció. En eixa situació s'aplica el conveni del domini natural i se supon que el codominio (natural) consistix de tot $ℝ$.

Funcions acotades

Es diu que una funció $f$ està acotada quan la seua conjunt image està acotat. És dir, hi ha un número $m$ tal que para tot $x$ del domini de la funció es complix que

$-m\le f(x)\le m$.

Per eixemple: f(x) = sen(x) i g(x) = cos(x) tenen per conjunt image a l'interval [-1,1] i són, per lo tant acotades. Una funció està acotada quan la seua gràfica està entre dos llínees horisontals.

En forma anàloga es definix les nocions de funció acotada superiorment i funció acotada inferiorment, volent dir que la seua conjunt image està acotat superiorment o inferiorment respectivament. Per eixemple, f(x)=|x| té per conjunt image $[0,+\mathrm{\infty })$, està acotada inferiorment.

Funcions monòtones

Artícul principal → Funció monòtona.

Una funció f en un interval [a,b] és monòtona si verifica qualsevol de les següents propietats:

1. és estrictament creixent,

   si para tot $x_1,x_2\in [a,b]:x_1<x_2$ si i solament si $f(x_1)<f(x_2)$.

2. és estrictament decreixent,

   si para tot $x_1,x_2\in [a,b]:x_1<x_2$ si i solament si $f(x_1)>f(x_2)$.

3. és creixent,

   si para tot $x_1,x_2\in [a,b]:x_1<x_2$ si i solament si $f(x_1)\le f(x_2)$.

4. és decreixent,

   si para tot $x_1,x_2\in [a,b]:x_1<x_2$ si i solament si $f(x_1)\ge f(x_2)$.

Propietats

• Si una funció és estrictament creixent o decreixent llavors és inyectiva.
• La suma de funcions monòtones d'un mateix tipo té el mateix tipo de monotonia. Lo anterior no es verifica ni para restes ni per a productes.

Funcions pares i impar

Artícul principal → Paritat d'una funció.

Una funció és parell quan presenta simetria sobre l'eix $Y$ (ordenades), açò és, si para tot element $x$ del seu domini es complix que $-x$ també està en el domini i

$f(-x)=f(x)$

Una funció és impar quan presenta simetria respecte a l'orige, açò és, si para tot element $x$ del seu domini es complix que $-x$ també està en el domini i

$f(-x)=-f(x)$

Una funció que no presenta simetria parell, no té necessàriament simetria impar. Algunes funcions no presenten cap dels dos tipos de simetria o be la presenten front a focs o eixos distints del de coordenades o l'eix d'ordenades (eix I). Dites funcions es diu que no posseïxen paritat.

Propietats

• La suma de dos funcions pares o dos funcions impars és parell.
• El producte de funció parell per parell o impar per impar, dona parell.
• Totes les atres combinacions donen impar.

Funcions periòdiques

Artícul principal → funció periòdica.

Es diu que una funció és periòdica si es complix: $f(x)=f(x+T);T\ne 0$ a on $T$ és un periodo de la funció. El periodo és el menor dels periodos positius, quan existixca tal número.

Els eixemples clàssics són les funcions sen i coseno en periodos iguals a $2\pi$. Si int denota la funció partix sancera (que produïx el major sancer menor o igual a l'argument) llavors la funció $f$ tal que $f(x)=x-int(x)$ té periodo 1.

Una funció és periòdica alternada quan es complix: $f(x)=-f(x+\frac{T}{2})$. Estes últimes també són conegudes com a funcions simètriques de mija ona i consten de dos semiondas iguals de sentits oposts.

Funcions cóncaves i convexas

Artícul principal → Funció convexa.

Archiu:Convexidad desigualdad.png

Funció convexa.

Una funció $f$ és convexa sobre un interval quan el segment que unix dos punts de la gràfica de $f$, sempre esta per damunt o tocant la gràfica.

Una funció $f$ és cóncava (estrictament cóncava) sobre un interval quan $-f$ és convexa (estrictament convexa).

Una funció $f$ és estrictament convexa sobre un interval quan el segment que unix dos punts de la gràfica de $f$, sempre esta per damunt de la gràfica.

Les tècniques del càlcul diferencial permeten determinar si una funció és creixent, decreixent, cóncava o convexa a través de l'estudi de les derivades successives de la funció.